登录
1. (★)(1)在平面直角坐标系中画出二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
方法一 对二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 配方,可得 . 根据前面的学习,可以先画出二次函数 的图象,然后把这个图象先向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度,就得到二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
方法二 由配方的结果可知,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的顶点是 ,对称轴是 . 先利用图象的对称性列表:
然后描点画图,得到 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
(2)从图象可以看出,当 $x＜6$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而 ;当 $x＞6$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而 ;当 $x=6$ 时,$y$ 取最 值,为 .
方法一 对二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 配方,可得 . 根据前面的学习,可以先画出二次函数 的图象,然后把这个图象先向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度,就得到二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
方法二 由配方的结果可知,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的顶点是 ,对称轴是 . 先利用图象的对称性列表:
然后描点画图,得到 $y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$ 的图象.
(2)从图象可以看出,当 $x＜6$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而 ;当 $x＞6$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而 ;当 $x=6$ 时,$y$ 取最 值,为 .
答案
解：
(1) 对二次函数配方：
$y=\frac{1}{2}x^2-6x+21=\frac{1}{2}(x^2-12x+36)+3=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$
方法一
配方可得 $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3}$。
可以先画出二次函数 $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2}$ 的图象，然后把这个图象先向右平移 $\boldsymbol{6}$ 个单位长度，再向上平移 $\boldsymbol{3}$ 个单位长度，就得到二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2-6x+21$ 的图象。
方法二
抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-6x+21$ 的顶点是 $\boldsymbol{(6,3)}$，对称轴是 $\boldsymbol{直线x=6}$。
将$x=3,4,5,6,7,8,9$分别代入$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$，计算得表格中y值依次为：$\boldsymbol{7.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{7.5}$。
在平面直角坐标系中描出对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(2) 从图象可以看出，当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞6$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=6$时，$y$取最小值，为$\boldsymbol{3}$。
(1) 对二次函数配方：
$y=\frac{1}{2}x^2-6x+21=\frac{1}{2}(x^2-12x+36)+3=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$
方法一
配方可得 $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3}$。
可以先画出二次函数 $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2}$ 的图象，然后把这个图象先向右平移 $\boldsymbol{6}$ 个单位长度，再向上平移 $\boldsymbol{3}$ 个单位长度，就得到二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2-6x+21$ 的图象。
方法二
抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-6x+21$ 的顶点是 $\boldsymbol{(6,3)}$，对称轴是 $\boldsymbol{直线x=6}$。
将$x=3,4,5,6,7,8,9$分别代入$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$，计算得表格中y值依次为：$\boldsymbol{7.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{7.5}$。
在平面直角坐标系中描出对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(2) 从图象可以看出，当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞6$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=6$时，$y$取最小值，为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数的图象与性质展开，解题思路清晰：①第一问先对二次函数的一般式进行配方，提取二次项系数后凑完全平方得到顶点式；再结合二次函数图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，确定平移的基准函数和平移距离；也可直接从顶点式中读出顶点坐标和对称轴，用于列表描点绘制图象。②第二问结合二次函数的开口方向和对称轴，即可判断函数的增减性与最值。
【解析】
(1) 配方步骤：先提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得$y=\frac{1}{2}(x^2-12x)+21$，再对括号内的式子凑完全平方：$x^2-12x=(x-6)^2-36$，代入整理得$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$。
方法一：根据平移规律，顶点式$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$是由基础二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$平移得到，其中$h=6$、$k=3$，即先画出$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到目标函数图象。
方法二：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线顶点为$(6,3)$，对称轴是直线$x=6$。将表格对应x值代入顶点式，计算得y值依次为7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，在坐标系中描出各点后用平滑曲线顺次连接，即可得到函数图象。
(2) 由于二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=6$，因此当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞6$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=6$时，$y$取最小值3。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$；$y=\frac{1}{2}x^2$；$6$；$3$；$(6,3)$；直线$x=6$；表格y值依次为$\boldsymbol{7.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{7.5}$
(2) 减小；增大；小；$3$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数图象平移；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心考察二次函数一般式转顶点式的方法、图象平移规律及图象性质，熟练掌握顶点式的相关结论是快速解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数的图象与性质展开，解题思路清晰：①第一问先对二次函数的一般式进行配方，提取二次项系数后凑完全平方得到顶点式；再结合二次函数图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，确定平移的基准函数和平移距离；也可直接从顶点式中读出顶点坐标和对称轴，用于列表描点绘制图象。②第二问结合二次函数的开口方向和对称轴，即可判断函数的增减性与最值。
【解析】
(1) 配方步骤：先提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得$y=\frac{1}{2}(x^2-12x)+21$，再对括号内的式子凑完全平方：$x^2-12x=(x-6)^2-36$，代入整理得$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$。
方法一：根据平移规律，顶点式$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$是由基础二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$平移得到，其中$h=6$、$k=3$，即先画出$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到目标函数图象。
方法二：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线顶点为$(6,3)$，对称轴是直线$x=6$。将表格对应x值代入顶点式，计算得y值依次为7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5，在坐标系中描出各点后用平滑曲线顺次连接，即可得到函数图象。
(2) 由于二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=6$，因此当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞6$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=6$时，$y$取最小值3。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$；$y=\frac{1}{2}x^2$；$6$；$3$；$(6,3)$；直线$x=6$；表格y值依次为$\boldsymbol{7.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{3.5}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{7.5}$
(2) 减小；增大；小；$3$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数图象平移；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心考察二次函数一般式转顶点式的方法、图象平移规律及图象性质，熟练掌握顶点式的相关结论是快速解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. (★)二次函数$y=ax^2+bx+c$通过配方可得$y=a(x+\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_$. 因此，抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是________，顶点是________.
