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1. ★★★（2025·徐州期中）如图，在方格纸中，A，B两点在圆上，且均为格点，请仅用无刻度的直尺，在图中作出该圆的圆心O. 
答案
取格点 E,延长 AE 交圆于点 C,连结 AB,BE.
∵ AB² = 1²+2² = 5,AE² = 1²+2² = 5,BE² = 1²+3² = 10,
∴ AB² + AE² = BE²,
∴ ∠BAC=90°,
∴ BC 是⊙O 的直径,
∴ BC 与格线的交点即为圆心O,圆心O即为所求。
解析
【分析】
要确定圆的圆心，我们知道圆心是圆任意直径的中点，且90°的圆周角所对的弦是直径，因此解题核心是先构造出直角圆周角得到圆的直径。首先结合网格格点特征选取合适的格点E，通过勾股定理逆定理证明∠BAC为直角，即可得到BC是圆的直径，直径的中点就是所求的圆心。
【解析】
1. 取格点E，延长AE交圆于点C，连接AB、BC；
2. 设每个小方格的边长为1，由勾股定理计算可得：$AB^2 = 1^2+2^2 = 5$，$AE^2 = 1^2+2^2 = 5$，$BE^2 = 1^2+3^2 = 10$；
3. 由$AB^2 + AE^2 = BE^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$；
4. 根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此BC是$\odot O$的直径；
5. 直径的中点为圆心，因此BC与格线的交点即为所求的圆心O。
【答案】
【知识点】
勾股定理逆定理、圆周角定理、圆心的判定
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图题，需要结合网格特征灵活运用几何性质，通过构造直角圆周角得到直径来确定圆心，对学生的观察能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要确定圆的圆心，我们知道圆心是圆任意直径的中点，且90°的圆周角所对的弦是直径，因此解题核心是先构造出直角圆周角得到圆的直径。首先结合网格格点特征选取合适的格点E，通过勾股定理逆定理证明∠BAC为直角，即可得到BC是圆的直径，直径的中点就是所求的圆心。
【解析】
1. 取格点E，延长AE交圆于点C，连接AB、BC；
2. 设每个小方格的边长为1，由勾股定理计算可得：$AB^2 = 1^2+2^2 = 5$，$AE^2 = 1^2+2^2 = 5$，$BE^2 = 1^2+3^2 = 10$；
3. 由$AB^2 + AE^2 = BE^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$；
4. 根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此BC是$\odot O$的直径；
5. 直径的中点为圆心，因此BC与格线的交点即为所求的圆心O。
【答案】
【知识点】
勾股定理逆定理、圆周角定理、圆心的判定
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图题，需要结合网格特征灵活运用几何性质，通过构造直角圆周角得到直径来确定圆心，对学生的观察能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. 如图是由小正方形组成的$6×6$网格,每个小正方形的顶点叫作格点.$A,B,C,D$都是格点,$\odot O$经过$A,B,C$三点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图①中,画出圆心$O$,$P$是$\odot O$与网格线的交点,画出将点$P$绕点$A$顺时针旋转$90°$的对应点$Q$;
(2)在图②中,$E$是$\odot O$与网格线的交点,连结$ED$并延长,交$\odot O$于点$F$,在$\odot O$上画点$M$,使$CM// EF$,连结$AF$,画$AF$的中点$H$.
(1)在图①中,画出圆心$O$,$P$是$\odot O$与网格线的交点,画出将点$P$绕点$A$顺时针旋转$90°$的对应点$Q$;
(2)在图②中,$E$是$\odot O$与网格线的交点,连结$ED$并延长,交$\odot O$于点$F$,在$\odot O$上画点$M$,使$CM// EF$,连结$AF$,画$AF$的中点$H$.
