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1.已知关于$x$的方程$\frac{3x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = \frac{5}{6}$。
(1)若$m=-1$，求该方程的解；
(2)若$x=5$是方程的解，求$\frac{1}{2}m^2 + 2m$的值；
(3)某同学在解方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看作“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x=1$，求$m$的值；
(4)若该方程的解与方程$\frac{x + 1}{2} = 3 + \frac{x - 6}{4}$的解相同，求$m$的值；
(5)若该方程的解与方程$7x = -2(x + 3)$的解互为相反数，求$m$的值；
(6)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。
(1)若$m=-1$，求该方程的解；
(2)若$x=5$是方程的解，求$\frac{1}{2}m^2 + 2m$的值；
(3)某同学在解方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看作“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x=1$，求$m$的值；
(4)若该方程的解与方程$\frac{x + 1}{2} = 3 + \frac{x - 6}{4}$的解相同，求$m$的值；
(5)若该方程的解与方程$7x = -2(x + 3)$的解互为相反数，求$m$的值；
(6)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。
答案
解：
(1) 将$m=-1$代入原方程，得：
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(3x+1)-2(x-1)=5$
展开整理：$9x+3-2x+2=5$，即$7x=0$
解得：$x=0$
(2) 将$x=5$代入原方程，得：
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(15-m)-2(5+m)=5$
展开整理：$45-3m-10-2m=5$，即$-5m=-30$
解得：$m=6$
将$m=6$代入$\frac{1}{2}m^2+2m$，得：
$\frac{1}{2}×6^2+2×6=18+12=30$
(3) 由题意，$x=1$是方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$的解，代入得：
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
两边同乘30去分母，得：
$15(3-m)-10(1+m)=36$
展开整理：$45-15m-10-10m=36$，即$-25m=1$
解得：$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
两边同乘4去分母，得：$2(x+1)=12+x-6$
展开整理：$2x+2=x+6$，解得：$x=4$
将$x=4$代入原方程，得：
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(12-m)-2(4+m)=5$
展开整理：$36-3m-8-2m=5$，即$-5m=-23$
解得：$m=\frac{23}{5}$
(5) 先解方程$7x=-2(x+3)$：
展开整理：$7x=-2x-6$，即$9x=-6$
解得：$x=-\frac{2}{3}$
由题意，原方程的解为$x=\frac{2}{3}$，代入原方程得：
$\frac{3×\frac{2}{3}-m}{2}-\frac{\frac{2}{3}+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$2(2-m)-2(\frac{2}{3}+m)=5$
展开整理：$4-2m-\frac{4}{3}-2m=5$，即$-4m=\frac{7}{3}$
解得：$m=-\frac{7}{12}$
*注：此处修正计算错误，按原方程通分后化简得7x=5m+5，代入x=2/3得14/3=5m+5，5m=14/3-15/3=-1/3，正确结果为m=-1/15，修正后步骤：
原方程去分母化简得$7x=5m+5$，将$x=\frac{2}{3}$代入得：
$7×\frac{2}{3}=5m+5$
$5m=\frac{14}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{1}{3}$
解得：$m=-\frac{1}{15}$*
(6) 对原方程去分母化简：
两边同乘6得$3(3x-m)-2(x+m)=5$，整理得$7x=5m+5$，即$x=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍。
设$m+1=7k$（$k$为正整数），则$m=7k-1$
当$k=1$时，$m$取最小整数值，为$7×1-1=6$
综上，各小问结果为：
(1) $\boldsymbol{x=0}$；
(2) $\boldsymbol{30}$；
(3) $\boldsymbol{m=-\frac{1}{25}}$；
(4) $\boldsymbol{m=\frac{23}{5}}$；
(5) $\boldsymbol{m=-\frac{1}{15}}$；
(6) 整数$m$的最小值为$\boldsymbol{6}$。
(1) 将$m=-1$代入原方程，得：
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(3x+1)-2(x-1)=5$
展开整理：$9x+3-2x+2=5$，即$7x=0$
解得：$x=0$
(2) 将$x=5$代入原方程，得：
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(15-m)-2(5+m)=5$
展开整理：$45-3m-10-2m=5$，即$-5m=-30$
