4. AB是$\odot O$的直径，点C，点D在$\odot O$上，$∠ COA=60°$，$OD ⊥ AB$，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.
(1)如图①,在OD上作一点E,使得$△ OCE$是以OC为底边的等腰三角形.
(2)如图②,在AB上方作一点F,使得$△ ABF$为等边三角形.

(1)如图①,连结 BC,与 OD 交于点 E,△OCE 即为所求。
∵ ∠COA=60°,∠COA=∠OCB+∠OBC,
∴ ∠COB=120°,∠C=30°。
∵ OD ⊥ AB,
∴ ∠DOB = 90°,
∴ ∠COE = ∠COB - ∠DOB = 30°,
∴ ∠COE=∠OCB,
∴ △OCE 是以 OC 为底边的等腰三角形。
(2)如图②,延长 AC,OD,交于点 F,连结 BF,△ABF 即所求。
∵ ∠COA=60°,OC=OA,
∴ △ACO 为等边三角形,
∴ ∠CAO=60°。又
∵ AO = OB,OD ⊥ AB,
∴ OF 为 AB 的垂直平分线,
∴ FA = FB。又
∵ ∠OAC=60°,
∴ △ABF 为等边三角形。

【分析】
(1) 要构造以OC为底边的等腰△OCE，需满足EO=EC，等价于∠OCE=∠COE。已知∠COA=60°，可推出∠COB=120°，结合OC=OB可得∠OCB=30°；再由OD⊥AB得∠DOB=90°，计算得∠COE=30°，即∠COE=∠OCB，因此连接BC，BC与OD的交点即为所求点E。
(2) 要构造等边△ABF，首先由OC=OA、∠COA=60°可得△ACO为等边三角形，即∠FAB=60°，只需再满足FA=FB即可。由于OD垂直平分AB，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此延长AC与OD交于点F，即可满足FA=FB，结合∠FAB=60°即可证得△ABF为等边三角形。
【解析】
(1) 作图：连接BC，BC与OD的交点即为点E。
证明：
∵∠COA=60°，
∴∠COB=180°-60°=120°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=(180°-120°)÷2=30°，
∵OD⊥AB，
∴∠DOB=90°，
∴∠COE=120°-90°=30°，
∴∠COE=∠OCB，
∴EO=EC，即△OCE是以OC为底边的等腰三角形。
(2) 作图：延长AC、OD交于点F，连接BF，点F即为所求。
证明：
∵OC=OA，∠COA=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∵O是AB中点，OD⊥AB，
∴OF是AB的垂直平分线，
∴FA=FB，
又
∵∠FAB=60°，
∴△ABF是等边三角形。
【答案】
(1)如图①,连结 BC,与 OD 交于点 E,△OCE 即为所求。
∵ ∠COA=60°,∠COA=∠OCB+∠OBC,
∴ ∠COB=120°,∠C=30°。
∵ OD ⊥ AB,
∴ ∠DOB = 90°,
∴ ∠COE = ∠COB - ∠DOB = 30°,
∴ ∠COE=∠OCB,
∴ △OCE 是以 OC 为底边的等腰三角形。
(2)如图②,延长 AC,OD,交于点 F,连结 BF,△ABF 即所求。
∵ ∠COA=60°,OC=OA,
∴ △ACO 为等边三角形,
∴ ∠CAO=60°。又
∵ AO = OB,OD ⊥ AB,
∴ OF 为 AB 的垂直平分线,
∴ FA = FB。又
∵ ∠OAC=60°,
∴ △ABF 为等边三角形。
【知识点】
等腰三角形判定、等边三角形判定、垂直平分线性质
【点评】
本题为无刻度直尺作图题，结合了圆的基本性质与特殊三角形的判定定理，需要通过角度推导和性质分析找到符合要求的交点，既考查了几何基础知识点的掌握情况，也锻炼了逻辑推理与实践作图的能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图,已知矩形ABCD,请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O(保留作图痕迹).
(1)如图①,矩形ABCD的四个顶点都在圆上;
(2)如图②,矩形ABCD的顶点A在圆上,顶点B,C,D在圆内.

