例1 计算：
(1)$x^{15} ÷ x^{6}$；
(2)$(-xy)^{13} ÷ (-xy)^{8}$；
(3)$(x-2y)^{3} ÷ (2y-x)^{2}$.
【思路导析】利用同底数幂的除法法则进行计算.
【请你解答】

解：
(1) 原式$=x^{15-6}$
$=x^9$
(2) 原式$=(-xy)^{13-8}$
$=(-xy)^5$
$=-x^5y^5$
(3) 原式$=(x-2y)^3÷(x-2y)^2$
$=(x-2y)^{3-2}$
$=x-2y$

【分析】
本题考查同底数幂的除法相关运算，解题思路如下：1. 先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数且$m＞n$）；2. 第(1)题底数均为$x$，直接套用法则计算即可；3. 第(2)题把$(-xy)$看作整体作为底数，先用法则计算指数，再利用积的乘方法则展开化简；4. 第(3)题利用偶次幂的性质：互为相反数的两个数的偶次幂相等，将$(2y-x)^2$转化为$(x-2y)^2$，统一底数后再套用同底数幂除法法则计算。
【解析】
(1) 原式$=x^{15-6}$
$=x^9$
(2) 原式$=(-xy)^{13-8}$
$=(-xy)^5$
$=-x^5y^5$
(3) 原式$=(x-2y)^3÷(x-2y)^2$
$=(x-2y)^{3-2}$
$=x-2y$
【答案】
(1)$x^9$；(2)$-x^5y^5$；(3)$x-2y$
【知识点】
同底数幂的除法，积的乘方运算，偶次幂的性质
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心是掌握同底数幂的除法法则，解题时要注意将相同结构的底数看作整体，遇到底数互为相反数的情况，可利用奇偶次幂的性质统一底数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

例2 已知$2×5^m=5×2^m$，求$m$的值.
【思路导析】将等式化为方程的形式，利用$a^0=1(a≠0)$的性质解答.
【请你解答】

解：
由$2×5^m = 5×2^m$，
等式两边同时除以$5×2^m$（$5×2^m ≠ 0$），得
$\frac{2}{2^m} × \frac{5^m}{5} = 1$，
根据同底数幂的除法法则化简，得
$2^{1-m} × 5^{m-1} = 1$，
整理得：
$5^{m-1} × 2^{-(m-1)} = 1$，
即$(\frac{5}{2})^{m-1} = 1$，
根据$a^0=1\ (a≠0)$的性质，且$\frac{5}{2}≠0$，可得
$m-1=0$，
解得$m=1$。

【分析】
遇到含不同底数幂的等式求指数的问题时，可利用幂的运算性质逐步变形求解。首先将等式两边同时除以不为0的公共项，把同底数的幂分别归类，再用同底数幂的除法法则化简，整理为“非零数的幂等于1”的形式，最后根据“任何非零数的0次幂等于1”的性质，令指数为0即可求出m的值。
【解析】
解：由$2×5^m = 5×2^m$，
∵$2^m$恒大于0，因此$5×2^m ≠ 0$，等式两边同时除以$5×2^m$，得
$\frac{2}{2^m} × \frac{5^m}{5} = 1$，
根据同底数幂的除法法则$a^p÷ a^q=a^{p-q}$化简，得
$2^{1-m} × 5^{m-1} = 1$，
整理得：
$5^{m-1} × 2^{-(m-1)} = 1$，
逆用积的乘方法则，得
$(\frac{5}{2})^{m-1} = 1$，
根据$a^0=1\ (a≠0)$的性质，且$\frac{5}{2}≠0$，可得
$m-1=0$，
解得$m=1$。
【答案】
$m=1$
【知识点】
同底数幂的除法；零指数幂的性质；积的乘方逆运算
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合运用，解题的关键是通过等式变形将不同底数的幂整合为同一个底数的幂，再结合零指数幂的性质求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解这类题的基础。
【难度系数】
0.7

例3 计算：
(1)$15a^3b÷3ab$；
(2)$-5x^5y^3z÷3x^2y^2$；
(3)$(-\dfrac{1}{2}a^2b^2c)÷(-\dfrac{1}{6}ab^2)$。
【思路导析】利用单项式除法法则按顺序分别将系数、同底数幂相除。
【请你解答】

解：
(1) $15a^3b÷ 3ab$
$=(15÷ 3)· a^{3-1}· b^{1-1}$
$=5a^2$
(2) $-5x^5y^3z÷ 3x^2y^2$
$=(-5÷ 3)· x^{5-2}· y^{3-2}· z$
$=-\dfrac{5}{3}x^3yz$
(3) $(-\dfrac{1}{2}a^2b^2c)÷ (-\dfrac{1}{6}ab^2)$
$=[(-\dfrac{1}{2})÷ (-\dfrac{1}{6})]· a^{2-1}· b^{2-2}· c$
$=3ac$

