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1.(2025·云南)函数$y=\dfrac{1}{x-1}$的自变量$x$的取值范围为 （
A.$x≠4$
B.$x≠3$
C.$x≠2$
D.$x≠1$
D
）A.$x≠4$
B.$x≠3$
C.$x≠2$
D.$x≠1$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查分式型函数自变量的取值范围求解，解题时首先回忆分式有意义的前提：分母不能为0。我们只需要让该函数的分母不等于0，解出对应的不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
对于分式形式的函数，要使函数有意义，需满足分母不为0。
本题中函数的分母为$x-1$，因此列不等式：
$x-1 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查分式型函数自变量取值范围的求法，只要掌握“分式分母不能为0”的规则就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查分式型函数自变量的取值范围求解，解题时首先回忆分式有意义的前提：分母不能为0。我们只需要让该函数的分母不等于0，解出对应的不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
对于分式形式的函数，要使函数有意义，需满足分母不为0。
本题中函数的分母为$x-1$，因此列不等式：
$x-1 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查分式型函数自变量取值范围的求法，只要掌握“分式分母不能为0”的规则就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.小丽从常州开车去南京,匀速开了一段时间后,发现油所剩不多了,于是开到服务区加油,加满油后又开始匀速行驶.下面哪一幅图可以近似地刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况
（
（
B
）答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要把汽车的行驶过程拆解为多个阶段，明确每个阶段的速度变化特点，再将阶段特征和四个选项的图像逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。具体过程可拆分为6个阶段：①出发启动：从静止（速度为0）开始加速，速度逐渐升高到恒定值；②第一程匀速行驶：速度保持不变；③驶入服务区减速：速度从恒定值逐渐降到0；④加油：汽车静止，速度为0且保持一段时间；⑤加油后重新出发：再次从0加速到恒定速度；⑥后续匀速行驶：速度再次保持不变，按上述阶段特征对应图像即可。
【解析】
我们结合过程特征逐一分析选项：
1. 初始启动阶段：汽车从静止开始加速，速度从0开始上升，因此图像起点为原点且初始段为上升斜线，选项A初始速度不为0，不符合要求，排除A；
2. 第一程匀速阶段：速度保持不变，对应图像为水平线段，选项C全程没有水平的匀速段，始终是加速、减速、加速的状态，不符合要求，排除C；
3. 加油阶段：汽车需要停下加油，会有一段时间速度为0，选项D全程没有速度为0的阶段，且中途还有速度升高的变化，不符合实际行驶过程，排除D；
4. 选项B的图像走势依次为：加速上升→匀速水平→减速下降到0→静止（速度为0的水平段）→再次加速上升→再次匀速水平，完全符合题目描述的行驶过程。
【答案】
B
【知识点】
速度-时间图像，函数的实际应用，匀速运动特征
【点评】
本题结合生活中的行车场景考查函数图像的识别，解题核心是将实际过程拆分出不同的速度变化阶段，再对应图像的走势、特征进行判断即可，属于结合实际的基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把汽车的行驶过程拆解为多个阶段，明确每个阶段的速度变化特点，再将阶段特征和四个选项的图像逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。具体过程可拆分为6个阶段：①出发启动：从静止（速度为0）开始加速，速度逐渐升高到恒定值；②第一程匀速行驶：速度保持不变；③驶入服务区减速：速度从恒定值逐渐降到0；④加油：汽车静止，速度为0且保持一段时间；⑤加油后重新出发：再次从0加速到恒定速度；⑥后续匀速行驶：速度再次保持不变，按上述阶段特征对应图像即可。
【解析】
我们结合过程特征逐一分析选项：
1. 初始启动阶段：汽车从静止开始加速，速度从0开始上升，因此图像起点为原点且初始段为上升斜线，选项A初始速度不为0，不符合要求，排除A；
2. 第一程匀速阶段：速度保持不变，对应图像为水平线段，选项C全程没有水平的匀速段，始终是加速、减速、加速的状态，不符合要求，排除C；
3. 加油阶段：汽车需要停下加油，会有一段时间速度为0，选项D全程没有速度为0的阶段，且中途还有速度升高的变化，不符合实际行驶过程，排除D；
4. 选项B的图像走势依次为：加速上升→匀速水平→减速下降到0→静止（速度为0的水平段）→再次加速上升→再次匀速水平，完全符合题目描述的行驶过程。
【答案】
B
【知识点】
速度-时间图像，函数的实际应用，匀速运动特征
【点评】
本题结合生活中的行车场景考查函数图像的识别，解题核心是将实际过程拆分出不同的速度变化阶段，再对应图像的走势、特征进行判断即可，属于结合实际的基础应用题。
【难度系数】
0.8
