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1. ★★ (2025·阜阳月考)若$\odot O$的直径为12,直线$l$上有一点$P$满足$OP=6$,则直线$l$与$\odot O$的位置关系是 (
A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交
D
)A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交
答案
1. D
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心依据是圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先计算出$\odot O$的半径$r=6$，题目给出的$OP=6$是圆心到直线$l$上点$P$的距离，不是圆心到直线的垂线段长度，因此需要分两种情况讨论：当$OP$垂直于直线$l$时，$OP$就是圆心到直线的距离；当$OP$不垂直于直线$l$时，根据垂线段最短，圆心到直线的距离小于$OP$的长度，分别推导两种情况对应的位置关系即可。
【解析】
$\because \odot O$的直径为12，$\therefore \odot O$的半径$r=12÷2=6$。
已知直线$l$上有一点$P$满足$OP=6$，分两种情况讨论：
1. 若$OP⊥$直线$l$：此时圆心$O$到直线$l$的距离$d=OP=6=r$，$\therefore$直线$l$与$\odot O$相切；
2. 若$OP$不垂直于直线$l$：根据“垂线段最短”，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜OP=6$，即$d＜r$，$\therefore$直线$l$与$\odot O$相交。
综上，直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【答案】
D
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.垂线段的性质
【点评】
本题易出现的错误是直接将$OP$的长度当作圆心到直线的距离，误选相切选项。解题时要注意题目给出的是圆心到直线上某一点的距离，而非垂距，需分类讨论不同情况，结合垂线段最短的性质分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要判断直线与圆的位置关系，核心依据是圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先计算出$\odot O$的半径$r=6$，题目给出的$OP=6$是圆心到直线$l$上点$P$的距离，不是圆心到直线的垂线段长度，因此需要分两种情况讨论：当$OP$垂直于直线$l$时，$OP$就是圆心到直线的距离；当$OP$不垂直于直线$l$时，根据垂线段最短，圆心到直线的距离小于$OP$的长度，分别推导两种情况对应的位置关系即可。
【解析】
$\because \odot O$的直径为12，$\therefore \odot O$的半径$r=12÷2=6$。
已知直线$l$上有一点$P$满足$OP=6$，分两种情况讨论：
1. 若$OP⊥$直线$l$：此时圆心$O$到直线$l$的距离$d=OP=6=r$，$\therefore$直线$l$与$\odot O$相切；
2. 若$OP$不垂直于直线$l$：根据“垂线段最短”，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜OP=6$，即$d＜r$，$\therefore$直线$l$与$\odot O$相交。
综上，直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【答案】
D
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.垂线段的性质
【点评】
本题易出现的错误是直接将$OP$的长度当作圆心到直线的距离，误选相切选项。解题时要注意题目给出的是圆心到直线上某一点的距离，而非垂距，需分类讨论不同情况，结合垂线段最短的性质分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. ★★★ (2025·常州期中)如图，已知∠BAC=45°,点O在AC上,且AO=4√2,以点O为圆心,r为半径画⊙O.若⊙O与射线AB有1个公共点,则r的取值范围是
r=4或r＞4√2
。答案
2. r=4或r＞4√2
解析
【分析】
要确定⊙O与射线AB只有1个公共点时r的取值范围，需分两类情况讨论：①⊙O与直线AB相切，此时圆与射线AB仅有1个切点；②⊙O与直线AB相交，但仅1个交点落在射线AB上，另一个交点在射线AB的反向延长线上。首先过点O作AB的垂线，利用已知的∠BAC度数和AO长度求出圆心O到AB的距离，再结合两种情况分别推导r的范围即可。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，