答案
(1)如图①,取格点 X,连结 AC,XC 和 AB,AB,XC 交于点 O,作直线 WR,根据格点知,WR⊥AC,根据矩形的性质可得点 O 即为圆心。连结 PO 延长交⊙O 于点 N,连结 PA 和 AN,AN 交 XW 于点 Q,则∠PAN = ∠PAC + ∠CAN = 90°。
∵ ∠CAX = ∠CAN + ∠QAX = 90°,
∴ ∠PAT=∠QAX。
∵ AX=AT=3,∠AXQ=∠ATP=90°,
∴ △AXQ≌△ATP(ASA),
∴ AQ=AP。
∵ ∠PAN=90°,
∴ 点 Q 即为所求。
(2)取⊙O与网格线的交点 M,连结 EA,EM,DA,CB。其中 AD 和 CB分别与 EM 交于点 G 和点 K,如图②,则∠CKM=∠DGE=90°,DG=KC,根据垂径定理知,KM = EG,
∴ △CKM ≌ △DGE(SAS),
∴ ∠KMC=∠GED,
∴ CM//EF。连结 MO,延长交 AF 于点 H,连结BA,OF,OC,
∵ ∠CME = ∠FEM,
∴ $\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{FM}$,则$\overset{\frown}{EA}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FM}$。
∵ CM = DE = EA,
∴ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{EA}$,
∴ $\overset{\frown}{FM}=\overset{\frown}{MC}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AM}$,则 ∠AOM = ∠FOM,
∴ ∠AOH=∠FOH。
∵ AO=FO,
∴ AH=FH,则点 H 为 AF 的中点。
解析
【分析】
(1) 圆心是圆的两条弦的垂直平分线的交点，因此先在格点中找AB、AC两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O。要得到点P绕点A顺时针旋转90°的对应点Q，利用旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、夹角为90°，构造以AP、AQ为对应边的全等直角三角形，结合格点特征找到全等条件，即可确定点Q的位置。
(2) 要使$CM// EF$，需证明同位角或内错角相等，可通过构造全等三角形得到对应角相等，结合圆上点的位置关系找到符合要求的点M。要找AF的中点，结合圆的半径相等，利用等腰三角形三线合一的性质，找到过圆心O且平分AF所对弧的直线，该直线与AF的交点即为AF的中点H。
【解析】
(1) 如图①，取格点X，连结AC、XC和AB，AB与XC交于点O，作直线WR，由格点特征可知$WR⊥ AC$，根据矩形性质可知点O是AC、AB的垂直平分线交点，即圆心O。连结PO并延长交$\odot O$于点N，连结PA和AN，AN交XW于点Q：
$\because ∠ PAN = ∠ PAC + ∠ CAN = 90°$，$∠ CAX = ∠ CAN + ∠ QAX = 90°$，
$\therefore ∠ PAT=∠ QAX$。
又$\because AX=AT=3$，$∠ AXQ=∠ ATP=90°$，
$\therefore △ AXQ≌△ ATP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AQ=AP$，且$∠ PAQ=90°$，点Q即为点P绕点A顺时针旋转90°的对应点。
(2) 如图②，取$\odot O$与网格线的交点M，连结EA、EM、DA、CB，AD和CB分别与EM交于点G和点K：
由格点特征得$∠ CKM=∠ DGE=90°$，$DG=KC$，根据垂径定理知$KM=EG$，
$\therefore △ CKM ≌ △ DGE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ KMC=∠ GED$，
$\therefore CM// EF$。
连结MO并延长交AF于点H，连结BA、OF、OC：
$\because ∠ CME = ∠ FEM$，
$\therefore \overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{FM}$，即$\overset{\frown}{EA}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FM}$。
又$\because CM = DE = EA$，
$\therefore \overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{EA}$，
$\therefore \overset{\frown}{FM}=\overset{\frown}{MC}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AM}$，则$∠ AOM = ∠ FOM$。