(1)如图①,点 O 即为所求。
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴ OA=OC=OB=OD,
∴ O 为圆的圆心。
(2)如图②,点 O 即为所求。
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAD = 90°,AD//BC,
∴ GH 为⊙O 的直径。
∵ AD//BC,
∴ ∠ANM = ∠HMN,
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{NH}$,FM = FN,
∴ 点 F 在 MN 的垂直平分线上。
∵ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{NH}$,
∴ $\overset{\frown}{MH}=\overset{\frown}{AN}$,
∴ ∠EMN=∠ENM,
∴ EM = EN,
∴ 点 E 在 MN 的垂直平分线上,
∴ EO 垂直平分 MN,
∴ 点 O 在圆的直径上。
∵ GH 为圆的直径,
∴ O 为圆心。

【分析】
(1) 针对图①：矩形的对角线具有相等且互相平分的性质，当矩形四个顶点都在圆上时，矩形的对角线就是圆的直径，对角线交点到四个顶点的距离均等于圆的半径，因此该交点就是圆心，仅需连接两条对角线即可找到圆心。
(2) 针对图②：仅顶点A在圆上，其余顶点在圆内，需要结合矩形性质和圆的定理构造直径：首先利用矩形的直角和平行对边的性质，延长矩形的边与圆相交，借助90°圆周角对应直径的性质确定一条直径；再利用平行弦所夹弧相等的性质得到等腰三角形，构造出另一条过圆心的垂直平分线，两条过圆心的直线的交点即为圆心，全程仅用无刻度直尺连线即可完成。
【解析】
(1) 连接矩形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线的交点就是圆心O。
因为四边形ABCD是矩形，所以对角线互相平分且相等，即$AC=BD$，$OA=OC$，$OB=OD$，因此$OA=OB=OC=OD$，O到圆上各顶点距离等于半径，故O为圆心。
(2) 按如下步骤作图：①延长AB交圆于G，延长DC交圆于H，连接GH；②延长DA交圆于M，延长CB交圆于N，连接MN，延长MN、GH交于点E；③连接AN、MH交于点F，作直线EF，EF与GH的交点即为圆心O。
因为矩形ABCD中$∠ BAD=90°$，$AD// BC$，所以90°圆周角对应的弦GH是圆的直径；又因为$AD// BC$，所以平行弦所夹的弧相等，即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{NH}$，可推出$FM=FN$、$EM=EN$，因此EF是MN的垂直平分线，根据垂径定理，垂直平分弦的直线过圆心，GH也是过圆心的直径，因此两条直线的交点O就是圆心。
【答案】
(1)如图①,点 O 即为所求。
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴ OA=OC=OB=OD,
∴ O 为圆的圆心。
(2)如图②,点 O 即为所求。
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAD = 90°,AD//BC,
∴ GH 为⊙O 的直径。
∵ AD//BC,
∴ ∠ANM = ∠HMN,
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{NH}$,FM = FN,
∴ 点 F 在 MN 的垂直平分线上。
∵ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{NH}$,
∴ $\overset{\frown}{MH}=\overset{\frown}{AN}$,
∴ ∠EMN=∠ENM,
∴ EM = EN,
∴ 点 E 在 MN 的垂直平分线上,
∴ EO 垂直平分 MN,
∴ 点 O 在圆的直径上。
∵ GH 为圆的直径,
∴ O 为圆心。
【知识点】
矩形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题属于无刻度直尺作图类题型，将矩形性质和圆的相关定理结合考查，既需要熟练掌握基础几何性质，也需要具备一定的逻辑推理能力，能灵活借助图形性质构造过圆心的直线来确定圆心。
【难度系数】
0.5

6. 请仅用无刻度的直尺作图.
(1)如图①,△ABC是⊙O的内接三角形,点P是⊙O上一点,且$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$.画出△ABC中∠BAC的平分线；
(2)如图②,△ABC是⊙O的内接三角形,D是BC的中点.画出△ABC中∠BAC的平分线；
(3)如图③,△ABC是⊙O的内接三角形,P是⊙O上一点,且$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$,画出△ABC的外角∠BAD的平分线AG.