【分析】
这三道题均为单项式除以单项式的运算，解题时遵循单项式除法法则分步计算即可：①先计算被除式与除式的系数的商，作为商的系数，注意正负号的运算；②再对同底数幂分别相除，底数不变，指数相减，结果作为商的因式；③只在被除式里含有的字母，要连同它的指数一起作为商的因式，不能遗漏。
【解析】
(1) $15a^3b÷ 3ab$
$=(15÷ 3)· a^{3-1}· b^{1-1}$
$=5a^2$
(2) $-5x^5y^3z÷ 3x^2y^2$
$=(-5÷ 3)· x^{5-2}· y^{3-2}· z$
$=-\dfrac{5}{3}x^3yz$
(3) $(-\dfrac{1}{2}a^2b^2c)÷ (-\dfrac{1}{6}ab^2)$
$=[(-\dfrac{1}{2})÷ (-\dfrac{1}{6})]· a^{2-1}· b^{2-2}· c$
$=3ac$
【答案】
(1)$5a^2$；(2)$-\dfrac{5}{3}x^3yz$；(3)$3ac$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、有理数除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算步骤，运算时需注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，不要遗漏仅在被除式中出现的字母，掌握法则后即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8

例4 计算：
(1)$(6x^{3}y^{2}-7x^{4}y)÷ xy$；
(2)$(0.3a^{2}b-\dfrac{1}{3}a^{3}b^{2}-\dfrac{1}{6}a^{4}b^{3})÷ (-0.5a^{2}b)$.
【思路导析】根据多项式除以单项式法则计算，计算时一定要细心，注意多项式的符号且不能漏项.
【请你解答】

解：
(1) 原式$=6x^3y^2÷ xy -7x^4y÷ xy$
$=6x^{3-1}y^{2-1} -7x^{4-1}y^{1-1}$
$=6x^2y -7x^3$
(2) 原式$=0.3a^2b÷(-0.5a^2b) + (-\dfrac{1}{3}a^3b^2)÷(-0.5a^2b) + (-\dfrac{1}{6}a^4b^3)÷(-0.5a^2b)$
$=-\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}ab + \dfrac{1}{3}a^2b^2$

【分析】
这两道题均为多项式除以单项式的运算，解题时遵循多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。运算过程中需注意三点：①注意每一项的符号，当除式为负数时，要准确判断商的符号；②运用同底数幂的除法法则计算字母部分，底数不变，指数相减；③不能漏除多项式的任意一项。
【解析】
(1) 先将原式拆分为两项分别除以$xy$：
原式$=6x^3y^2÷ xy -7x^4y÷ xy$
根据同底数幂除法法则计算：
$=6x^{3-1}y^{2-1} -7x^{4-1}y^{1-1}$
化简得：
$=6x^2y -7x^3$
(2) 先将原式拆分为三项分别除以$-0.5a^2b$，注意每一项的符号：
原式$=0.3a^2b÷(-0.5a^2b) + (-\dfrac{1}{3}a^3b^2)÷(-0.5a^2b) + (-\dfrac{1}{6}a^4b^3)÷(-0.5a^2b)$
分别计算每一项的商，系数、同底数幂分别运算：
$=-\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}ab + \dfrac{1}{3}a^2b^2$
【答案】
(1)$6x^2y -7x^3$；(2)$-\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}ab + \dfrac{1}{3}a^2b^2$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础练习题，核心是对多项式除以单项式法则的运用，运算中需格外注意符号判断和项的完整性，避免出现符号错误、漏项、指数计算错误等问题，熟练掌握该类运算可为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8

例5 计算：
(1)$[ (-3xy)^2 · x^3 - 2x^2 · (3xy^3)^3 · \frac{1}{2}y ] ÷ 9x^4y^2$；
(2)$[ (x+2y)(x-2y) + 4(x-y)^2 ] ÷ 6x$；
【思路导析】将被除式先化简后再进行除法计算。
【请你解答】

解：
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[9x^2y^2 · x^3 - 2x^2 · 27x^3y^9 · \frac{1}{2}y] ÷ 9x^4y^2\\&=[9x^5y^2 - 27x^5y^{10}] ÷ 9x^4y^2\\&=9x^5y^2 ÷ 9x^4y^2 - 27x^5y^{10} ÷ 9x^4y^2\\&=x - 3xy^8\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[x^2 - 4y^2 + 4(x^2 - 2xy + y^2)] ÷ 6x\\&=[x^2 - 4y^2 + 4x^2 - 8xy + 4y^2] ÷ 6x\\&=(5x^2 - 8xy) ÷ 6x\\&=\frac{5}{6}x - \frac{4}{3}y\end{aligned}$

【分析】
这两道题属于整式混合运算类题目，解题遵循整式运算的通用顺序：第一步先处理括号内的运算，括号内优先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项化简被除式；第二步将化简后的多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加即可。计算时要注意幂的运算规则、乘法公式的正确使用，避免系数、指数计算错误。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[9x^2y^2 · x^3 - 2x^2 · 27x^3y^9 · \frac{1}{2}y] ÷ 9x^4y^2\\&=[9x^5y^2 - 27x^5y^{10}] ÷ 9x^4y^2\\&=9x^5y^2 ÷ 9x^4y^2 - 27x^5y^{10} ÷ 9x^4y^2\\&=x - 3xy^8\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[x^2 - 4y^2 + 4(x^2 - 2xy + y^2)] ÷ 6x\\&=[x^2 - 4y^2 + 4x^2 - 8xy + 4y^2] ÷ 6x\\&=(5x^2 - 8xy) ÷ 6x\\&=\frac{5}{6}x - \frac{4}{3}y\end{aligned}$
【答案】
(1) $x - 3xy^8$；(2) $\frac{5}{6}x - \frac{4}{3}y$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，多项式除以单项式
【点评】
本题重点考查整式混合运算的规则，解题时需严格遵循运算顺序，正确运用幂的运算法则、平方差公式和完全平方公式化简，计算系数、指数时要细心，避免出现低级计算失误。
【难度系数】
0.7