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8. 如图，抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C，点B在y轴上，则ac的值为（
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
B
）A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
答案
8. B 解析:连接$AC$,交$y$轴于点$D$,如图
,当$x=0$时,则$y=c$,即 $OB=c$,$\because$ 四边形 $OABC$ 是正方形,$\therefore AC=OB=2AD=2OD=c$,$AC ⊥ OB$,$\therefore$ 点 $A$ 的坐标是$(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$,$\therefore \frac{c}{2}=a × \frac{c^2}{4}+c$,解得 $ac=-2$.故选 B.9. (娄底中考)用数形结合等思想方法确定二次函数$y=x^2+2$的图象与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象的交点的横坐标$x_0$所在的范围是 (
A.$0＜x_0≤\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}＜x_0≤\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}＜x_0≤\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{4}＜x_0≤1$
D
)A.$0＜x_0≤\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}＜x_0≤\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}＜x_0≤\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{4}＜x_0≤1$
答案
9. D 解析:在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象,如图
,由图知,显然$\frac{1}{2}＜x_0＜1$,当$x_0=\frac{3}{4}$时,将其分别代入$y=x^2+2$与$y=\frac{2}{x}$,得$y_1=\frac{9}{16}+2=\frac{41}{16}$,$y_2=\frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}$,$\because y_2-y_1=\frac{8}{3}-\frac{41}{16}=\frac{5}{48}＞0$,$\therefore$ 此时反比例函数图象在二次函数图象的上方,$\therefore \frac{3}{4}＜x_0 ≤ 1$.故选 D.10. 如图,已知$\odot P$的半径为3,圆心P在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -1$上运动,当$\odot P$与x轴相切时,圆心P的坐标为
$(2\sqrt{2},3)$或$(-2\sqrt{2},3)$
.答案
10. $(2\sqrt{2},3)$或$(-2\sqrt{2},3)$ 解析:$\because \odot P$ 的半径为 3,且 $\odot P$与 $x$ 轴相切,$\therefore$ 圆心 $P$ 的纵坐标为 3 或 $-3$,当 $y=3$ 时,代入$y=\frac{1}{2}x^2-1$,得$3=\frac{1}{2}x^2-1$,即$x^2=8$,解得$x=\pm2\sqrt{2}$,$\therefore$ 点$P$ 的坐标为$(2\sqrt{2},3)$或$(-2\sqrt{2},3)$.当 $y=-3$ 时,代入$y=\frac{1}{2}x^2-1$,得$-3=\frac{1}{2}x^2-1$,整理得$x^2=-4＜0$,$\therefore$ 此方程无实数解.综上所述,圆心 $P$ 的坐标为$(2\sqrt{2},3)$或$(-2\sqrt{2},3)$.
11. (2025·武汉校级月考)如图,已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$的顶点A在y轴上,过点A作x轴的平行线l,将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线l翻折后,所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分),若$A_1(-5,y_1)$,$A_2(-4,y_2)$,$A_3(-3,y_3)$,$···$,$A_9(3,y_9)$,$A_{10}(4,y_{10})$这10个点都在此新函数的图象上,这10个点的横坐标从-5开始依次增加1,则$y_1 + y_2 + y_3 + ··· + y_9 + y_{10}$的值是
$-\frac{15}{4}$
.答案
11. $-\frac{15}{4}$ 解析:抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-1$的顶点坐标 $A$ 为$(0,-1)$,对称轴为 $y$ 轴,根据题意,$A_6$ 与点 $A$ 重合,即 $A_6(0,-1)$,$\therefore$ 根据对称性质可得 $A_2$ 与 $A_{10}$,$A_3$ 与 $A_9$,$A_4$ 与 $A_8$,$A_5$ 与 $A_7$ 都关于点 $A$ 对称,$\therefore \frac{y_2+y_{10}}{2}=\frac{y_3+y_9}{2}=\frac{y_4+y_8}{2}=\frac{y_5+y_7}{2}=-1$,$\therefore y_2+y_{10}=y_3+y_9=y_4+y_8=y_5+y_7=-2$.又 $y_1=\frac{1}{4}×(-5)^2-1=\frac{21}{4}$,$y_6=-1$,$\therefore y_1+y_2+y_3+\dots+y_9+y_{10}=4×(-2)+\frac{21}{4}+(-1)=-\frac{15}{4}$.
