登录
跟踪训练2-3 图中的两个椭圆分别表示负数和分数,请把$-15,\frac{6}{7},3.8,-2.16,-\frac{1}{2},-85,15\%$这几个数填入合适的位置。你能说出这两个椭圆的重叠部分表示什么数吗？
(跟踪训练2-3)
(跟踪训练2-3)
答案
填数略。重叠部分表示负分数。
解析
【分析】
解题首先要明确负数、分数的定义：负数是小于0的数，分数包括正分数、负分数，有限小数、可转化为分数形式的百分数都属于分数范畴。两个椭圆的重叠部分代表同时属于两个集合的数，也就是既满足是负数，又满足是分数的数。接下来先把给出的数分别按照负数、分数的属性分类，再对应填入三个区域：仅属于负数的区域填是负数但不是分数的数，仅属于分数的区域填是分数但不是负数的数，重叠区域填同时符合两个属性的数，最后就能得出重叠部分的数的类别。
【解析】
1. 先对给出的数分类：
① 负数：$-15$、$-2.16$、$-\frac{1}{2}$、$-85$；
② 分数：$\frac{6}{7}$、$3.8$、$-2.16$、$-\frac{1}{2}$、$15\%$。
2. 对应填数：
负数椭圆非重叠区域：填负整数$-15$、$-85$；
两个椭圆重叠区域：填负分数$-2.16$、$-\frac{1}{2}$；
分数椭圆非重叠区域：填正分数$\frac{6}{7}$、$3.8$、$15\%$。
3. 重叠部分的数同时具备负数和分数的属性，因此为负分数。
【答案】
填数略。重叠部分表示负分数。
【知识点】
有理数的分类，负数的概念，分数的概念
【点评】
本题考查有理数的分类相关知识，解题核心是明确不同类型数的定义，理解集合重叠部分的含义为同时符合两个集合的特征，需要注意有限小数、百分数都属于分数范畴，避免漏判。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确负数、分数的定义：负数是小于0的数，分数包括正分数、负分数，有限小数、可转化为分数形式的百分数都属于分数范畴。两个椭圆的重叠部分代表同时属于两个集合的数，也就是既满足是负数，又满足是分数的数。接下来先把给出的数分别按照负数、分数的属性分类，再对应填入三个区域：仅属于负数的区域填是负数但不是分数的数，仅属于分数的区域填是分数但不是负数的数，重叠区域填同时符合两个属性的数，最后就能得出重叠部分的数的类别。
【解析】
1. 先对给出的数分类：
① 负数：$-15$、$-2.16$、$-\frac{1}{2}$、$-85$；
② 分数：$\frac{6}{7}$、$3.8$、$-2.16$、$-\frac{1}{2}$、$15\%$。
2. 对应填数：
负数椭圆非重叠区域：填负整数$-15$、$-85$；
两个椭圆重叠区域：填负分数$-2.16$、$-\frac{1}{2}$；
分数椭圆非重叠区域：填正分数$\frac{6}{7}$、$3.8$、$15\%$。
3. 重叠部分的数同时具备负数和分数的属性，因此为负分数。
【答案】
填数略。重叠部分表示负分数。
【知识点】
有理数的分类，负数的概念，分数的概念
【点评】
本题考查有理数的分类相关知识，解题核心是明确不同类型数的定义，理解集合重叠部分的含义为同时符合两个集合的特征，需要注意有限小数、百分数都属于分数范畴，避免漏判。
【难度系数】
0.8
★例3 如图,数轴上的单位长度为1,点A表示的数是－3。
（1）点B表示的数的相反数是
（2）数轴上有点P,且P到A,B两点的距离相等,则点P表示的数是
（3）数轴上有点C,且与点B的距离为2个单位长度,则点C表示的数是
（1）点B表示的数的相反数是
-4
。（2）数轴上有点P,且P到A,B两点的距离相等,则点P表示的数是
0.5
。（3）数轴上有点C,且与点B的距离为2个单位长度,则点C表示的数是
2或6
。答案
(1)-4
(2)0.5
(3)2或6
(2)0.5
(3)2或6
解析
【分析】
解题第一步先确定点B表示的数：已知点A表示-3，数轴单位长度为1，观察数轴可知点B在点A右侧7个单位长度处，因此先算出B表示的数为-3+7=4，再依次解决三个问题：
1. 第一问根据相反数的定义，求4的相反数即可；
2. 第二问中到A、B距离相等的点是AB的中点，中点对应的数等于A、B所表示数的平均数，代入计算即可；
3. 第三问与点B距离为2的点有两种情况，分别在B的左侧和右侧，分别计算两种情况对应的数值即可，注意不要漏解。
【解析】
首先计算点B表示的数：
∵ 数轴单位长度为1，点A表示的数是-3，点B在点A右侧7个单位长度处，
∴ 点B表示的数为$-3 + 7 = 4$。
