1. 如图,已知$AB = DC,AC = DB$. 求证:$△ ABC ≌ △ DCB$.

在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ AC=DB, \\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS}).$

2. 如图，在$△ ADE$和$△ BCF$中，$A$、$C$、$D$、$B$四点在同一条直线上，$AC=BD$，$AE=BF$，$DE=CF$。
(1)求证：$∠ E=∠ F$。
(2)若$∠ F = 38°$，$∠ A = 104°$，求$∠ EGC$的度数。

(第2题图)

(1)
∵ $AC=BD$,
∴ $AC+CD=BD+CD$,
即$AD=BC$.
在$△ ADE$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} AD=BC, \\ AE=BF, \\ DE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BCF(\mathrm{SSS}).$
∴ $∠ E=∠ F$.
(2)
∵ $∠ E=∠ F=38°,∠ A=104°$,
∴ $∠ ADE=38°$.
∵ $△ ADE ≌ △ BCF$,
∴ $∠ ADE=∠ BCF=38°$.
∴ $∠ EGC=∠ ADE+∠ BCF=76°$.

3. 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制（或布制）伞，其制作工艺十分巧妙. 如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨$BD=CD$，$AB=AC$，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内由两条伞骨所形成的$∠ BAC$. 请你说明其中的道理.

（第3题图）

在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS}).$
∴ $∠ BAD=∠ CAD$,
即$AP$平分$∠ BAC$.

4. 如图，已知$AB=AC$，$DB=DC$，点$E$在$AD$的延长线上.
(1)求证：$BO=CO$，$∠ BOA=∠ COA=90°$.
(2)求证：$BE=CE$.

（第4题图）

(1)在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ DB=DC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS}).$
∴ $∠ BAD=∠ CAD$.
在$△ ABO$和$△ ACO$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAO=∠ CAO, \\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{SAS}).$
∴ $BO=CO,∠ BOA=∠ COA$.
又
∵ $∠ BOA+∠ COA=180°$,
∴ $∠ BOA=∠ COA=90°$.
(2)
∵ $∠ BOA=∠ COA=90°$,
∴ $∠ BOE=∠ COE=90°$.
在$△ BOE$和$△ COE$中，
$\begin{cases} BO=CO, \\ ∠ BOE=∠ COE, \\ OE=OE, \end{cases}$
$\therefore △ BOE ≌ △ COE(\mathrm{SAS}).$
∴ $BE=CE$.