$\because AO=FO$，$△ AOF$是等腰三角形，OH平分顶角$∠ AOF$，
$\therefore AH=FH$，点H即为AF的中点。
【答案】
【知识点】
垂径定理；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图题，综合了圆的基本性质、图形旋转、全等三角形、平行线判定等多个知识点，解题时需要充分利用网格的格点特性挖掘隐含的边、角关系，结合圆的相关性质构造符合要求的图形，对学生的逻辑推理能力和动手作图能力有较高的要求。
【难度系数】
0.4
(1) 圆心是圆的两条弦的垂直平分线的交点，因此先在格点中找AB、AC两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O。要得到点P绕点A顺时针旋转90°的对应点Q，利用旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、夹角为90°，构造以AP、AQ为对应边的全等直角三角形，结合格点特征找到全等条件，即可确定点Q的位置。
(2) 要使$CM// EF$，需证明同位角或内错角相等，可通过构造全等三角形得到对应角相等，结合圆上点的位置关系找到符合要求的点M。要找AF的中点，结合圆的半径相等，利用等腰三角形三线合一的性质，找到过圆心O且平分AF所对弧的直线，该直线与AF的交点即为AF的中点H。
【解析】
(1) 如图①，取格点X，连结AC、XC和AB，AB与XC交于点O，作直线WR，由格点特征可知$WR⊥ AC$，根据矩形性质可知点O是AC、AB的垂直平分线交点，即圆心O。连结PO并延长交$\odot O$于点N，连结PA和AN，AN交XW于点Q：
$\because ∠ PAN = ∠ PAC + ∠ CAN = 90°$，$∠ CAX = ∠ CAN + ∠ QAX = 90°$，
$\therefore ∠ PAT=∠ QAX$。
又$\because AX=AT=3$，$∠ AXQ=∠ ATP=90°$，
$\therefore △ AXQ≌△ ATP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AQ=AP$，且$∠ PAQ=90°$，点Q即为点P绕点A顺时针旋转90°的对应点。
(2) 如图②，取$\odot O$与网格线的交点M，连结EA、EM、DA、CB，AD和CB分别与EM交于点G和点K：
由格点特征得$∠ CKM=∠ DGE=90°$，$DG=KC$，根据垂径定理知$KM=EG$，
$\therefore △ CKM ≌ △ DGE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ KMC=∠ GED$，
$\therefore CM// EF$。
连结MO并延长交AF于点H，连结BA、OF、OC：
$\because ∠ CME = ∠ FEM$，
$\therefore \overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{FM}$，即$\overset{\frown}{EA}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FM}$。
又$\because CM = DE = EA$，
$\therefore \overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{EA}$，
$\therefore \overset{\frown}{FM}=\overset{\frown}{MC}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AM}$，则$∠ AOM = ∠ FOM$。
$\because AO=FO$，$△ AOF$是等腰三角形，OH平分顶角$∠ AOF$，
$\therefore AH=FH$，点H即为AF的中点。
【答案】
【知识点】
垂径定理；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图题，综合了圆的基本性质、图形旋转、全等三角形、平行线判定等多个知识点，解题时需要充分利用网格的格点特性挖掘隐含的边、角关系，结合圆的相关性质构造符合要求的图形，对学生的逻辑推理能力和动手作图能力有较高的要求。
【难度系数】
0.4
3. 如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，$\odot O$经过格点$A,B,C$，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
(1) 如图①，先画出圆心$O$.再画一条弦$MN$，使$MN=BC$；
(2) 如图②，先在圆上画点$P$，使$AP ⊥ BC$，再在圆上画点$Q$，使$AQ // BP$.
(1) 如图①，先画出圆心$O$.再画一条弦$MN$，使$MN=BC$；
(2) 如图②，先在圆上画点$P$，使$AP ⊥ BC$，再在圆上画点$Q$，使$AQ // BP$.
