例题1已知点B在直线AC上，$AB=6$，$AC=10$，$P$，$Q$分别是$AB$，$AC$的中点，则$PQ$的长为。
思路分析:已知条件中"点B在直线AC上",又$AB=6$,$AC=10$,所以点B可能在线段AC上,也可能在线段AC的反向延长线上,所以此题需要分类讨论。
方法点拨:解决此类问题可画出示意图,把点$A$,$B$,$C$所有可能的位置关系画出来,即分点$B$,$C$在点$A$同侧和异侧两种情况,再求解。

2或8

【分析】
本题中点B在直线AC上，直线可向两端无限延伸，因此点B存在两种位置情况：①点B在线段AC上；②点B在线段CA的延长线上（即B、C在点A的两侧），解题时需分类讨论两种情况，再结合线段中点的性质分别计算两种情况下PQ的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点B在线段AC上时：
∵P是AB的中点，$AB=6$，
∴$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∵Q是AC的中点，$AC=10$，
∴$AQ=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$PQ=AQ-AP=5-3=2$；
2. 当点B在线段CA的延长线上时：
同理可得$AP=3$，$AQ=5$，
此时B、C在点A的两侧，因此$PQ=AP+AQ=3+5=8$。
综上，PQ的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点在直线上”存在多种位置关系，仅考虑点B在线段AC上的情况导致漏解，解题时可以先画出所有可能的位置示意图，结合图形分析能有效避免漏解，要注意区分“直线”和“线段”的概念差异。
【难度系数】
0.6

练习①如图，有两根木条，一根AB的长为80 cm，另一根CD的长为130 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？

（练习1）

解:本题有两种情形：
(1)如图①,当A,C(或B,D)重合,且剩余两端点在重合点同侧时，

$MN=CN-AM=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB$，
即$MN=\frac{1}{2}×130-\frac{1}{2}×80=65-40=25(\mathrm{cm})$。
(2)如图②,当B,C(或A,D)重合,且剩余两端点在重合点两侧时，

$MN=CN+BM=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB$，
即$MN=\frac{1}{2}×130+\frac{1}{2}×80=65+40=105(\mathrm{cm})$。
故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm。

【分析】
解题时首先注意到题目未明确两根木条的放置方式，因此需要分两种情况讨论：①两根木条同向放置，重合端点的剩余端点在重合点同侧；②两根木条反向放置，剩余端点在重合点两侧。已知M、N分别是AB、CD的中点，先求出两条木条一半的长度，再结合不同放置情形下MN的和差关系计算即可得到结果。
【解析】
本题有两种情形：
(1) 如图①，当A，C(或B，D)重合，且剩余两端点在重合点同侧时，

$MN=CN-AM=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB$，
代入数据得：$MN=\frac{1}{2}×130-\frac{1}{2}×80=65-40=25(\mathrm{cm})$。
(2) 如图②，当B，C(或A，D)重合，且剩余两端点在重合点两侧时，

$MN=CN+BM=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB$，
代入数据得：$MN=\frac{1}{2}×130+\frac{1}{2}×80=65+40=105(\mathrm{cm})$。
【答案】
两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm。
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是结合题意全面考虑线段的两种放置位置，避免漏解，能够有效考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.65

例题② 在平面上，已知$∠ AOB = 80°$，$∠ BOC = 50°$，若$OM$平分$∠ AOB$，$ON$平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数。
思路分析:已知的两个角$∠ AOB$，$∠ BOC$有一条公共边$OB$，另外两条边的位置关系分两种情况，可能在$OB$的同侧，也可能在$OB$的异侧。分别画出两种情况下的图形，再结合已知中的其他条件，求出$∠ MON$的度数。
方法点拨:解答时，可先画出所有符合题意的图形，再针对每一种图形分别计算，即“先定位，再计算”。

解:分两种情况计算。
(1)如图①,当OC落在$∠AOB$的内部时，
因为OM平分$∠AOB$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
因为ON平分$∠BOC$，
所以$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM-∠BON=40°-25°=15°$。

(2)如图②,当OC落在$∠AOB$的外部时，
因为OM平分$∠AOB$,ON平分$∠BOC$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$，
$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM+∠BON=40°+25°=65°$。
综上所述,$∠MON$的度数为15°或65°。

【分析】
本题未明确OC的位置，因此需先分类讨论OC与∠AOB的位置关系：①OC落在∠AOB内部；②OC落在∠AOB外部。再利用角平分线的定义，分别求出两种情况下∠BOM和∠BON的度数，最后根据角的和差关系计算∠MON的度数即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
(1) 如图①，当OC落在$∠AOB$的内部时，
因为OM平分$∠AOB$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
因为ON平分$∠BOC$，
所以$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM-∠BON=40°-25°=15°$。

(2) 如图②，当OC落在$∠AOB$的外部时，
因为OM平分$∠AOB$,ON平分$∠BOC$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$，
$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM+∠BON=40°+25°=65°$。

综上所述，$∠MON$的度数为15°或65°。
【答案】
$∠MON$的度数为15°或65°


【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角的计算的典型题型，解题的关键是明确无固定图形时，存在角的位置不唯一的情况，需分类讨论所有可能的位置，避免漏解，同时要熟练运用角平分线的性质进行角的运算。
【难度系数】
0.6

练习②如图，$∠ AOB = 100°$，$∠ BOC = 30°$，小明想过点$O$引一条射线$OD$，使$∠ AOD : ∠ BOD = 1:3$（$∠ AOD$与$∠ BOD$都小于平角），那么$∠ COD$的度数是（）。

（练习2）

A.$45°$
B.$45°$或$105°$
C.$120°$
D.$45°$或$120°$

D

【分析】
本题未明确射线OD的位置，需结合∠AOD、∠BOD均小于平角的条件分两种情况讨论：①OD在∠AOB内部；②OD在∠AOB外部。先根据∠AOD与∠BOD的比例关系设未知数列方程，求出对应角的度数，再结合角的和差关系计算∠COD的度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当射线OD在∠AOB内部时：
设$ ∠AOD = x $，由$ ∠AOD:∠BOD = 1:3 $可得$ ∠BOD = 3x $。
根据角的和差关系，$ ∠AOD + ∠BOD = ∠AOB = 100° $，代入得：
$ x + 3x = 100° $，解得$ x = 25° $，因此$ ∠BOD = 3 × 25° = 75° $。
已知$ ∠BOC = 30° $，则$ ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 75° - 30° = 45° $。
2. 当射线OD在∠AOB外部（且$ ∠AOD、∠BOD $均小于平角）时：
设$ ∠AOD = x $，则$ ∠BOD = 3x $。
此时$ ∠BOD - ∠AOD = ∠AOB = 100° $，代入得：
$ 3x - x = 100° $，解得$ x = 50° $，因此$ ∠AOD = 50° $。
先计算$ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 100° - 30° = 70° $，则$ ∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 70° + 50° = 120° $。
综上，$ ∠COD $的度数为$ 45° $或$ 120° $。
【答案】
D
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想；比例的应用
【点评】
本题是角计算的常考题型，解题的关键是明确射线位置不确定时需分类讨论，同时要注意题干中“两个角都小于平角”的限制条件，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.65