（1）根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，4的相反数是$-4$；
（2）
∵ 点P到A、B两点的距离相等，
∴ 点P是线段AB的中点，
则点P表示的数为$\frac{-3 + 4}{2} = 0.5$；
（3）点C与点B的距离为2个单位长度，分两种情况：
① 当点C在点B左侧时，点C表示的数为$4 - 2 = 2$；
② 当点C在点B右侧时，点C表示的数为$4 + 2 = 6$；
综上，点C表示的数是2或6。
【答案】
(1)-4
(2)0.5
(3)2或6
【知识点】
数轴的应用；相反数的定义；数轴上的两点距离
【点评】
本题是数轴的基础常考题，考查数轴上点与数的对应关系，解题时要注意涉及数轴上两点距离的问题需分点在参考点左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题第一步先确定点B表示的数：已知点A表示-3，数轴单位长度为1，观察数轴可知点B在点A右侧7个单位长度处，因此先算出B表示的数为-3+7=4，再依次解决三个问题：
1. 第一问根据相反数的定义，求4的相反数即可；
2. 第二问中到A、B距离相等的点是AB的中点，中点对应的数等于A、B所表示数的平均数，代入计算即可；
3. 第三问与点B距离为2的点有两种情况，分别在B的左侧和右侧，分别计算两种情况对应的数值即可，注意不要漏解。
【解析】
首先计算点B表示的数：
∵ 数轴单位长度为1，点A表示的数是-3，点B在点A右侧7个单位长度处，
∴ 点B表示的数为$-3 + 7 = 4$。
（1）根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，4的相反数是$-4$；
（2）
∵ 点P到A、B两点的距离相等，
∴ 点P是线段AB的中点，
则点P表示的数为$\frac{-3 + 4}{2} = 0.5$；
（3）点C与点B的距离为2个单位长度，分两种情况：
① 当点C在点B左侧时，点C表示的数为$4 - 2 = 2$；
② 当点C在点B右侧时，点C表示的数为$4 + 2 = 6$；
综上，点C表示的数是2或6。
【答案】
(1)-4
(2)0.5
(3)2或6
【知识点】
数轴的应用；相反数的定义；数轴上的两点距离
【点评】
本题是数轴的基础常考题，考查数轴上点与数的对应关系，解题时要注意涉及数轴上两点距离的问题需分点在参考点左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
跟踪训练3-1 有以下几种说法：
①有理数的绝对值一定比0大；
②互为相反数的两个不同的数，必然一个是正数，一个是负数；
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
④有理数的绝对值越大，离原点越远；
⑤任何一个有理数都有相反数。
其中正确的有（
A.①②⑤
B.②④⑤
C.③④⑤
D.①③④
①有理数的绝对值一定比0大；
②互为相反数的两个不同的数，必然一个是正数，一个是负数；
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
④有理数的绝对值越大，离原点越远；
⑤任何一个有理数都有相反数。
其中正确的有（
B
）A.①②⑤
B.②④⑤
C.③④⑤
D.①③④
答案
B
解析
【分析】
本题需要结合绝对值、相反数的基础概念，逐个判断5个说法的正误，最终筛选出全部正确的说法匹配选项即可。解题时要格外注意特殊有理数0的特殊性，避免忽略特殊值导致判断失误。
【解析】
我们对每个说法逐一分析判断：
① 0是有理数，0的绝对值是0，并不大于0，因此①说法错误；
② 互为相反数的两个不同的数，符号相反且绝对值相等，必然一个是正数一个是负数（0的相反数是0，不符合“两个不同的数”的前提），因此②说法正确；
③ 两个数的绝对值相等时，这两个数可能相等，也可能互为相反数，例如|3|=|-3|，但3≠-3，因此③说法错误；
④ 有理数的绝对值的几何意义是该数在数轴上对应点到原点的距离，因此绝对值越大，对应点离原点越远，因此④说法正确；
⑤ 根据相反数的定义，所有有理数都存在相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，因此⑤说法正确。
综上，正确的说法为②④⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的定义，相反数的定义，数轴的几何意义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对绝对值、相反数定义的准确理解，解题时要注意0的特殊性，避免因遗漏特殊情况判断错误。