答案
(1)如图①,取点 D,E,F,G,连结 DE,FG 交于点 O,连结 BO 并延长交圆于点 N,连结 CO 并延长交圆于点 M,连结 MN,MN 即为所求。∠DBE=∠GAF=90°,由圆周角定理可得,DE,FG 为圆的直径,故DE,FG 的交点为圆心,
∵ OB=ON,OC=OM,
∴ 四边形 BCNM 为平行四边形,
∴ MN=BC。
(2)如图②,取格点 K,连结 AK 并延长交圆于点 P。如图③,连结 BP,分别交两条格线于点 H、点 I(点 H 在左,点 I 在右),连结 BA 并延长交格线于点 L,再连结 LI,LH,AI,其中 AI 与 LH 交于点 J,连结 BJ 并延长交 LI 于点 R,连结 AR 并延长交圆于点 Q,此时 AQ//BP。
解析
【分析】
(1) 确定圆心时，可利用圆周角定理中“90°的圆周角所对的弦是直径”的性质，找到两条直径，其交点就是圆心。要作和BC相等的弦MN，可利用平行四边形对边相等的性质：将点B、C分别与圆心连线并延长交圆于另外两点，连接这两点得到的线段就和BC相等。
(2) 作AP⊥BC时，先观察BC在网格中的倾斜方向，找到和BC垂直的格点连线，延长该线交圆即可得到点P。作AQ//BP时，可借助格线构造交点，利用平行线的判定性质得到和BP平行的直线，延长该直线交圆即可得到点Q。
【解析】
(1) 如图①：
① 取格点D、E、F、G，可得∠DBE=∠GAF=90°，根据圆周角定理，90°圆周角对应的弦为直径，因此DE、FG都是⊙O的直径，二者交点即为圆心O。
② 连接BO并延长交⊙O于N，连接CO并延长交⊙O于M，连接MN。
因为OB=ON、OC=OM，四边形BCNM对角线互相平分，是平行四边形，因此MN=BC，MN即为所求。
(2) 如图②、③：
① 取格点K，连接AK并延长交⊙O于点P，此时AP⊥BC，点P即为所求。
② 连接BP，分别交两条格线于左侧的点H和右侧的点I；延长BA交格线于点L，依次连接LI、LH、AI，AI和LH交于点J；延长BJ交LI于点R，延长AR交⊙O于点Q，此时AQ//BP，点Q即为所求。
【答案】
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 圆周角定理
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是网格无刻度直尺作图题，综合了圆的基本性质、平行四边形的判定、垂线和平行线的构造等考点，需要学生结合网格特点灵活运用几何性质完成构图，能较好地锻炼几何直观能力。
【难度系数】
0.6
(1) 确定圆心时，可利用圆周角定理中“90°的圆周角所对的弦是直径”的性质，找到两条直径，其交点就是圆心。要作和BC相等的弦MN，可利用平行四边形对边相等的性质：将点B、C分别与圆心连线并延长交圆于另外两点，连接这两点得到的线段就和BC相等。
(2) 作AP⊥BC时，先观察BC在网格中的倾斜方向，找到和BC垂直的格点连线，延长该线交圆即可得到点P。作AQ//BP时，可借助格线构造交点，利用平行线的判定性质得到和BP平行的直线，延长该直线交圆即可得到点Q。
【解析】
(1) 如图①：
① 取格点D、E、F、G，可得∠DBE=∠GAF=90°，根据圆周角定理，90°圆周角对应的弦为直径，因此DE、FG都是⊙O的直径，二者交点即为圆心O。
② 连接BO并延长交⊙O于N，连接CO并延长交⊙O于M，连接MN。
因为OB=ON、OC=OM，四边形BCNM对角线互相平分，是平行四边形，因此MN=BC，MN即为所求。
(2) 如图②、③：
① 取格点K，连接AK并延长交⊙O于点P，此时AP⊥BC，点P即为所求。
② 连接BP，分别交两条格线于左侧的点H和右侧的点I；延长BA交格线于点L，依次连接LI、LH、AI，AI和LH交于点J；延长BJ交LI于点R，延长AR交⊙O于点Q，此时AQ//BP，点Q即为所求。
【答案】
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 圆周角定理
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是网格无刻度直尺作图题，综合了圆的基本性质、平行四边形的判定、垂线和平行线的构造等考点，需要学生结合网格特点灵活运用几何性质完成构图，能较好地锻炼几何直观能力。
【难度系数】
0.6
