9.如图,点 A,B,C 在同一条直线上,$△ABD≌△EBC,AB=3cm,BC=5cm.$
(1)求 DE 的长.
(2)判断 AC 与 BD 的位置关系,并说明理由.

9.(1)$\because △ABD≌△EBC,AB=3\ \mathrm{cm},BC=5\ \mathrm{cm},$
$\therefore BD=BC=5\ \mathrm{cm},EB=AB=3\ \mathrm{cm}.\therefore DE=2\ \mathrm{cm}.$
(2)$BD⊥ AC$.理由如下：
$\because △ABD≌△EBC,\therefore ∠ABD=∠EBC.$
又$\because ∠ABD+∠EBC=180°,$
$\therefore ∠ABD=∠EBC=90°.\therefore BD⊥ AC.$

【分析】
（1）求DE的长度时，首先结合已知的全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，可得到BD=BC、EB=AB，再根据DE=BD-EB，代入已知线段长度即可计算结果。
（2）判断AC与BD的位置关系时，先由全等三角形对应角相等得到∠ABD=∠EBC，再结合点A、B、C共线可得∠ABD与∠EBC的和为平角180°，进而推出∠ABD=90°，即可得出两条线段的位置关系为垂直。
【解析】
（1）
∵$△ ABD≌△ EBC$，$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$BD=BC=5\ \mathrm{cm}$，$EB=AB=3\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=BD-EB=5\ \mathrm{cm}-3\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$。
（2）$BD⊥ AC$，理由如下：
∵$△ ABD≌△ EBC$，根据全等三角形对应角相等的性质，可得$∠ ABD=∠ EBC$，
又
∵点A、B、C在同一条直线上，$∠ ABD+∠ EBC=180°$，
∴$∠ ABD=∠ EBC=\frac{180°}{2}=90°$，
∴$BD⊥ AC$。
【答案】
(1) $DE=2\ \mathrm{cm}$
(2) $BD⊥ AC$，理由见解析
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 平角的定义
3. 垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合平角的性质即可顺利求解，是全等三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8

10.如图,已知△ABF≌△CDE,∠B=30°,∠BAE=∠DCF=20°.求∠EFC的度数.

10.$\because △ABF≌△CDE,∠B=30°,$
$\therefore ∠D=30°.\therefore ∠EFC=∠D+∠DCF=50°.$

【分析】
解题时首先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，先确定∠B的对应角∠D的度数；再观察待求的∠EFC的位置，发现它是△DCF的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入已知角度即可算出结果。
【解析】
解：$\because △ABF≌△CDE,∠B=30°,$
$\therefore ∠D=∠B=30°$（全等三角形的对应角相等），
$\because ∠EFC$是$△ DCF$的外角，
$\therefore ∠EFC=∠D+∠DCF$（三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和），
代入$∠ D=30°,∠ DCF=20°$得：
$∠EFC=30°+20°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，再结合三角形外角的性质进行计算，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.如图，$△ ABC$是不等边三角形，$DE=BC$，以$D,E$为两个顶点作位置不同的三角形，使所得三角形与$△ ABC$全等，这样的三角形最多可以作().

A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

11.B

【分析】
要解决这道题，我们结合全等三角形SSS判定的思路来分析：已知DE=BC，因此DE可作为与BC对应的边，需分两种顶点对应情况讨论：①点D对应点B、点E对应点C；②点D对应点C、点E对应点B。每种对应情况下，第三个顶点可分别在DE所在直线的上方、下方各找到1个符合条件的位置，注意△ABC是不等边三角形，因此所有作出的三角形位置都不重复，汇总数量即可得到结果。
【解析】
我们利用全等三角形“三边对应相等的两个三角形全等（SSS）”的判定方法作图分析：
1. 当顶点对应关系为D↔B、E↔C时：
以D为圆心、AB长为半径画弧，以E为圆心、AC长为半径画弧，两弧在DE的上方、下方各有1个交点，将交点作为第三个顶点，可得到2个与△ABC全等的三角形。
2. 当顶点对应关系为D↔C、E↔B时：
以D为圆心、AC长为半径画弧，以E为圆心、AB长为半径画弧，两弧在DE的上方、下方各有1个交点，将交点作为第三个顶点，可再得到2个与△ABC全等的三角形。
综上，符合要求的三角形共有2+2=4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的SSS判定
2. 尺规作全等三角形
【点评】
本题易错点是容易漏算顶点对应关系或者漏算第三个顶点在DE异侧的情况，解题时要分类讨论所有可能的对应方式和位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6

12.三个全等三角形依图摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为.