【难度系数】
0.75
本题需要结合绝对值、相反数的基础概念，逐个判断5个说法的正误，最终筛选出全部正确的说法匹配选项即可。解题时要格外注意特殊有理数0的特殊性，避免忽略特殊值导致判断失误。
【解析】
我们对每个说法逐一分析判断：
① 0是有理数，0的绝对值是0，并不大于0，因此①说法错误；
② 互为相反数的两个不同的数，符号相反且绝对值相等，必然一个是正数一个是负数（0的相反数是0，不符合“两个不同的数”的前提），因此②说法正确；
③ 两个数的绝对值相等时，这两个数可能相等，也可能互为相反数，例如|3|=|-3|，但3≠-3，因此③说法错误；
④ 有理数的绝对值的几何意义是该数在数轴上对应点到原点的距离，因此绝对值越大，对应点离原点越远，因此④说法正确；
⑤ 根据相反数的定义，所有有理数都存在相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，因此⑤说法正确。
综上，正确的说法为②④⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的定义，相反数的定义，数轴的几何意义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对绝对值、相反数定义的准确理解，解题时要注意0的特殊性，避免因遗漏特殊情况判断错误。
【难度系数】
0.75
跟踪训练3-2 点A,B,C在同一条数轴上,其中A,B表示的数分别为-5,2。若B,C两点之间的距离为3,则A,C两点之间的距离为
4或10
。答案
4或10
解析
【分析】首先明确数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值，本题中C点的位置没有明确给出，仅知道B、C两点距离为3，因此需要分C在B左侧、C在B右侧两种情况讨论，先求出C点对应的数，再计算A、C两点的距离即可。
【解析】已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2，B、C两点距离为3，分两种情况计算：
1. 当点C在点B左侧时：
C对应的数为 $2-3=-1$
A、C两点距离为 $\left\vert -1 - (-5) \right\vert =4$
2. 当点C在点B右侧时：
C对应的数为 $2+3=5$
A、C两点距离为 $\left\vert 5 - (-5) \right\vert =10$
【答案】4或10
【知识点】数轴两点间距离；分类讨论思想
【点评】本题易错点是忽略C点位置的不确定性，仅考虑一种情况导致漏解，解决数轴上的距离问题时，若未明确点的相对位置，一定要分情况讨论。
【难度系数】0.7
【解析】已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2，B、C两点距离为3，分两种情况计算：
1. 当点C在点B左侧时：
C对应的数为 $2-3=-1$
A、C两点距离为 $\left\vert -1 - (-5) \right\vert =4$
2. 当点C在点B右侧时：
C对应的数为 $2+3=5$
A、C两点距离为 $\left\vert 5 - (-5) \right\vert =10$
【答案】4或10
【知识点】数轴两点间距离；分类讨论思想
【点评】本题易错点是忽略C点位置的不确定性，仅考虑一种情况导致漏解，解决数轴上的距离问题时，若未明确点的相对位置，一定要分情况讨论。
【难度系数】0.7
跟踪训练3-3 如图，已知四个有理数m,n,p,q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M,N,P,Q，且m,p的绝对值相等，则在m,n,p,q四个有理数中，绝对值最小的是
(跟踪训练3-3)
q
。(跟踪训练3-3)
答案
q
解析
【分析】
解题需结合数轴和绝对值的相关知识思考：首先明确绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，绝对值越小说明点离原点越近；其次若两个数的绝对值相等，说明这两个数对应的点关于原点对称，原点就是两个点连线的中点。解题步骤为：第一步根据m、p绝对值相等确定原点位置是线段MP的中点；第二步对比四个点到原点的距离，找到最近的点，对应数就是绝对值最小的数。
【解析】
1. 因为互为相反数的两个数绝对值相等，且在数轴上对应的点关于原点对称，已知m、p的绝对值相等，因此原点是线段MP的中点。
