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1. 如图所示的是某食品包装盒的表面展开图(单位:cm),则该包装盒的容积最大为
1 500
cm³. 答案
1. 1 500
解析
【分析】
首先识别该展开图对应长方体包装盒，先根据展开图的边长关系推导长方体的长、宽、高：已知竖直方向尺寸15cm是长方体的宽，设长方体的高为$x$cm，根据总长度40cm可推出长方体的长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$cm；再根据长方体容积公式建立容积关于$x$的二次函数，结合二次函数开口向下、顶点处取最大值的性质，代入顶点横坐标即可求出最大容积，注意需保证边长为正确定$x$的取值范围。
【解析】
由展开图可知该包装盒为长方体：
长方体的宽为15 cm，高为$x$cm，长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$cm，其中$x＞0$且$20-x＞0$，即$0＜x＜20$。
设包装盒容积为$V\ \mathrm{cm}^3$，根据长方体容积公式得：
$\begin{aligned}V&=15× x×(20-x)\\&=-15x^2+300x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2×(-15)}=10$
$x=10$在$0＜x＜20$范围内，符合实际意义，代入得最大容积：
$V_{\mathrm{max}}=-15×10^2+300×10=1500$
【答案】
1500
【知识点】
长方体展开图；二次函数实际应用；二次函数最值
【点评】
本题结合立体展开图与二次函数知识考查实际应用问题，解题核心是正确根据展开图对应长方体各棱长，易错点是容易混淆长、高的表达式，另外要注意自变量取值需符合实际边长为正的要求。
【难度系数】
0.65
首先识别该展开图对应长方体包装盒，先根据展开图的边长关系推导长方体的长、宽、高：已知竖直方向尺寸15cm是长方体的宽，设长方体的高为$x$cm，根据总长度40cm可推出长方体的长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$cm；再根据长方体容积公式建立容积关于$x$的二次函数，结合二次函数开口向下、顶点处取最大值的性质，代入顶点横坐标即可求出最大容积，注意需保证边长为正确定$x$的取值范围。
【解析】
由展开图可知该包装盒为长方体：
长方体的宽为15 cm，高为$x$cm，长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$cm，其中$x＞0$且$20-x＞0$，即$0＜x＜20$。
设包装盒容积为$V\ \mathrm{cm}^3$，根据长方体容积公式得：
$\begin{aligned}V&=15× x×(20-x)\\&=-15x^2+300x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2×(-15)}=10$
$x=10$在$0＜x＜20$范围内，符合实际意义，代入得最大容积：
$V_{\mathrm{max}}=-15×10^2+300×10=1500$
【答案】
1500
【知识点】
长方体展开图；二次函数实际应用；二次函数最值
【点评】
本题结合立体展开图与二次函数知识考查实际应用问题，解题核心是正确根据展开图对应长方体各棱长，易错点是容易混淆长、高的表达式，另外要注意自变量取值需符合实际边长为正的要求。
【难度系数】
0.65
2. 某数学小组对矩形的折叠进行了探究.如图,在矩形ABCD中,AB的长度为a,BC的长度为b(a＜b),将矩形ABCD按如图所示的顺序进行折叠,第三步折叠后,点C与点D的对应点分别为C',D'.
(1)①若点C'落在点D'下方,则$C'D'=$
②若点C',D'重合,$\frac{a}{b}$的值为
(2)如果b的值保持不变,改变a的值,且点C'始终落在点D'下方.若四边形C'D'EF的面积的最大值为3,求b的值.
(1)①若点C'落在点D'下方,则$C'D'=$
3a-2b
;(用含a,b的代数式表示)②若点C',D'重合,$\frac{a}{b}$的值为
$\frac{2}{3}$
.(2)如果b的值保持不变,改变a的值,且点C'始终落在点D'下方.若四边形C'D'EF的面积的最大值为3,求b的值.