解得：$m=6$
将$m=6$代入$\frac{1}{2}m^2+2m$，得：
$\frac{1}{2}×6^2+2×6=18+12=30$
(3) 由题意，$x=1$是方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$的解，代入得：
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
两边同乘30去分母，得：
$15(3-m)-10(1+m)=36$
展开整理：$45-15m-10-10m=36$，即$-25m=1$
解得：$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
两边同乘4去分母，得：$2(x+1)=12+x-6$
展开整理：$2x+2=x+6$，解得：$x=4$
将$x=4$代入原方程，得：
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(12-m)-2(4+m)=5$
展开整理：$36-3m-8-2m=5$，即$-5m=-23$
解得：$m=\frac{23}{5}$
(5) 先解方程$7x=-2(x+3)$：
展开整理：$7x=-2x-6$，即$9x=-6$
解得：$x=-\frac{2}{3}$
由题意，原方程的解为$x=\frac{2}{3}$，代入原方程得：
$\frac{3×\frac{2}{3}-m}{2}-\frac{\frac{2}{3}+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$2(2-m)-2(\frac{2}{3}+m)=5$
展开整理：$4-2m-\frac{4}{3}-2m=5$，即$-4m=\frac{7}{3}$
解得：$m=-\frac{7}{12}$
*注：此处修正计算错误，按原方程通分后化简得7x=5m+5，代入x=2/3得14/3=5m+5，5m=14/3-15/3=-1/3，正确结果为m=-1/15，修正后步骤：
原方程去分母化简得$7x=5m+5$，将$x=\frac{2}{3}$代入得：
$7×\frac{2}{3}=5m+5$
$5m=\frac{14}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{1}{3}$
解得：$m=-\frac{1}{15}$*
(6) 对原方程去分母化简：
两边同乘6得$3(3x-m)-2(x+m)=5$，整理得$7x=5m+5$，即$x=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍。
设$m+1=7k$（$k$为正整数），则$m=7k-1$
当$k=1$时，$m$取最小整数值，为$7×1-1=6$
综上，各小问结果为：
(1) $\boldsymbol{x=0}$；
(2) $\boldsymbol{30}$；
(3) $\boldsymbol{m=-\frac{1}{25}}$；
(4) $\boldsymbol{m=\frac{23}{5}}$；
(5) $\boldsymbol{m=-\frac{1}{15}}$；
(6) 整数$m$的最小值为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的综合应用题，各小问解题思路清晰：1. 第(1)问直接将m=-1代入原方程，按去分母、去括号、移项合并、系数化为1的标准步骤解方程即可；2. 第(2)问将x=5代入原方程先求出m的值，再代入所求代数式计算结果；3. 第(3)问利用错解的性质，将x=1代入看错常数项的错误方程，求解得到m；4. 第(4)问先解不含参数的一元一次方程得到x的值，再代入原方程求m；5. 第(5)问先解第二个方程得到解，根据相反数的性质得到原方程的解，再代入化简后的原方程求m；6. 第(6)问先将原方程化简为用m表示x的形式，根据解为正整数、m为整数的条件，结合互质数的性质求m的最小值。解题核心是灵活运用方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的求解步骤，去分母时注意不要漏乘常数项。
【解析】
(1) 将$m=-1$代入原方程，得：
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(3x+1)-2(x-1)=5$
去括号得：$9x+3-2x+2=5$
移项合并同类项得：$7x=0$
系数化为1得：$x=0$
(2) 将$x=5$代入原方程，得：
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(15-m)-2(5+m)=5$
去括号得：$45-3m-10-2m=5$
移项合并同类项得：$-5m=-30$
系数化为1得：$m=6$
将$m=6$代入$\frac{1}{2}m^2+2m$，得：
$\frac{1}{2}×6^2+2×6=18+12=30$
(3) 由题意，$x=1$是方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$的解，代入得：
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
两边同乘30去分母，得：
$15(3-m)-10(1+m)=36$
去括号得：$45-15m-10-10m=36$
移项合并同类项得：$-25m=1$
系数化为1得：$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
两边同乘4去分母，得：$2(x+1)=12+x-6$
去括号得：$2x+2=x+6$
移项合并同类项得：$x=4$
将$x=4$代入原方程，得：
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(12-m)-2(4+m)=5$
去括号得：$36-3m-8-2m=5$
移项合并同类项得：$-5m=-23$
系数化为1得：$m=\frac{23}{5}$
(5) 先解方程$7x=-2(x+3)$：
去括号得：$7x=-2x-6$
移项合并同类项得：$9x=-6$
系数化为1得：$x=-\frac{2}{3}$
由题意，原方程的解与该解互为相反数，故原方程的解为$x=\frac{2}{3}$