在Rt△AOD中，∠BAC=45°，AO=4√2，
∴ $ OD = AO · \sin45° = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 $。
分两种情况讨论：
1. 当⊙O与AB相切时，圆与射线AB只有1个公共点（切点），此时半径$ r=OD=4 $；
2. 当⊙O与直线AB相交，且仅1个交点在射线AB上时，需满足点A在⊙O内部，即$ r＞AO $，也就是$ r＞4\sqrt{2} $，此时射线AB仅穿过圆1次，只有1个公共点。
综上，r的取值范围是$ r=4 $或$ r＞4\sqrt{2} $。
【答案】
$ r=4 $或$ r＞4\sqrt{2} $
【知识点】
直线与圆的位置关系，解直角三角形
【点评】
本题容易忽略射线和直线的区别，仅考虑相切的情况，漏掉半径大于AO时的相交情况，解题时要注意结合射线的范围判断交点个数，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要确定⊙O与射线AB只有1个公共点时r的取值范围，需分两类情况讨论：①⊙O与直线AB相切，此时圆与射线AB仅有1个切点；②⊙O与直线AB相交，但仅1个交点落在射线AB上，另一个交点在射线AB的反向延长线上。首先过点O作AB的垂线，利用已知的∠BAC度数和AO长度求出圆心O到AB的距离，再结合两种情况分别推导r的范围即可。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，
在Rt△AOD中，∠BAC=45°，AO=4√2，
∴ $ OD = AO · \sin45° = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 $。
分两种情况讨论：
1. 当⊙O与AB相切时，圆与射线AB只有1个公共点（切点），此时半径$ r=OD=4 $；
2. 当⊙O与直线AB相交，且仅1个交点在射线AB上时，需满足点A在⊙O内部，即$ r＞AO $，也就是$ r＞4\sqrt{2} $，此时射线AB仅穿过圆1次，只有1个公共点。
综上，r的取值范围是$ r=4 $或$ r＞4\sqrt{2} $。
【答案】
$ r=4 $或$ r＞4\sqrt{2} $
【知识点】
直线与圆的位置关系，解直角三角形
【点评】
本题容易忽略射线和直线的区别，仅考虑相切的情况，漏掉半径大于AO时的相交情况，解题时要注意结合射线的范围判断交点个数，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 如图，PA与$\odot O$相切于点A.PO交$\odot O$于点B，点C在PA上，且$CB=CA$.若$OA=5$，$PA=12$，则CA的长为（
A.3
B.$\frac{10}{3}$
C.3.5
D.4
（第3题）
B
）A.3
B.$\frac{10}{3}$
C.3.5
D.4
（第3题）答案
3. B
解析
【分析】
首先根据切线的性质可知OA⊥PA，可先在Rt△OAP中利用勾股定理求出OP的长度，进而得到PB的长；再连接OC，通过SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠OBC=90°，即△PBC为直角三角形；最后设CA的长为x，用含x的式子表示出CP的长，在Rt△PBC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$∠ OAP=90°$，
在Rt$△ OAP$中，$OA=5$，$PA=12$，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=5$，
∴$PB=OP-OB=13-5=8$。
在$△ OAC$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB\\CA=CB\\OC=OC\end{cases}$
∴$△ OAC≌△ OBC$（SSS），
∴$∠ OBC=∠ OAC=90°$，即$∠ PBC=90°$。
设$CA=x$，则$CB=x$，$CP=PA-CA=12-x$，
在Rt$△ PBC$中，由勾股定理得：
$CB^2+PB^2=CP^2$，
即$x^2+8^2=(12-x)^2$，
展开得：$x^2+64=144-24x+x^2$，
化简得：$24x=80$，
解得：$x=\frac{10}{3}$，即CA的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将已知条件转化到直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据切线的性质可知OA⊥PA，可先在Rt△OAP中利用勾股定理求出OP的长度，进而得到PB的长；再连接OC，通过SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠OBC=90°，即△PBC为直角三角形；最后设CA的长为x，用含x的式子表示出CP的长，在Rt△PBC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OC，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$∠ OAP=90°$，