答案
2. (1)①3a-2b 解析:如图,由折叠可得 AG=AB=A'G=A'B=a, DG=DE=D'G=D'E=b-a,若点 C'落在点 D'下方,则 C'D'=a-2(b-a)=3a-2b.
②$\frac{2}{3}$ 解析:若点 C',D'重合,则 C'D'=3a-2b=0,
∴ 3a=2b,
∴ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$.
(2)如图所示,
∵ 点 C'始终落在点 D'下方,
∴ $S_{四边形C'D'EF}=C'D' · D'E=(3a-2b)(b-a)=-3a^2+5ab-2b^2$.
∵ b 的值保持不变,改变 a 的值,
∴ 当$a = -\frac{5b}{2×(-3)}=\frac{5b}{6}$时,$S_{四边形C'D'EF}$最大,
∴ $\frac{4×(-3)×(-2b^2)-(5b)^2}{4×(-3)}=3$,整理得 $25b^2-24b^2=36$,解得 b=6(负值已舍去).
解析
【分析】
解决本题的核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，先梳理出各段折叠后线段的长度：
1. 解决(1)问时，先根据折叠得到A'G、D'G、A'C'的长度，结合点C'、D'的位置关系推导C'D'的表达式；若两点重合则C'D'为0，代入即可求出a与b的比值。
2. 解决(2)问时，先判断四边形C'D'EF为矩形，面积为相邻两边长度的乘积，得到关于a的二次函数，再利用二次函数的最值性质，结合最大值为3列方程求解b的值。
【解析】
(1)①由折叠的性质可知：$AG=AB=A'G=A'B=a$，$DG=DE=D'G=D'E = b - a$，同理折叠后$A'F=CF=b - a$。
因为点C'落在D'下方，所以$C'D' = A'G - D'G - A'C' = a - (b - a) - (b - a) = 3a - 2b$。
②若点C'、D'重合，则$C'D'=0$，即$3a - 2b = 0$，整理得$3a=2b$，因此$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$。
(2)由折叠性质可知$∠ D'$、$∠ C'$均为直角，且$D'E// C'F$，因此四边形C'D'EF为矩形。
已知点C'始终落在D'下方，因此矩形的长为$D'E = b - a$，宽为$C'D' = 3a - 2b$，
则四边形面积$S=(3a-2b)(b-a)=-3a^2+5ab-2b^2$。
该式是关于a的二次函数，二次项系数$-3＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，当$x=-\frac{B}{2A}$时取最值，此处$A=-3$，$B=5b$，因此当$a=-\frac{5b}{2×(-3)}=\frac{5b}{6}$时，S取得最大值。
将参数代入最值公式$\frac{4AC-B^2}{4A}$可得：
最大值为$\frac{4×(-3)×(-2b^2)-(5b)^2}{4×(-3)}=3$，整理得$25b^2-24b^2=36$，解得$b=6$（负值已舍去）。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3a-2b}$；②$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
(2)$\boldsymbol{b=6}$
【知识点】
折叠的性质，二次函数的最值，矩形的性质
【点评】
本题以矩形折叠为背景，综合考查了图形变换的性质和函数最值的应用，需要学生具备数形结合能力，能将几何中的长度关系转化为代数式运算求解，兼顾了几何直观与代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，先梳理出各段折叠后线段的长度：
1. 解决(1)问时，先根据折叠得到A'G、D'G、A'C'的长度，结合点C'、D'的位置关系推导C'D'的表达式；若两点重合则C'D'为0，代入即可求出a与b的比值。
2. 解决(2)问时，先判断四边形C'D'EF为矩形，面积为相邻两边长度的乘积，得到关于a的二次函数，再利用二次函数的最值性质，结合最大值为3列方程求解b的值。
【解析】
(1)①由折叠的性质可知：$AG=AB=A'G=A'B=a$，$DG=DE=D'G=D'E = b - a$，同理折叠后$A'F=CF=b - a$。
因为点C'落在D'下方，所以$C'D' = A'G - D'G - A'C' = a - (b - a) - (b - a) = 3a - 2b$。
②若点C'、D'重合，则$C'D'=0$，即$3a - 2b = 0$，整理得$3a=2b$，因此$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$。
(2)由折叠性质可知$∠ D'$、$∠ C'$均为直角，且$D'E// C'F$，因此四边形C'D'EF为矩形。
已知点C'始终落在D'下方，因此矩形的长为$D'E = b - a$，宽为$C'D' = 3a - 2b$，