先将原方程去分母化简：两边同乘6得$3(3x-m)-2(x+m)=5$，整理得$7x=5m+5$
将$x=\frac{2}{3}$代入$7x=5m+5$得：
$7×\frac{2}{3}=5m+5$
移项得：$5m=\frac{14}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{1}{3}$
系数化为1得：$m=-\frac{1}{15}$
(6) 由原方程化简结果得$x=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍
设$m+1=7k$（$k$为正整数），则$m=7k-1$
当$k=1$时，$m$取最小整数值，为$7×1-1=6$
【答案】
(1) $x=0$；(2) $30$；(3) $m=-\frac{1}{25}$；(4) $m=\frac{23}{5}$；(5) $m=-\frac{1}{15}$；(6) $6$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的定义，含参一元一次方程应用
【点评】
本题围绕一元一次方程设置分层问题，从基础求解到参数应用逐步深入，既考查了一元一次方程的基本求解步骤，也考查了对“方程的解”这一概念的灵活运用，解题时要注意去分母时不要漏乘项，处理错解、同解、相反数解、正整数解等特殊条件时要准确对应条件列式，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道一元一次方程的综合应用题，各小问解题思路清晰：1. 第(1)问直接将m=-1代入原方程，按去分母、去括号、移项合并、系数化为1的标准步骤解方程即可；2. 第(2)问将x=5代入原方程先求出m的值，再代入所求代数式计算结果；3. 第(3)问利用错解的性质，将x=1代入看错常数项的错误方程，求解得到m；4. 第(4)问先解不含参数的一元一次方程得到x的值，再代入原方程求m；5. 第(5)问先解第二个方程得到解，根据相反数的性质得到原方程的解，再代入化简后的原方程求m；6. 第(6)问先将原方程化简为用m表示x的形式，根据解为正整数、m为整数的条件，结合互质数的性质求m的最小值。解题核心是灵活运用方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的求解步骤，去分母时注意不要漏乘常数项。
【解析】
(1) 将$m=-1$代入原方程，得：
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(3x+1)-2(x-1)=5$
去括号得：$9x+3-2x+2=5$
移项合并同类项得：$7x=0$
系数化为1得：$x=0$
(2) 将$x=5$代入原方程，得：
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(15-m)-2(5+m)=5$
去括号得：$45-3m-10-2m=5$
移项合并同类项得：$-5m=-30$
系数化为1得：$m=6$
将$m=6$代入$\frac{1}{2}m^2+2m$，得：
$\frac{1}{2}×6^2+2×6=18+12=30$
(3) 由题意，$x=1$是方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$的解，代入得：
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
两边同乘30去分母，得：
$15(3-m)-10(1+m)=36$
去括号得：$45-15m-10-10m=36$
移项合并同类项得：$-25m=1$
系数化为1得：$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
两边同乘4去分母，得：$2(x+1)=12+x-6$
去括号得：$2x+2=x+6$
移项合并同类项得：$x=4$
将$x=4$代入原方程，得：
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
两边同乘6去分母，得：
$3(12-m)-2(4+m)=5$
去括号得：$36-3m-8-2m=5$
移项合并同类项得：$-5m=-23$
系数化为1得：$m=\frac{23}{5}$
(5) 先解方程$7x=-2(x+3)$：
去括号得：$7x=-2x-6$
移项合并同类项得：$9x=-6$
系数化为1得：$x=-\frac{2}{3}$
由题意，原方程的解与该解互为相反数，故原方程的解为$x=\frac{2}{3}$
先将原方程去分母化简：两边同乘6得$3(3x-m)-2(x+m)=5$，整理得$7x=5m+5$
将$x=\frac{2}{3}$代入$7x=5m+5$得：
$7×\frac{2}{3}=5m+5$
移项得：$5m=\frac{14}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{1}{3}$
系数化为1得：$m=-\frac{1}{15}$
(6) 由原方程化简结果得$x=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍
设$m+1=7k$（$k$为正整数），则$m=7k-1$
当$k=1$时，$m$取最小整数值，为$7×1-1=6$
【答案】
(1) $x=0$；(2) $30$；(3) $m=-\frac{1}{25}$；(4) $m=\frac{23}{5}$；(5) $m=-\frac{1}{15}$；(6) $6$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的定义，含参一元一次方程应用
【点评】
本题围绕一元一次方程设置分层问题，从基础求解到参数应用逐步深入，既考查了一元一次方程的基本求解步骤，也考查了对“方程的解”这一概念的灵活运用，解题时要注意去分母时不要漏乘项，处理错解、同解、相反数解、正整数解等特殊条件时要准确对应条件列式，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
2.若关于x的方程$x - 2(x - 2m) = 4$和$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$的解的和为12，求m的值.