在Rt$△ OAP$中，$OA=5$，$PA=12$，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=5$，
∴$PB=OP-OB=13-5=8$。
在$△ OAC$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB\\CA=CB\\OC=OC\end{cases}$
∴$△ OAC≌△ OBC$（SSS），
∴$∠ OBC=∠ OAC=90°$，即$∠ PBC=90°$。
设$CA=x$，则$CB=x$，$CP=PA-CA=12-x$，
在Rt$△ PBC$中，由勾股定理得：
$CB^2+PB^2=CP^2$，
即$x^2+8^2=(12-x)^2$，
展开得：$x^2+64=144-24x+x^2$，
化简得：$24x=80$，
解得：$x=\frac{10}{3}$，即CA的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将已知条件转化到直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
4. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B，点C在劣弧AB上，过点C的切线分别交PA，PB于点D，E.若$PB=10$，则$△ PDE$的周长为
20
.答案
4. 20
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。解题时先明确PA=PB，再将△PDE的周长中的线段DE拆分为DC+CE，通过切线长相等将DC替换为DA、CE替换为EB，就可以把△PDE的周长转化为PA+PB的和，代入已知PB的长度即可求出结果。
【解析】
根据切线长定理：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点为A、B，
∴$PA=PB=10$，
又
∵DA、DC是从点D引$\odot O$的两条切线，
∴$DA=DC$，
同理，EB、EC是从点E引$\odot O$的两条切线，
∴$EB=EC$，
则$△ PDE$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PDE}&=PD+DE+PE\\&=PD+DC+CE+PE\\&=PD+DA+EB+PE\\&=(PD+DA)+(PE+EB)\\&=PA+PB\\&=10+10=20\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是利用切线长定理进行线段的等量代换，把所求三角形的周长转化为已知长度的两条切线长之和，解题时注意拆分所求周长的对应线段，准确寻找相等的切线长即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理求解，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。解题时先明确PA=PB，再将△PDE的周长中的线段DE拆分为DC+CE，通过切线长相等将DC替换为DA、CE替换为EB，就可以把△PDE的周长转化为PA+PB的和，代入已知PB的长度即可求出结果。
【解析】
根据切线长定理：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点为A、B，
∴$PA=PB=10$，
又
∵DA、DC是从点D引$\odot O$的两条切线，
∴$DA=DC$，
同理，EB、EC是从点E引$\odot O$的两条切线，
∴$EB=EC$，
则$△ PDE$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PDE}&=PD+DE+PE\\&=PD+DC+CE+PE\\&=PD+DA+EB+PE\\&=(PD+DA)+(PE+EB)\\&=PA+PB\\&=10+10=20\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是利用切线长定理进行线段的等量代换，把所求三角形的周长转化为已知长度的两条切线长之和，解题时注意拆分所求周长的对应线段，准确寻找相等的切线长即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. ★★(2026·大同期中)如图，$\odot O$的半径为2，A，B，C为$\odot O$上的点，连结OA，AB，BC，$∠ A=60°$，$BC// OA$.过点C作$\odot O$的切线，交AO的延长线于点D，则四边形ABCD的面积为
$4\sqrt{3}$
.答案
5. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先遇到圆的切线，要先连接过切点的半径得到垂直关系；已知∠A=60°，OA、OB都是半径，可先判定△OAB是等边三角形，得到相关角度和边长；再结合BC//OA的条件，推出△OBC也是等边三角形，得到BC的长度和∠COD的度数；接着在直角三角形OCD中求出CD的长度；最后将四边形ABCD拆分为几个规则图形，用面积和计算即可，也可根据BC与AD平行，利用梯形面积公式求解。
【解析】
连接OB、OC，步骤如下：
1. 已知⊙O半径为2，故OA=OB=OC=2，又∠OAB=60°，因此△OAB是等边三角形，可得∠AOB=60°。
2. 因为BC//OA，根据内错角相等得∠OBC=∠AOB=60°，结合OB=OC，可知△OBC是等边三角形，因此BC=2，∠BOC=60°。
3. 平角为180°，故∠COD=180°-∠AOB-∠BOC=180°-60°-60°=60°。
4. 因为CD是⊙O的切线，根据切线性质得OC⊥CD，即∠OCD=90°。
5. 在Rt△OCD中，OC=2，∠COD=60°，因此CD=OC·tan60°=2√3，OD=2OC=4。
6. 因为BC//AD，四边形ABCD是梯形，上底BC=2，下底AD=OA+OD=2+4=6，两平行线BC、AD之间的高为等边三角形的高，即$h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，代入梯形面积公式：$S_{ABCD}=\frac{(2+6)×\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定与性质；梯形面积计算
【点评】
本题综合了圆的性质与特殊三角形、梯形的相关知识，解题核心是合理添加辅助线，将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积求解，需要熟练掌握切线、等边三角形的基础性质。
【难度系数】
0.65
解题时首先遇到圆的切线，要先连接过切点的半径得到垂直关系；已知∠A=60°，OA、OB都是半径，可先判定△OAB是等边三角形，得到相关角度和边长；再结合BC//OA的条件，推出△OBC也是等边三角形，得到BC的长度和∠COD的度数；接着在直角三角形OCD中求出CD的长度；最后将四边形ABCD拆分为几个规则图形，用面积和计算即可，也可根据BC与AD平行，利用梯形面积公式求解。
【解析】
连接OB、OC，步骤如下：
1. 已知⊙O半径为2，故OA=OB=OC=2，又∠OAB=60°，因此△OAB是等边三角形，可得∠AOB=60°。
2. 因为BC//OA，根据内错角相等得∠OBC=∠AOB=60°，结合OB=OC，可知△OBC是等边三角形，因此BC=2，∠BOC=60°。
3. 平角为180°，故∠COD=180°-∠AOB-∠BOC=180°-60°-60°=60°。
4. 因为CD是⊙O的切线，根据切线性质得OC⊥CD，即∠OCD=90°。
5. 在Rt△OCD中，OC=2，∠COD=60°，因此CD=OC·tan60°=2√3，OD=2OC=4。
6. 因为BC//AD，四边形ABCD是梯形，上底BC=2，下底AD=OA+OD=2+4=6，两平行线BC、AD之间的高为等边三角形的高，即$h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，代入梯形面积公式：$S_{ABCD}=\frac{(2+6)×\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定与性质；梯形面积计算
【点评】
本题综合了圆的性质与特殊三角形、梯形的相关知识，解题核心是合理添加辅助线，将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积求解，需要熟练掌握切线、等边三角形的基础性质。
【难度系数】
0.65
6. ★★ (2026·日照期中)如图,半圆O的直径$PQ=6\ \mathrm{cm}$,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ ACB=30°$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,半圆O以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从左向右运动.在运动过程中,点$P,Q$始终在直线$BC$上,设运动时间为$t(\mathrm{s})$,当$t=0$时,半圆O在$△ ABC$的左侧,$OB=4\ \mathrm{cm}$.当$△ ABC$的一边与半圆O相切时,$t$的值为
1或4或7
.答案
6. 1或4或7 解析:
∵ PQ=6 cm,OB=4 cm,
∴ OQ=3 cm,
∴ QB=4-3=1(cm).
如图①,当点Q运动到与点B重合时,则AB⊥PQ,AB与半圆O相切,此时半圆O运动的距离为1 cm,
∴ 运动时间为1÷1=1(s).
如图②,当半圆O与AC相切于点F时,则∠OFC=90°.
∵ ∠ACB=30°,OF=3 cm,BC=6 cm,
∴ OC=2OF=6 cm,
∴ OC=BC,
∴ 此时点O与点B重合,
∴ 半圆O运动的距离为4 cm,
∴ 运动时间为4÷1=4(s).