12. (2025·武汉中考)抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -3$与直线$y=x$交于A,B两点(A在B的左边).
(1)求A,B两点的坐标.
(2)如图①,若P是直线AB下方抛物线上的点.过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,过点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标.
(3)如图②,经过原点O的直线CD交抛物线于C,D两点(点C在第二象限),连接AC,BD分别交x轴于E,F两点.若$S_{△ DOF}=\frac{3}{4}S_{△ COE}$,求直线CD的表达式.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)如图①,若P是直线AB下方抛物线上的点.过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,过点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标.
(3)如图②,经过原点O的直线CD交抛物线于C,D两点(点C在第二象限),连接AC,BD分别交x轴于E,F两点.若$S_{△ DOF}=\frac{3}{4}S_{△ COE}$,求直线CD的表达式.
答案
12. (1)联立$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-3,\\y=x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-2,\\y=-2\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=6,\end{cases}$ $\therefore A(-2,-2)$,$B(6,6)$.
(2)设 $P(p,\frac{1}{4}p^2-3)$,$\because$ 抛物线表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2-3$,$\therefore$ 抛物线对称轴为 $y$ 轴.$\because PM // x$ 轴,$PN // y$ 轴,$\therefore M(-p,\frac{1}{4}p^2-3)$,$N(p,p)$,$\therefore PM=|p-(-p)|=|2p|$,$PN=p-(\frac{1}{4}p^2-3)=-\frac{1}{4}p^2+p+3$.$\because PM=PN$,$\therefore -\frac{1}{4}p^2+p+3=|2p|$,$\therefore -\frac{1}{4}p^2+p+3=2p$ 或 $-\frac{1}{4}p^2+p+3=-2p$,解得 $p=2$ 或 $p=-6$(舍去)或 $p=6-4\sqrt{3}$ 或 $p=6+4\sqrt{3}$(舍去),$\therefore$ 点 $P$ 的横坐标为 2 或 $6-4\sqrt{3}$.
(3)设 $C(c,\frac{1}{4}c^2-3)$,$D(d,\frac{1}{4}d^2-3)$,设直线 $CD$ 的表达式为 $y=k'x$,$\therefore \begin{cases}\frac{1}{4}c^2-3=ck',\\\frac{1}{4}d^2-3=dk',\end{cases}$ $\therefore \frac{1}{4}(c+d)(c-d)=(c-d)k'$.$\because c ≠ d$,$\therefore k'=\frac{1}{4}(c+d)$,$\therefore \frac{1}{4}c^2-3=c · \frac{1}{4}(c+d)$,$\therefore cd=-12$.
设直线 $AC$ 的表达式为 $y=k''x+b''$,$\therefore \begin{cases}-2k''+b''=-2,\\ck''+b''=\frac{1}{4}c^2-3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k''=\frac{1}{4}c-\frac{1}{2},\\b''=\frac{1}{2}c-3,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AC$ 的表达式为 $y=(\frac{1}{4}c-\frac{1}{2})x+\frac{1}{2}c-3$.在 $y=(\frac{1}{4}c-\frac{1}{2})· x+\frac{1}{2}c-3=0$ 时,$x=\frac{-2c+12}{c-2}$,$\therefore E(\frac{-2c+12}{c-2},0)$.同理可得$F(\frac{6d+12}{d+6},0)$.$\because cd=-12$,$\therefore \frac{6d+12}{d+6}=\frac{6 · \frac{-12}{c}+12}{\frac{-12}{c}+6}=\frac{2c-12}{c-2}$,$\therefore F(\frac{2c-12}{c-2},0)$,$\therefore OF=OE$.$\because S_{△ DOF}=\frac{3}{4}S_{△ COE}$,$\therefore \frac{1}{2}OF · |y_D|=\frac{3}{4}× \frac{1}{2} · OE · |y_C|$,$\therefore -(\frac{1}{4}d^2-3)=\frac{3}{4}(\frac{1}{4}c^2-3)$,$\therefore 3c^2+4d^2-84=0$,$\therefore 3c^2+4d^2+7cd=0$,$\therefore (3c+4d)(c+d)=0$,$\therefore 3c=-4d$ 或 $c=-d$(此时 $△ COE$,$△ DOF$ 的面积相等,不符合题意),$\therefore cd=-\frac{4}{3}d^2=-12$,$\therefore d=3$ 或 $d=-3$(舍去),$\therefore c=-4$,$\therefore k'=\frac{-4+3}{4}=-\frac{1}{4}$,$\therefore$ 直线 $CD$ 的表达式为$y=-\frac{1}{4}x$.