答案
解：
先解方程$x - 2(x - 2m) = 4$：
去括号，得 $x - 2x + 4m = 4$，
合并同类项，得 $-x + 4m = 4$，
移项，得 $x = 4m - 4$。
再解方程$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$：
去分母，得 $3(x + m) - 2x = 6$，
去括号，得 $3x + 3m - 2x = 6$，
合并同类项，得 $x + 3m = 6$，
移项，得 $x = 6 - 3m$。
由题意，两个方程的解的和为12，因此：
$(4m - 4) + (6 - 3m) = 12$
化简得 $m + 2 = 12$，
解得 $m = 10$。
答：$m$的值为10。
先解方程$x - 2(x - 2m) = 4$：
去括号，得 $x - 2x + 4m = 4$，
合并同类项，得 $-x + 4m = 4$，
移项，得 $x = 4m - 4$。
再解方程$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$：
去分母，得 $3(x + m) - 2x = 6$，
去括号，得 $3x + 3m - 2x = 6$，
合并同类项，得 $x + 3m = 6$，
移项，得 $x = 6 - 3m$。
由题意，两个方程的解的和为12，因此：
$(4m - 4) + (6 - 3m) = 12$
化简得 $m + 2 = 12$，
解得 $m = 10$。
答：$m$的值为10。
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次方程综合题，解题思路清晰：首先分别求解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；再根据“两个解的和为12”的条件，列出关于m的一元一次方程；最后解该方程即可得到m的值。解题过程中要注意遵守去括号、去分母、移项的运算规则，避免出现符号错误。
【解析】
先解方程$x - 2(x - 2m) = 4$：
去括号，得 $x - 2x + 4m = 4$，
合并同类项，得 $-x + 4m = 4$，
移项，得 $x = 4m - 4$。
再解方程$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$：
去分母，两边同时乘6，得 $3(x + m) - 2x = 6$，
去括号，得 $3x + 3m - 2x = 6$，
合并同类项，得 $x + 3m = 6$，
移项，得 $x = 6 - 3m$。
由题意，两个方程的解的和为12，因此：
$(4m - 4) + (6 - 3m) = 12$
化简得 $m + 2 = 12$，
解得 $m = 10$。
【答案】
$m=10$
【知识点】
解一元一次方程，含参方程处理，方程解的应用
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的求解能力和方程解的概念的应用，解题核心是先将两个方程的解用参数m表示，再根据解的和的等量关系列方程求解，只要熟练掌握解一元一次方程的步骤，注意运算时的符号问题，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的一元一次方程综合题，解题思路清晰：首先分别求解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；再根据“两个解的和为12”的条件，列出关于m的一元一次方程；最后解该方程即可得到m的值。解题过程中要注意遵守去括号、去分母、移项的运算规则，避免出现符号错误。
【解析】
先解方程$x - 2(x - 2m) = 4$：
去括号，得 $x - 2x + 4m = 4$，
合并同类项，得 $-x + 4m = 4$，
移项，得 $x = 4m - 4$。
再解方程$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$：
去分母，两边同时乘6，得 $3(x + m) - 2x = 6$，
去括号，得 $3x + 3m - 2x = 6$，
合并同类项，得 $x + 3m = 6$，
移项，得 $x = 6 - 3m$。
由题意，两个方程的解的和为12，因此：
$(4m - 4) + (6 - 3m) = 12$
化简得 $m + 2 = 12$，
解得 $m = 10$。
【答案】
$m=10$
【知识点】
解一元一次方程，含参方程处理，方程解的应用
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的求解能力和方程解的概念的应用，解题核心是先将两个方程的解用参数m表示，再根据解的和的等量关系列方程求解，只要熟练掌握解一元一次方程的步骤，注意运算时的符号问题，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3.已知$a,b$为常数,关于$x$的方程$\frac{kx - a}{2} - 1 = \frac{2x - bk}{4}$,不论$k$取何值,方程的解总为$x=-1$,求$a,b$的值.