则四边形面积$S=(3a-2b)(b-a)=-3a^2+5ab-2b^2$。
该式是关于a的二次函数，二次项系数$-3＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，当$x=-\frac{B}{2A}$时取最值，此处$A=-3$，$B=5b$，因此当$a=-\frac{5b}{2×(-3)}=\frac{5b}{6}$时，S取得最大值。
将参数代入最值公式$\frac{4AC-B^2}{4A}$可得：
最大值为$\frac{4×(-3)×(-2b^2)-(5b)^2}{4×(-3)}=3$，整理得$25b^2-24b^2=36$，解得$b=6$（负值已舍去）。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3a-2b}$；②$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
(2)$\boldsymbol{b=6}$
【知识点】
折叠的性质，二次函数的最值，矩形的性质
【点评】
本题以矩形折叠为背景，综合考查了图形变换的性质和函数最值的应用，需要学生具备数形结合能力，能将几何中的长度关系转化为代数式运算求解，兼顾了几何直观与代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
3. 在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8 m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE. 那么当BE为多少时，绿地AEFG的面积最大？（
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
B
）A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数表示出绿地矩形的长和宽，再建立面积关于未知数的函数关系，利用二次函数的最值性质求解。首先设BE的长度为x m，根据DG=2BE可得DG的长度，再结合正方形边长为8m，分别写出矩形AEFG的邻边AE、AG的长度，根据矩形面积公式得到面积的函数表达式，最后求二次函数取最大值时对应的x值即可。
【解析】
设$ BE = x\ \mathrm{m} $，由$ DG=2BE $可得$ DG=2x\ \mathrm{m} $。
∵正方形ABCD的边长为8m，
∴$ AE = AB - BE = (8 - x)\ \mathrm{m} $，$ AG = AD + DG = (8 + 2x)\ \mathrm{m} $。
设矩形AEFG的面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=AE · AG\\&=(8 - x)(8 + 2x)\\&=-2x^2 + 8x + 64\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-2＜0 $，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-2,b=8 $得：
$ x=-\frac{8}{2×(-2)}=2 $
即当$ BE=2\ \mathrm{m} $时，绿地AEFG的面积最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是结合题意建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解，解题过程中要注意自变量的实际意义，属于基础的应用型考点。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数表示出绿地矩形的长和宽，再建立面积关于未知数的函数关系，利用二次函数的最值性质求解。首先设BE的长度为x m，根据DG=2BE可得DG的长度，再结合正方形边长为8m，分别写出矩形AEFG的邻边AE、AG的长度，根据矩形面积公式得到面积的函数表达式，最后求二次函数取最大值时对应的x值即可。
【解析】
设$ BE = x\ \mathrm{m} $，由$ DG=2BE $可得$ DG=2x\ \mathrm{m} $。
∵正方形ABCD的边长为8m，
∴$ AE = AB - BE = (8 - x)\ \mathrm{m} $，$ AG = AD + DG = (8 + 2x)\ \mathrm{m} $。
设矩形AEFG的面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=AE · AG\\&=(8 - x)(8 + 2x)\\&=-2x^2 + 8x + 64\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-2＜0 $，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-2,b=8 $得：