如图③,当点P运动到与点B重合时,则AB⊥PQ,AB与半圆O相切,此时半圆O运动的距离为6+1=7(cm),
∴ 运动时间为7÷1=7(s).综上所述,当△ABC的一边与半圆O相切时,t的值为1或4或7。
解析
【分析】
本题属于动态几何中直线与圆相切的问题，解题时先梳理已知条件：半圆O半径为3cm，运动速度为1cm/s，初始位置OB=4cm。直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，因此需要分类讨论所有可能的相切情形：①AB与半圆左侧相切；②AC与半圆相切；③AB与半圆右侧相切，分别计算每种情形下半圆O移动的路程，再结合速度即可求出对应时间t。
【解析】
已知半圆O的直径$PQ=6\ \mathrm{cm}$，因此半圆半径$r=OQ=OP=3\ \mathrm{cm}$，初始时$OB=4\ \mathrm{cm}$，可得初始位置$QB=OB-OQ=4-3=1\ \mathrm{cm}$，分三种相切情况讨论：
1. 如图①，当点Q运动到与点B重合时，$\because ∠ ABC=90°$即$AB⊥ BC$，此时AB与半圆O相切。半圆O向右移动的距离为1cm，运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，因此运动时间$t_1=1÷1=1(\mathrm{s})$。
2. 如图②，当半圆O与AC相切于点F时，连接OF，根据切线的性质得$OF⊥ AC$，即$∠ OFC=90°$。$\because ∠ ACB=30°$，$OF=3\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ OFC$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此$OC=2OF=6\ \mathrm{cm}$。已知$BC=6\ \mathrm{cm}$，因此此时点O与点B重合，半圆O向右移动的距离为4cm，运动时间$t_2=4÷1=4(\mathrm{s})$。
3. 如图③，当点P运动到与点B重合时，$\because ∠ ABC=90°$即$AB⊥ BC$，此时AB与半圆O相切。半圆O向右移动的距离为$PB=OP+OB=3+4=7\ \mathrm{cm}$，运动时间$t_3=7÷1=7(\mathrm{s})$。
【答案】
1或4或7
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查动态背景下直线与圆相切的判定，解题的关键是全面分类讨论所有相切的情况，结合切线性质和直角三角形的特征计算圆心移动的路程，要注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题属于动态几何中直线与圆相切的问题，解题时先梳理已知条件：半圆O半径为3cm，运动速度为1cm/s，初始位置OB=4cm。直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，因此需要分类讨论所有可能的相切情形：①AB与半圆左侧相切；②AC与半圆相切；③AB与半圆右侧相切，分别计算每种情形下半圆O移动的路程，再结合速度即可求出对应时间t。
【解析】
已知半圆O的直径$PQ=6\ \mathrm{cm}$，因此半圆半径$r=OQ=OP=3\ \mathrm{cm}$，初始时$OB=4\ \mathrm{cm}$，可得初始位置$QB=OB-OQ=4-3=1\ \mathrm{cm}$，分三种相切情况讨论：
1. 如图①，当点Q运动到与点B重合时，$\because ∠ ABC=90°$即$AB⊥ BC$，此时AB与半圆O相切。半圆O向右移动的距离为1cm，运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，因此运动时间$t_1=1÷1=1(\mathrm{s})$。
2. 如图②，当半圆O与AC相切于点F时，连接OF，根据切线的性质得$OF⊥ AC$，即$∠ OFC=90°$。$\because ∠ ACB=30°$，$OF=3\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ OFC$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此$OC=2OF=6\ \mathrm{cm}$。已知$BC=6\ \mathrm{cm}$，因此此时点O与点B重合，半圆O向右移动的距离为4cm，运动时间$t_2=4÷1=4(\mathrm{s})$。
3. 如图③，当点P运动到与点B重合时，$\because ∠ ABC=90°$即$AB⊥ BC$，此时AB与半圆O相切。半圆O向右移动的距离为$PB=OP+OB=3+4=7\ \mathrm{cm}$，运动时间$t_3=7÷1=7(\mathrm{s})$。
【答案】
1或4或7
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查动态背景下直线与圆相切的判定，解题的关键是全面分类讨论所有相切的情况，结合切线性质和直角三角形的特征计算圆心移动的路程，要注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