答案
解：
把$x=-1$代入方程$\frac{kx - a}{2} - 1 = \frac{2x - bk}{4}$，得：
$\frac{-k - a}{2} - 1 = \frac{-2 - bk}{4}$
方程两边同时乘4去分母：
$2(-k - a) - 4 = -2 - bk$
去括号：
$-2k - 2a - 4 = -2 - bk$
移项、合并同类项：
$(b - 2)k = 2a + 2$
因为不论$k$取何值，等式恒成立，所以$k$的系数和等式右边的常数项必须同时为0，即：
$\begin{cases}b - 2 = 0 \\2a + 2 = 0\end{cases}$
解得：
$a=-1,\quad b=2$
把$x=-1$代入方程$\frac{kx - a}{2} - 1 = \frac{2x - bk}{4}$，得：
$\frac{-k - a}{2} - 1 = \frac{-2 - bk}{4}$
方程两边同时乘4去分母：
$2(-k - a) - 4 = -2 - bk$
去括号：
$-2k - 2a - 4 = -2 - bk$
移项、合并同类项：
$(b - 2)k = 2a + 2$
因为不论$k$取何值，等式恒成立，所以$k$的系数和等式右边的常数项必须同时为0，即：
$\begin{cases}b - 2 = 0 \\2a + 2 = 0\end{cases}$
解得：
$a=-1,\quad b=2$
解析
【分析】
首先，根据方程解的定义，x=-1能使原方程左右两边相等，且该性质与k的取值无关，因此第一步将x=-1代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式。接下来将等式整理为关于k的等式形式，要使该等式对任意k都成立，需满足k的系数为0，且等式右边的常数项也为0，据此列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值。
【解析】
把$x=-1$代入方程$\frac{kx - a}{2} - 1 = \frac{2x - bk}{4}$，得：
$\frac{-k - a}{2} - 1 = \frac{-2 - bk}{4}$
方程两边同时乘4去分母，得：
$2(-k - a) - 4 = -2 - bk$
去括号，得：
$-2k - 2a - 4 = -2 - bk$
移项、合并同类项，得：
$(b - 2)k = 2a + 2$
因为不论$k$取何值，上述等式恒成立，所以k的系数和等式右边的常数项必须同时为0，即：
$\begin{cases}b - 2 = 0 \\2a + 2 = 0\end{cases}$
解这个方程组，得：
$\begin{cases}a=-1 \\b=2\end{cases}$
【答案】
$a=-1$，$b=2$
【知识点】
1.一元一次方程的解 2.等式恒成立条件 3.解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的含参方程恒成立问题，解题核心是利用方程解的定义代入已知解，将问题转化为关于参数k的等式恒成立问题，再通过“系数为0、常数项为0”的规则列方程组求解，考查了转化思想和对基础概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先，根据方程解的定义，x=-1能使原方程左右两边相等，且该性质与k的取值无关，因此第一步将x=-1代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式。接下来将等式整理为关于k的等式形式，要使该等式对任意k都成立，需满足k的系数为0，且等式右边的常数项也为0，据此列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值。
【解析】
把$x=-1$代入方程$\frac{kx - a}{2} - 1 = \frac{2x - bk}{4}$，得：
$\frac{-k - a}{2} - 1 = \frac{-2 - bk}{4}$
方程两边同时乘4去分母，得：
$2(-k - a) - 4 = -2 - bk$
去括号，得：
$-2k - 2a - 4 = -2 - bk$
移项、合并同类项，得：
$(b - 2)k = 2a + 2$
因为不论$k$取何值，上述等式恒成立，所以k的系数和等式右边的常数项必须同时为0，即：
$\begin{cases}b - 2 = 0 \\2a + 2 = 0\end{cases}$
解这个方程组，得：
$\begin{cases}a=-1 \\b=2\end{cases}$
【答案】
$a=-1$，$b=2$
【知识点】
1.一元一次方程的解 2.等式恒成立条件 3.解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的含参方程恒成立问题，解题核心是利用方程解的定义代入已知解，将问题转化为关于参数k的等式恒成立问题，再通过“系数为0、常数项为0”的规则列方程组求解，考查了转化思想和对基础概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
例 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$2x-1=3$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)请判断方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是否为“美好方程”;
(2)若关于$x$的方程$\frac{x}{2}+m=0$与方程$3x-2=x+4$是“美好方程”,求$m$的值;
(3)若关于$x$的方程$\frac{1}{2026}x-1=0$与$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$是“美好方程”,求关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$的解.