12.$180°$

【分析】
解题时可结合三角形内角和定理与全等三角形的性质推导：首先明确任意三角形内角和都是180°，先计算三个全等三角形的内角总和；再观察图形拼接特点，除∠1、∠2、∠3外，其余的内角刚好能凑成2个三角形的内角和，用总内角和减去这部分的和，即可求出∠1+∠2+∠3的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和为180°，因此三个全等三角形的内角总和为：
$3×180°=540°$
观察图形可知，三个三角形在公共拼接位置，除∠1、∠2、∠3外的其余所有内角，刚好组成2个完整的三角形内角和，这部分角的度数和为：
$2×180°=360°$
因此$∠1+∠2+∠3=540°-360°=180°$
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质
【点评】
本题考查三角形内角和的灵活应用，解题的关键是准确识别拼接图形中角的组成关系，排除图形干扰找到角的和差关系，属于基础的几何综合应用题。
【难度系数】
0.7

13.如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，$BC$ 的延长线交 $DA$ 于点 $F$，交 $DE$ 于点 $G$，$∠ ACB = 105°$，$∠ CAD = 10°$，$∠ ABC = 25°$，求 $∠ DGB$ 的度数.

13.$\because ∠ACB=105°,∠ABC=25°,\therefore ∠CAB=50°.$
$\because △ABC≌△ADE,\therefore ∠EAD=∠CAB=50°.$
$\therefore ∠EAC=∠CAD+∠EAD=60°.$
$\because △ABC≌△ADE,\therefore ∠AED=∠ACB.$
$\because ∠ACB+∠ACG=180°,\therefore ∠AED+∠ACG=180°.$
$\therefore ∠EGC+∠EAC=180°.$
$\therefore ∠DGB=∠EAC=60°.$

【分析】
解题时我们可以按以下思路思考：第一步，先利用三角形内角和为180°，结合已知的△ABC的两个内角度数，求出∠CAB的度数；第二步，根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠EAD、∠AED与△ABC对应角的等量关系，进而求出∠EAC的度数；第三步，结合平角的定义得到∠AED与∠ACG互补，再利用四边形内角和为360°推出∠EAC与∠EGC互补，最后根据∠EGC与∠DGB互补，利用同角的补角相等即可求出∠DGB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$\because ∠ACB=105°,∠ABC=25°,$
$\therefore ∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-105°-25°=50°.$
$\because △ABC≌△ADE$，全等三角形对应角相等，
$\therefore ∠EAD=∠CAB=50°$，$∠AED=∠ACB=105°.$
$\therefore ∠EAC=∠CAD+∠EAD=10°+50°=60°.$
$\because ∠ACB+∠ACG=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠AED+∠ACG=180°$（等量代换）.
在四边形ACGE中，内角和为360°：
$\therefore ∠EAC + ∠AED + ∠ACG + ∠EGC=360°,$
代入$∠ AED+∠ ACG=180°$、$∠ EAC=60°$，得：
$60°+180°+∠EGC=360°$，解得$∠EGC=120°.$
$\because ∠EGC + ∠DGB=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠DGB=180°-120°=60°.$
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理、补角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质应用的基础题型，核心是利用全等实现角度的等量转化，解题时需要准确识别全等三角形的对应角，理清图形中各角度的和差、互补关系，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7

14.我们把两个能够互相重合的图形称为全等形.
(1)请你在图①至图④中,分别用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形,且小矩形或正方形的各边长均为整数.
(2)是否能将上述3×5的矩形分成五个互不全等的整数边矩形?若能,请在图⑤中画出.

14.(1)所画图形如图所示.
(2)能,所画图形如图所示.

【分析】
解题前首先明确互不全等的图形即不能互相重合的图形，对矩形而言就是长和宽的组合不完全相同。首先计算3×5矩形的总面积为15。
对于第(1)问，要将其分为4个互不全等的整数边小矩形，首先需要找到4个边长为整数、互不全等，且面积之和为15的小矩形，再结合3和5的边长限制，尝试将这些小矩形拼接成大矩形即可。
对于第(2)问，先计算5个最小的互不全等整数边矩形的面积和：最小的5个互不全等整数边矩形分别是1×1(面积1)、1×2(面积2)、1×3(面积3)、2×2(面积4)、1×5(面积5)，面积和为1+2+3+4+5=15，刚好等于大矩形的总面积，因此存在这样的分法，再尝试拼接即可。
【解析】
(1) 大矩形面积$S=3×5=15$，选取4个互不全等、边长为整数的小矩形，确保面积和为15，按照边长限制拼接，得到对应分法。
(2) 先验证可行性：5个最小的互不全等整数边矩形面积和为$1+2+3+4+5=15$，与大矩形面积相等，因此可以分割，拼接得到符合要求的图形。
【答案】
(1)所画图形如图所示.
(2)能,所画图形如图所示.
【知识点】
全等形的定义、矩形的性质、图形的分割与拼接
【点评】
本题属于几何操作类题目，既考查对全等形概念的理解，也锻炼空间想象能力和动手作图能力，解题时先通过面积计算判断分割的可行性，再尝试拼接，能有效提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6