2. 绝对值的几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离，点到原点的距离越近，对应数的绝对值越小。观察数轴上四个点的位置，点Q到原点的距离最近，因此点Q对应的数q的绝对值最小。
【答案】
q
【知识点】
绝对值的意义，数轴的应用，相反数的性质
【点评】
本题结合数轴考查绝对值的相关性质，解题核心是先根据已知条件确定原点位置，再通过点到原点的距离判断绝对值大小，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题需结合数轴和绝对值的相关知识思考：首先明确绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，绝对值越小说明点离原点越近；其次若两个数的绝对值相等，说明这两个数对应的点关于原点对称，原点就是两个点连线的中点。解题步骤为：第一步根据m、p绝对值相等确定原点位置是线段MP的中点；第二步对比四个点到原点的距离，找到最近的点，对应数就是绝对值最小的数。
【解析】
1. 因为互为相反数的两个数绝对值相等，且在数轴上对应的点关于原点对称，已知m、p的绝对值相等，因此原点是线段MP的中点。
2. 绝对值的几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离，点到原点的距离越近，对应数的绝对值越小。观察数轴上四个点的位置，点Q到原点的距离最近，因此点Q对应的数q的绝对值最小。
【答案】
q
【知识点】
绝对值的意义，数轴的应用，相反数的性质
【点评】
本题结合数轴考查绝对值的相关性质，解题核心是先根据已知条件确定原点位置，再通过点到原点的距离判断绝对值大小，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
跟踪训练3-4 已知a，b，c是三角形ABC的三边长，若$|a - b| + |b - c| = 0$，则三角形ABC是
等边
三角形。答案
等边
解析
【分析】
解题的核心是利用绝对值的非负性推导三角形三边的关系。首先明确任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0），两个非负数相加和为0时，只有这两个非负数各自为0这一种情况。我们据此先求出a、b、c三边的数量关系，再对应三角形的分类判断形状即可。
【解析】
根据绝对值的性质可得：$\vert a-b\vert≥0$，$\vert b-c\vert≥0$。
已知$\vert a - b| + |b - c| = 0$，结合非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，可得：
$a-b=0$，$b-c=0$
整理得$a=b$，$b=c$，因此$a=b=c$。
三条边都相等的三角形是等边三角形，故三角形ABC是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
绝对值的非负性；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考察非负数的性质，熟练掌握“多个非负数相加和为0，则每个非负数均为0”的结论，结合三角形分类的知识就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用绝对值的非负性推导三角形三边的关系。首先明确任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0），两个非负数相加和为0时，只有这两个非负数各自为0这一种情况。我们据此先求出a、b、c三边的数量关系，再对应三角形的分类判断形状即可。
【解析】
根据绝对值的性质可得：$\vert a-b\vert≥0$，$\vert b-c\vert≥0$。
已知$\vert a - b| + |b - c| = 0$，结合非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，可得：
$a-b=0$，$b-c=0$
整理得$a=b$，$b=c$，因此$a=b=c$。
三条边都相等的三角形是等边三角形，故三角形ABC是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
绝对值的非负性；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考察非负数的性质，熟练掌握“多个非负数相加和为0，则每个非负数均为0”的结论，结合三角形分类的知识就能快速解题。
【难度系数】
0.9