$ x=-\frac{8}{2×(-2)}=2 $
即当$ BE=2\ \mathrm{m} $时，绿地AEFG的面积最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是结合题意建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解，解题过程中要注意自变量的实际意义，属于基础的应用型考点。
【难度系数】
0.7
4. （2026·南宁月考）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连结CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连结DF，DG，则△DFG面积的最小值为
＞＞进一步挑战进阶专题：P19 专题17
$\frac{3}{2}$
。＞＞进一步挑战进阶专题：P19 专题17
答案
4. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题属于动点几何最值问题，可通过坐标法将几何问题转化为代数问题求解：第一步，建立平面直角坐标系，设出动点E的坐标参数；第二步，利用正方形的性质和坐标变换规律，求出正方形CEFG顶点F、G的坐标；第三步，用鞋带公式将△DFG的面积表示为关于参数的二次函数；第四步，对二次函数配方，结合参数的取值范围求出面积的最小值。
【解析】
解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵正方形ABCD边长为2，
∴各点坐标为：$B(0,0)$，$C(2,0)$，$A(0,2)$，$D(2,2)$。
设E点坐标为$(t, 2)$（$0≤ t≤2$），由正方形CEFG的旋转性质可推得：$G(4, 2-t)$，$F(t+2, 4-t)$。
根据三点坐标求三角形面积的鞋带公式，△DFG的面积为：
$\begin{aligned}S_{△ DFG}&=\frac{1}{2}\left|x_D(y_F-y_G)+x_F(y_G-y_D)+x_G(y_D-y_F)\right|\\&=\frac{1}{2}\left|2×[(4-t)-(2-t)] + (t+2)×[(2-t)-2] +4×[2-(4-t)]\right|\\&=\frac{1}{2}\left|4 - t^2 -2t +4t -8\right|\\&=\frac{1}{2}(t^2-2t+4) \\&=\frac{1}{2}[(t-1)^2 +3]\end{aligned}$
∵$0≤ t≤2$，
∴当$t=1$时，$(t-1)^2$取最小值0，此时$S_{△ DFG}$取得最小值$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
正方形的性质；二次函数的最值；坐标法求面积
【点评】
本题将几何动点问题和代数二次函数最值结合，核心是通过建立坐标系把未知的面积转化为可求最值的二次函数，是处理这类动态几何最值问题的常用思路，需要熟练掌握坐标变换和二次函数配方的技巧。
【难度系数】
0.6
本题属于动点几何最值问题，可通过坐标法将几何问题转化为代数问题求解：第一步，建立平面直角坐标系，设出动点E的坐标参数；第二步，利用正方形的性质和坐标变换规律，求出正方形CEFG顶点F、G的坐标；第三步，用鞋带公式将△DFG的面积表示为关于参数的二次函数；第四步，对二次函数配方，结合参数的取值范围求出面积的最小值。
【解析】
解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵正方形ABCD边长为2，
∴各点坐标为：$B(0,0)$，$C(2,0)$，$A(0,2)$，$D(2,2)$。
设E点坐标为$(t, 2)$（$0≤ t≤2$），由正方形CEFG的旋转性质可推得：$G(4, 2-t)$，$F(t+2, 4-t)$。
根据三点坐标求三角形面积的鞋带公式，△DFG的面积为：
$\begin{aligned}S_{△ DFG}&=\frac{1}{2}\left|x_D(y_F-y_G)+x_F(y_G-y_D)+x_G(y_D-y_F)\right|\\&=\frac{1}{2}\left|2×[(4-t)-(2-t)] + (t+2)×[(2-t)-2] +4×[2-(4-t)]\right|\\&=\frac{1}{2}\left|4 - t^2 -2t +4t -8\right|\\&=\frac{1}{2}(t^2-2t+4) \\&=\frac{1}{2}[(t-1)^2 +3]\end{aligned}$
∵$0≤ t≤2$，
∴当$t=1$时，$(t-1)^2$取最小值0，此时$S_{△ DFG}$取得最小值$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
正方形的性质；二次函数的最值；坐标法求面积
【点评】
本题将几何动点问题和代数二次函数最值结合，核心是通过建立坐标系把未知的面积转化为可求最值的二次函数，是处理这类动态几何最值问题的常用思路，需要熟练掌握坐标变换和二次函数配方的技巧。
【难度系数】
0.6