解:(1)方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”,理由:
解方程$4x-(x+5)=1$,得$x=2$,
解方程$-2y-y=3$,得$y=-1$.
$\because x+y=2-1=1,\therefore$方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”.
(2)关于$x$的方程$\frac{x}{2}+m=0$的解为$x=-2m$,
方程$3x-2=x+4$的解为$x=3$.
由题意,得$-2m+3=1,\therefore m=1$.
(3)方程$\frac{1}{2026}x-1=0$的解为$x=2026$,
由题意,得方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$的解为$x=-2025$,
$\because$关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$就是$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3(y+2)+k$,
$\therefore y+2=-2025,\therefore y=-2027$.
(1)请判断方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是否为“美好方程”;
(2)若关于$x$的方程$\frac{x}{2}+m=0$与方程$3x-2=x+4$是“美好方程”,求$m$的值;
(3)若关于$x$的方程$\frac{1}{2026}x-1=0$与$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$是“美好方程”,求关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$的解.
解:(1)方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”,理由:
解方程$4x-(x+5)=1$,得$x=2$,
解方程$-2y-y=3$,得$y=-1$.
$\because x+y=2-1=1,\therefore$方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”.
(2)关于$x$的方程$\frac{x}{2}+m=0$的解为$x=-2m$,
方程$3x-2=x+4$的解为$x=3$.
由题意,得$-2m+3=1,\therefore m=1$.
(3)方程$\frac{1}{2026}x-1=0$的解为$x=2026$,
由题意,得方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$的解为$x=-2025$,
$\because$关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$就是$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3(y+2)+k$,
$\therefore y+2=-2025,\therefore y=-2027$.
答案
解：(1) 解方程$4x-(x+5)=1$，
去括号得$4x-x-5=1$，
移项、合并同类项得$3x=6$，
系数化为1得$x=2$。
解方程$-2y-y=3$，
合并同类项得$-3y=3$，
系数化为1得$y=-1$。
$\because 2+(-1)=1$，满足两个一元一次方程的解之和为1，
$\therefore$ 方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”。
(2) 解方程$\frac{x}{2}+m=0$，
移项得$\frac{x}{2}=-m$，
系数化为1得$x=-2m$。
解方程$3x-2=x+4$，
移项得$3x-x=4+2$，
合并同类项得$2x=6$，
系数化为1得$x=3$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore -2m+3=1$，
解得$m=1$。
(3) 解方程$\frac{1}{2026}x-1=0$，
移项得$\frac{1}{2026}x=1$，
系数化为1得$x=2026$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore$ 方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$的解为$x=1-2026=-2025$。
对方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$变形整理：
$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3(y+2)+k$，
对比方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$可得$y+2=-2025$，
解得$y=-2027$。
去括号得$4x-x-5=1$，
移项、合并同类项得$3x=6$，
系数化为1得$x=2$。
解方程$-2y-y=3$，
合并同类项得$-3y=3$，
系数化为1得$y=-1$。
$\because 2+(-1)=1$，满足两个一元一次方程的解之和为1，
$\therefore$ 方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”。
(2) 解方程$\frac{x}{2}+m=0$，
移项得$\frac{x}{2}=-m$，
系数化为1得$x=-2m$。
解方程$3x-2=x+4$，
移项得$3x-x=4+2$，
合并同类项得$2x=6$，
系数化为1得$x=3$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore -2m+3=1$，
解得$m=1$。
(3) 解方程$\frac{1}{2026}x-1=0$，
移项得$\frac{1}{2026}x=1$，
系数化为1得$x=2026$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore$ 方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$的解为$x=1-2026=-2025$。