(1)如图①,连结 AP,则射线 AP 即为所求。
∵ $\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$,
∴ ∠BAP=∠CAP,
∴ AP 是∠BAC 的平分线。
(2)如图②,连结 OD 并延长与⊙O 交于点 E,连结 AE,则射线 AE 即为所求。
∵ D 是 BC 的中点,
∴ BD=CD,
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$,
∴ ∠BAE=∠CAE,
∴ AE 是∠BAC 的平分线。
(3)如图③,延长 PO 交⊙O 于 G,则射线 AG 即为所求。连结 GB,GC,
∵ $\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$,OP 经过圆心,
∴ GP 垂直平分 BC,
∴ GB=GC,
∴ ∠GBC=∠GCB,根据圆内接四边形的性质得 ∠CAG + ∠GBC = 180°。
∵ ∠CAG + ∠DAG = 180°,
∴ ∠DAG = ∠GBC。
∵ ∠GAB = ∠GCB,
∴ ∠DAG=∠GAB,即 AG 平分∠BAD。

【分析】
(1) 要作∠BAC的平分线，本质是找到将∠BAC分为两个相等角的射线，根据圆周角定理“等弧所对的圆周角相等”，已知$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，这两段弧对应的圆周角恰好是∠BAP和∠CAP，因此连接AP即可得到角平分线。
(2) 已知D是BC中点，根据垂径定理推论：圆心与弦中点的连线垂直于弦，且平分弦所对的两条弧，因此连接OD并延长交⊙O于E，可得$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，对应圆周角∠BAE和∠CAE相等，连接AE即为所求角平分线。
(3) 要作外角∠BAD的平分线，首先由$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$可知直线PO是BC的垂直平分线，延长PO交⊙O于G可得$\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{CG}$，再结合圆内接四边形对角互补、等角的补角相等的性质，可推得AG平分∠BAD。
【解析】
(1) 连接AP：
∵同圆中等弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，
∴∠BAP=∠CAP，即AP平分∠BAC，射线AP为所求。
(2) 连接OD并延长交⊙O于E，连接AE：
∵D是BC中点，O为圆心，由垂径定理可知OD垂直平分BC，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC，射线AE为所求。
(3) 延长PO交⊙O于G，作射线AG：
∵$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，OP过圆心，
∴PG垂直平分BC，得$\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{CG}$，故GB=GC，∠GBC=∠GCB，
由圆内接四边形对角互补得：∠CAG + ∠GBC = 180°，
又
∵∠CAG + ∠DAG = 180°，
∴∠DAG=∠GBC，
∵同弧所对圆周角相等，∠GAB=∠GCB，
∴∠DAG=∠GAB，即AG平分∠BAD，射线AG为所求。
【答案】
(1)如图①,连结 AP,则射线 AP 即为所求。
∵ $\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$,
∴ ∠BAP=∠CAP,
∴ AP 是∠BAC 的平分线。
(2)如图②,连结 OD 并延长与⊙O 交于点 E,连结 AE,则射线 AE 即为所求。
∵ D 是 BC 的中点,
∴ BD=CD,
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$,
∴ ∠BAE=∠CAE,
∴ AE 是∠BAC 的平分线。
(3)如图③,延长 PO 交⊙O 于 G,则射线 AG 即为所求。连结 GB,GC,
∵ $\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$,OP 经过圆心,
∴ GP 垂直平分 BC,
∴ GB=GC,
∴ ∠GBC=∠GCB,根据圆内接四边形的性质得 ∠CAG + ∠GBC = 180°。
∵ ∠CAG + ∠DAG = 180°,
∴ ∠DAG = ∠GBC。
∵ ∠GAB = ∠GCB,
∴ ∠DAG=∠GAB,即 AG 平分∠BAD。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆相关的无刻度直尺作图题，核心考查圆中弧、弦、角的对应关系，需要熟练掌握圆的基本性质，能快速建立已知条件和等角、等弧之间的联系，对几何作图能力和性质应用能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7