3.变量$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 1$，则当$x=-2$时，$y$的值为________。
答案
3.1
解析
【分析】
本题考查函数值的求解，解题思路清晰：已知自变量x的取值，只需将x=-2直接代入给定的函数表达式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减）计算即可得到对应的y值，计算时要注意负数平方的符号处理，避免符号出错。
【解析】
将$x=-2$代入函数表达式$y=\frac{1}{2}x^2 - 1$中：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$；
2. 再计算乘法：$\frac{1}{2} × 4 = 2$；
3. 最后计算减法：$2 - 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
求函数值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入求值的方法，计算时要注意运算顺序和符号问题，负数的偶次幂为正数，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查函数值的求解，解题思路清晰：已知自变量x的取值，只需将x=-2直接代入给定的函数表达式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减）计算即可得到对应的y值，计算时要注意负数平方的符号处理，避免符号出错。
【解析】
将$x=-2$代入函数表达式$y=\frac{1}{2}x^2 - 1$中：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$；
2. 再计算乘法：$\frac{1}{2} × 4 = 2$；
3. 最后计算减法：$2 - 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
求函数值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入求值的方法，计算时要注意运算顺序和符号问题，负数的偶次幂为正数，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
4.已知等腰三角形的顶角为$y°$,底角为$x°$,则$y$与$x$之间的函数表达式是________,其中自变量$x$的取值范围是________.
答案
4.$y=-2x+180$ $0＜x＜90$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先回忆等腰三角形的性质和三角形内角和定理：等腰三角形两个底角相等，三角形三个内角的和为180°，由此可以列出顶角和底角的等量关系，整理后就能得到y与x的函数表达式。2. 求自变量x的取值范围时，要结合三角形内角的隐含条件：三角形的每个内角的度数都必须大于0°，因此底角x＞0，同时顶角y＞0，代入函数表达式解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°
∴ 顶角 + 2×底角 = 180°，即 $y + 2x = 180$
整理可得函数表达式：$y = -2x + 180$
接下来求自变量x的取值范围：
∵ 三角形的内角度数均为正数
∴ 底角 $x ＞ 0$，且顶角 $y = -2x + 180 ＞ 0$
解不等式 $-2x + 180 ＞ 0$，得 $x ＜ 90$
综上，自变量x的取值范围是 $0 ＜ x ＜ 90$
【答案】
$y=-2x+180$；$0＜x＜90$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础应用题，结合几何性质考查一次函数解析式的求解，解题时需要注意挖掘题目中的隐含条件，即三角形内角均为正数，避免遗漏自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先回忆等腰三角形的性质和三角形内角和定理：等腰三角形两个底角相等，三角形三个内角的和为180°，由此可以列出顶角和底角的等量关系，整理后就能得到y与x的函数表达式。2. 求自变量x的取值范围时，要结合三角形内角的隐含条件：三角形的每个内角的度数都必须大于0°，因此底角x＞0，同时顶角y＞0，代入函数表达式解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°
∴ 顶角 + 2×底角 = 180°，即 $y + 2x = 180$
整理可得函数表达式：$y = -2x + 180$
接下来求自变量x的取值范围：
∵ 三角形的内角度数均为正数
∴ 底角 $x ＞ 0$，且顶角 $y = -2x + 180 ＞ 0$
解不等式 $-2x + 180 ＞ 0$，得 $x ＜ 90$
综上，自变量x的取值范围是 $0 ＜ x ＜ 90$
【答案】
$y=-2x+180$；$0＜x＜90$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础应用题，结合几何性质考查一次函数解析式的求解，解题时需要注意挖掘题目中的隐含条件，即三角形内角均为正数，避免遗漏自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
5.某市出租车白天的收费起步价为7元,即路程不超过3千米时收费7元,超过部分每千米收费1.2元.如果乘客白天乘坐出租车的路程为$x(x＞3)$千米,乘车费为$y$元,那么$y$与$x$之间的函数表达式为________.