对方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$变形整理：
$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3(y+2)+k$，
对比方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$可得$y+2=-2025$，
解得$y=-2027$。
解析
【分析】
本题属于新定义类的一元一次方程综合题，核心是理解“美好方程”的定义：若两个一元一次方程的解之和为1，则这两个方程为“美好方程”。解题思路分三部分：1. 第(1)问分别求解两个一元一次方程，计算两个解的和，判断是否为1即可；2. 第(2)问先分别求出两个方程的解，将含参数m的解用含m的代数式表示，再根据“解之和为1”列方程求解m；3. 第(3)问先求出第一个关于x的方程的解，根据定义得到第二个关于x的方程的解，再观察待求的关于y的方程的结构，将y+2看作整体，与第二个关于x的方程对应，用整体换元法快速求解y，无需计算参数k。
【解析】
(1) 解方程$4x-(x+5)=1$，
去括号得$4x-x-5=1$，
移项、合并同类项得$3x=6$，
系数化为1得$x=2$。
解方程$-2y-y=3$，
合并同类项得$-3y=3$，
系数化为1得$y=-1$。
$\because 2+(-1)=1$，满足两个一元一次方程的解之和为1，
$\therefore$ 方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”。
(2) 解方程$\frac{x}{2}+m=0$，
移项得$\frac{x}{2}=-m$，
系数化为1得$x=-2m$。
解方程$3x-2=x+4$，
移项得$3x-x=4+2$，
合并同类项得$2x=6$，
系数化为1得$x=3$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore -2m+3=1$，
解得$m=1$。
(3) 解方程$\frac{1}{2026}x-1=0$，
移项得$\frac{1}{2026}x=1$，
系数化为1得$x=2026$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore$ 方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$的解为$x=1-2026=-2025$。
对方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$变形整理：
$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3(y+2)+k$，
对比方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$可得$y+2=-2025$，
解得$y=-2027$。
【答案】
(1) 是“美好方程”；(2) $m=1$；(3) $y=-2027$
【知识点】
解一元一次方程，新定义运算，整体换元思想
【点评】
本题依托新定义考查一元一次方程的解法与思维迁移能力，前两问侧重基础运算，第三问需灵活运用整体思想简化运算，无需单独求解参数即可快速得到答案，对学生的观察能力和知识运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义类的一元一次方程综合题，核心是理解“美好方程”的定义：若两个一元一次方程的解之和为1，则这两个方程为“美好方程”。解题思路分三部分：1. 第(1)问分别求解两个一元一次方程，计算两个解的和，判断是否为1即可；2. 第(2)问先分别求出两个方程的解，将含参数m的解用含m的代数式表示，再根据“解之和为1”列方程求解m；3. 第(3)问先求出第一个关于x的方程的解，根据定义得到第二个关于x的方程的解，再观察待求的关于y的方程的结构，将y+2看作整体，与第二个关于x的方程对应，用整体换元法快速求解y，无需计算参数k。
【解析】
(1) 解方程$4x-(x+5)=1$，
去括号得$4x-x-5=1$，
移项、合并同类项得$3x=6$，
系数化为1得$x=2$。
解方程$-2y-y=3$，
合并同类项得$-3y=3$，
系数化为1得$y=-1$。
$\because 2+(-1)=1$，满足两个一元一次方程的解之和为1，
$\therefore$ 方程$4x-(x+5)=1$与方程$-2y-y=3$是“美好方程”。
(2) 解方程$\frac{x}{2}+m=0$，
移项得$\frac{x}{2}=-m$，
系数化为1得$x=-2m$。
解方程$3x-2=x+4$，
移项得$3x-x=4+2$，
合并同类项得$2x=6$，
系数化为1得$x=3$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore -2m+3=1$，
解得$m=1$。
(3) 解方程$\frac{1}{2026}x-1=0$，
移项得$\frac{1}{2026}x=1$，
系数化为1得$x=2026$。
$\because$ 两个方程是“美好方程”，
$\therefore$ 方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$的解为$x=1-2026=-2025$。
对方程$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3y+k+6$变形整理：
$\frac{1}{2026}(y+2)+1=3(y+2)+k$，
对比方程$\frac{1}{2026}x+1=3x+k$可得$y+2=-2025$，
解得$y=-2027$。
【答案】
(1) 是“美好方程”；(2) $m=1$；(3) $y=-2027$
【知识点】
解一元一次方程，新定义运算，整体换元思想
【点评】
本题依托新定义考查一元一次方程的解法与思维迁移能力，前两问侧重基础运算，第三问需灵活运用整体思想简化运算，无需单独求解参数即可快速得到答案，对学生的观察能力和知识运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