答案
解：对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
因此，抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
依次填入的答案为：$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
因此，抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
依次填入的答案为：$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
解析
【分析】
这道题考查二次函数一般式转化为顶点式的配方法，以及顶点式对应的性质。解题时首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将二次项系数化为1，因此先提取二次项系数a，将含x的项放在括号内；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证代数式的值不变；第三步将括号内的前三项写成完全平方形式，再合并常数项得到顶点式。最后根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，对应得出所求的对称轴和顶点即可。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
根据顶点式的性质可得，抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查一般式到顶点式的配方法转化，以及顶点式对应的对称轴、顶点坐标的掌握，是学习二次函数图象与性质的必备基础，需熟练掌握配方步骤和顶点式的相关性质，注意避免符号错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数一般式转化为顶点式的配方法，以及顶点式对应的性质。解题时首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将二次项系数化为1，因此先提取二次项系数a，将含x的项放在括号内；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证代数式的值不变；第三步将括号内的前三项写成完全平方形式，再合并常数项得到顶点式。最后根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，对应得出所求的对称轴和顶点即可。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
根据顶点式的性质可得，抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查一般式到顶点式的配方法转化，以及顶点式对应的对称轴、顶点坐标的掌握，是学习二次函数图象与性质的必备基础，需熟练掌握配方步骤和顶点式的相关性质，注意避免符号错误。
【难度系数】
0.9
3. (★)填表：
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| |
| 开口方向 | | |
| 对称轴 | | |
| 顶点 | | |
(续表)
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 增减性 | 当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而；
当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而 | 当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而；
当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而 |
| 最值 | 当$x=$时，y有最值，为 | 当$x=$时，y有最值，为 |
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| || 开口方向 | | |
| 对称轴 | | |
| 顶点 | | |
(续表)
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 增减性 | 当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而；
当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而 | 当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而；
当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而 |
| 最值 | 当$x=$时，y有最值，为 | 当$x=$时，y有最值，为 |
答案
解：
填写结果如下：
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$} |
| 顶点 | μlticolumn{2}{c}{$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$} |
| 增减性 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最小值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最大值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ |
填写结果如下：
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$} |
| 顶点 | μlticolumn{2}{c}{$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$} |
| 增减性 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最小值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最大值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ |
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数的基本性质逐步分析：①首先判断开口方向：二次项系数a的符号决定开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；②再推导对称轴和顶点：把一般式$y=ax^2+bx+c$配方为顶点式$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，可直接得到对称轴、顶点坐标，二者和a的符号无关；③接着判断增减性：结合开口方向，以对称轴为分界，开口向上时左降右升，开口向下时左升右降；④最后判断最值：开口向上时有最低点，顶点处取最小值；开口向下时有最高点，顶点处取最大值，最值为顶点纵坐标。按照上述结论依次填空即可。
【解析】
1. 开口方向：二次项系数a决定开口方向，当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下；
2. 对称轴：将一般式配方后可得出，无论a的正负，二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴都为直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$；
3. 顶点：由顶点式可得，无论a的正负，二次函数的顶点坐标都为$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$；
4. 增减性：$a＞0$时开口向上，对称轴左侧函数递减、右侧递增，即$x＜-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而减小，$x＞-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而增大；$a＜0$时开口向下，对称轴左侧函数递增、右侧递减，即$x＜-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而增大，$x＞-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时抛物线有最低点，在顶点处取最小值，即$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y的最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$；$a＜0$时抛物线有最高点，在顶点处取最大值，即$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y的最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$} |
| 顶点 | μlticolumn{2}{c}{$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$} |
| 增减性 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最小值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最大值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ |
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查，属于概念类基础题，相关性质是解决二次函数所有问题的核心基础，需要熟练掌握参数a对图象特征的影响，牢记对称轴、顶点坐标公式。
【难度系数】
0.85
解决本题需结合二次函数的基本性质逐步分析：①首先判断开口方向：二次项系数a的符号决定开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；②再推导对称轴和顶点：把一般式$y=ax^2+bx+c$配方为顶点式$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，可直接得到对称轴、顶点坐标，二者和a的符号无关；③接着判断增减性：结合开口方向，以对称轴为分界，开口向上时左降右升，开口向下时左升右降；④最后判断最值：开口向上时有最低点，顶点处取最小值；开口向下时有最高点，顶点处取最大值，最值为顶点纵坐标。按照上述结论依次填空即可。
【解析】
1. 开口方向：二次项系数a决定开口方向，当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下；
2. 对称轴：将一般式配方后可得出，无论a的正负，二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴都为直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$；
3. 顶点：由顶点式可得，无论a的正负，二次函数的顶点坐标都为$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$；
4. 增减性：$a＞0$时开口向上，对称轴左侧函数递减、右侧递增，即$x＜-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而减小，$x＞-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而增大；$a＜0$时开口向下，对称轴左侧函数递增、右侧递减，即$x＜-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而增大，$x＞-\dfrac{b}{2a}$时y随x增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时抛物线有最低点，在顶点处取最小值，即$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y的最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$；$a＜0$时抛物线有最高点，在顶点处取最大值，即$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y的最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
| $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$} |
| 顶点 | μlticolumn{2}{c}{$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$} |
| 增减性 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最小值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ | 当$x=\boldsymbol{-\dfrac{b}{2a}}$时，$y$有最大值，为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$ |
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查，属于概念类基础题，相关性质是解决二次函数所有问题的核心基础，需要熟练掌握参数a对图象特征的影响，牢记对称轴、顶点坐标公式。
【难度系数】
0.85