(2)设 $P(p,\frac{1}{4}p^2-3)$,$\because$ 抛物线表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2-3$,$\therefore$ 抛物线对称轴为 $y$ 轴.$\because PM // x$ 轴,$PN // y$ 轴,$\therefore M(-p,\frac{1}{4}p^2-3)$,$N(p,p)$,$\therefore PM=|p-(-p)|=|2p|$,$PN=p-(\frac{1}{4}p^2-3)=-\frac{1}{4}p^2+p+3$.$\because PM=PN$,$\therefore -\frac{1}{4}p^2+p+3=|2p|$,$\therefore -\frac{1}{4}p^2+p+3=2p$ 或 $-\frac{1}{4}p^2+p+3=-2p$,解得 $p=2$ 或 $p=-6$(舍去)或 $p=6-4\sqrt{3}$ 或 $p=6+4\sqrt{3}$(舍去),$\therefore$ 点 $P$ 的横坐标为 2 或 $6-4\sqrt{3}$.
(3)设 $C(c,\frac{1}{4}c^2-3)$,$D(d,\frac{1}{4}d^2-3)$,设直线 $CD$ 的表达式为 $y=k'x$,$\therefore \begin{cases}\frac{1}{4}c^2-3=ck',\\\frac{1}{4}d^2-3=dk',\end{cases}$ $\therefore \frac{1}{4}(c+d)(c-d)=(c-d)k'$.$\because c ≠ d$,$\therefore k'=\frac{1}{4}(c+d)$,$\therefore \frac{1}{4}c^2-3=c · \frac{1}{4}(c+d)$,$\therefore cd=-12$.
设直线 $AC$ 的表达式为 $y=k''x+b''$,$\therefore \begin{cases}-2k''+b''=-2,\\ck''+b''=\frac{1}{4}c^2-3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k''=\frac{1}{4}c-\frac{1}{2},\\b''=\frac{1}{2}c-3,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AC$ 的表达式为 $y=(\frac{1}{4}c-\frac{1}{2})x+\frac{1}{2}c-3$.在 $y=(\frac{1}{4}c-\frac{1}{2})· x+\frac{1}{2}c-3=0$ 时,$x=\frac{-2c+12}{c-2}$,$\therefore E(\frac{-2c+12}{c-2},0)$.同理可得$F(\frac{6d+12}{d+6},0)$.$\because cd=-12$,$\therefore \frac{6d+12}{d+6}=\frac{6 · \frac{-12}{c}+12}{\frac{-12}{c}+6}=\frac{2c-12}{c-2}$,$\therefore F(\frac{2c-12}{c-2},0)$,$\therefore OF=OE$.$\because S_{△ DOF}=\frac{3}{4}S_{△ COE}$,$\therefore \frac{1}{2}OF · |y_D|=\frac{3}{4}× \frac{1}{2} · OE · |y_C|$,$\therefore -(\frac{1}{4}d^2-3)=\frac{3}{4}(\frac{1}{4}c^2-3)$,$\therefore 3c^2+4d^2-84=0$,$\therefore 3c^2+4d^2+7cd=0$,$\therefore (3c+4d)(c+d)=0$,$\therefore 3c=-4d$ 或 $c=-d$(此时 $△ COE$,$△ DOF$ 的面积相等,不符合题意),$\therefore cd=-\frac{4}{3}d^2=-12$,$\therefore d=3$ 或 $d=-3$(舍去),$\therefore c=-4$,$\therefore k'=\frac{-4+3}{4}=-\frac{1}{4}$,$\therefore$ 直线 $CD$ 的表达式为$y=-\frac{1}{4}x$.
