1. 让我们一起用描点法探究函数$y=\frac{6}{|x|}$的图象和性质，下面是探究过程，请将其补充完整：
(1)函数$y=\frac{6}{|x|}$的自变量$x$的取值范围是；
根据取值范围写出$y$与$x$的几组对应值，补全下表：

(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点。请你根据描出的点，画出该函数的图象。
(3)观察画出的函数图象。
①$y=5$时，对应的自变量$x$的值为；
②写出函数$y=\frac{6}{|x|}$的一条性质：。

1.(1) $x≠0$，补全表格的对应值为4、3
(2) 用平滑的曲线连接即可，如
(3) ①$\frac{6}{5}$或$-\frac{6}{5}$
②图象关于y轴对称；x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小（答案不唯一，写出一条即可）

【分析】
解题时按照函数探究的常规步骤思考：1. 求自变量取值范围时，观察函数表达式是分式，根据分式有意义的条件“分母不为0”即可推导；2. 画函数图象时，遵循描点法的要求，用平滑曲线连接同象限的点即可；3. 求y=5对应的x值时，将y代入解析式，解含绝对值的方程即可；4. 总结函数性质时，从图象的对称性、不同区间的增减性、函数值的取值范围等角度观察图象即可得出结论。
【解析】
(1) 对于函数$y=\frac{6}{|x|}$，分式有意义要求分母不为0，即$|x|≠0$，解得$x≠0$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠0$；结合函数解析式计算可得表格对应缺值为4、3。
(2) 按照描点法画图要求，用平滑的曲线顺次连接第一象限的所有描点，再用平滑的曲线顺次连接第二象限的所有描点，注意$x=0$处无图象，最终图象如下：
(3) ①将$y=5$代入函数解析式得$5=\frac{6}{|x|}$，变形得$|x|=\frac{6}{5}$，根据绝对值的性质解得$x=\frac{6}{5}$或$x=-\frac{6}{5}$。
②观察图象可得出多条性质，例如：图象关于y轴对称；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，任选一条即可。
【答案】
(1) $x≠0$，补全表格的对应值为4、3
(2) 用平滑的曲线连接即可，如
(3) ①$\frac{6}{5}$或$-\frac{6}{5}$
②图象关于y轴对称（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
自变量取值范围确定；函数图象绘制；函数性质分析
【点评】
本题围绕函数探究的基本流程设题，考查了学生对分式有意义条件、绝对值运算、函数图象观察分析等能力的掌握，难度较低，贴合函数学习的基础要求。
【难度系数】
0.8

2.类比反比例函数的图象与性质的学习过程，小欣进一步研究了函数$y=\frac{1}{x+1}$的图象与性质.其过程如下：
(1)绘制函数图象.
①列表：

②描点:根据表中的数据描点$(x,y)$；
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点.
请把图象(如图)补充完整.

(2)探究函数的性质.
判断下列说法是否正确(正确的填“√”，错误的填“×”)：
①函数值$y$随$x$的增大而减小.
②函数图象关于原点对称.
③函数图象与直线$x=-1$没有交点.

2.(1) 如
(2) ①× ②× ③√

【分析】
本题研究由反比例函数平移得到的函数$y=\frac{1}{x+1}$的图象与性质，解题思路如下：
1. 补全图象：回忆反比例函数平移规律，$y=\frac{1}{x+1}$是$y=\frac{1}{x}$向左平移1个单位得到的，对称中心为$(-1,0)$，可根据对称性补全$x＜-1$部分的图象。
2. 判断性质：
① 单调性：反比例函数的单调性仅在各自分支（同一连续区间）内成立，跨区间不满足，可举反例验证；
② 对称性：平移后的反比例函数对称中心为$(-1,0)$，不是原点，可代入点验证是否关于原点对称；
③ 交点判断：先求函数自变量取值范围，$x=-1$时分母为0，无意义，故函数图象不会经过$x=-1$对应的直线。
【解析】
(1) 函数$y=\frac{1}{x+1}$的图象是双曲线，由$y=\frac{1}{x}$向左平移1个单位得到，对称中心为$(-1,0)$，按照平滑曲线的要求补全$x＜-1$的分支即可。
(2) ① 函数的单调性：仅在$x＜-1$和$x＞-1$两个区间内，$y$随$x$的增大而减小，整个定义域内不满足该性质，例如取$x_1=-2$，$y_1=\frac{1}{-2+1}=-1$；取$x_2=0$，$y_2=\frac{1}{0+1}=1$，$x_1＜x_2$但$y_1＜y_2$，故该说法错误。
② 对称性：函数图象的对称中心为$(-1,0)$，不是原点，例如点$(0,1)$在函数图象上，其关于原点的对称点$(0,-1)$不在函数图象上，故该说法错误。
③ 自变量取值范围：要使函数有意义，需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$，因此直线$x=-1$和函数图象没有交点，故该说法正确。
【答案】
(1) 如
(2) ①× ②× ③√
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象的平移；自变量取值范围
【点评】
本题通过类比反比例函数的研究方法，考查了平移后反比例型函数的图象与性质，解题时要注意函数平移后对称中心的变化，单调性仅在同一连续区间内成立，同时要结合定义域判断函数图象的边界情况，锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7