答案
5.$y=1.2x+3.4$
解析
【分析】
这是一道实际生活中的分段计费问题，解题时首先明确乘车费的组成：当行驶路程超过3千米时，总费用=起步价+超出3千米部分的费用。先计算超出3千米的路程为$(x-3)$千米，再乘以超出部分的单价得到超出路段的费用，最后加上起步价，化简后即可得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
已知乘车路程$x＞3$千米，超出3千米的路程为$(x-3)$千米，超出部分每千米收费1.2元，因此超出部分的费用为$1.2(x-3)$元。
总乘车费$y$等于起步价7元加上超出部分的费用，可列关系式：
$y=7 + 1.2(x-3)$
展开并化简：
$y=7 + 1.2x - 3.6$
$y=1.2x + 3.4$
【答案】
$y=1.2x+3.4$
【知识点】
列函数关系式；一次函数实际应用；代数式化简
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，核心考查对分段计费规则的理解，解题时只要准确拆分费用构成，正确计算并化简代数式即可，是函数部分的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
这是一道实际生活中的分段计费问题，解题时首先明确乘车费的组成：当行驶路程超过3千米时，总费用=起步价+超出3千米部分的费用。先计算超出3千米的路程为$(x-3)$千米，再乘以超出部分的单价得到超出路段的费用，最后加上起步价，化简后即可得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
已知乘车路程$x＞3$千米，超出3千米的路程为$(x-3)$千米，超出部分每千米收费1.2元，因此超出部分的费用为$1.2(x-3)$元。
总乘车费$y$等于起步价7元加上超出部分的费用，可列关系式：
$y=7 + 1.2(x-3)$
展开并化简：
$y=7 + 1.2x - 3.6$
$y=1.2x + 3.4$
【答案】
$y=1.2x+3.4$
【知识点】
列函数关系式；一次函数实际应用；代数式化简
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，核心考查对分段计费规则的理解，解题时只要准确拆分费用构成，正确计算并化简代数式即可，是函数部分的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
6.星期日上午8:00,小张自驾小汽车从家出发,带全家人去一个4A级景区游玩,小张驾驶的小汽车离家的距离y(千米)与时间t(时)之间的关系如图所示,请结合图解决下列问题:
(1)小张家距离景区
(2)在去景区的路上,汽车进行了一次加油,之后平均速度比原来增加了20千米/时,试求加油共用了多少小时;
(3)如果出发时汽车油箱中有油25升,行驶中平均每小时耗油10升,问小张在加油站至少加多少升油才能开回家?
(1)小张家距离景区
200
千米,全家人在景区游玩了4.5
小时;(2)在去景区的路上,汽车进行了一次加油,之后平均速度比原来增加了20千米/时,试求加油共用了多少小时;
(3)如果出发时汽车油箱中有油25升,行驶中平均每小时耗油10升,问小张在加油站至少加多少升油才能开回家?
答案
6.(1)200 4.5
(2)解:$120÷(9.5-8)=80$(千米/时),
$\dfrac{200-120}{80+20}=0.8$(时),$10.5-9.5-0.8=0.2$(时).
故加油共用了0.2小时.
(3)解:$200÷\dfrac{200-120}{16-15}=2.5$(时),
$9.5-8+0.8+2.5=4.8$(时),
$10×4.8-25=23$(升).
故小张在加油站至少加23升油才能开回家.
(2)解:$120÷(9.5-8)=80$(千米/时),
$\dfrac{200-120}{80+20}=0.8$(时),$10.5-9.5-0.8=0.2$(时).
故加油共用了0.2小时.
(3)解:$200÷\dfrac{200-120}{16-15}=2.5$(时),
$9.5-8+0.8+2.5=4.8$(时),
$10×4.8-25=23$(升).
故小张在加油站至少加23升油才能开回家.
解析
【分析】
本题是结合函数图像的行程类实际问题，解题时先明确横轴为时间、纵轴为离家距离，再分段分析图像：
(1) 纵轴最大值就是小张家到景区的距离；图像水平段对应距离不变，即在景区游玩的时段，用水平段终点时间减起点时间即可得游玩时长；
(2) 先算加油前的速度：8时到9.5时行驶了120千米，用路程除以时间得原速度；加油后速度增加20千米/时，剩余路程为200-120=80千米，用剩余路程除以新速度得加油后行驶的时间；9.5时到10.5时总时长1小时，减去行驶时间就是加油时间；
(3) 先算返程速度：15时到16时1小时行驶了200-120=80千米，用总路程200千米除以返程速度得返程总时间；计算全程总行驶时间，乘以每小时耗油量得总需油量，减去出发时的油量就是至少需要加的油量。
【解析】
(1) 观察图像可知，离家的最大距离为200千米，即小张家距离景区200千米；
在景区游玩的时间为水平段对应的时长：$15-10.5=4.5$（小时）。
(2) 加油前的行驶速度：$120÷(9.5-8)=80$（千米/时）
加油后行驶剩余路程的速度：$80+20=100$（千米/时）
加油后行驶的时间：$\dfrac{200-120}{100}=0.8$（时）
加油时长：$10.5-9.5-0.8=0.2$（时）。
(3) 返程的速度：$\dfrac{200-120}{16-15}=80$（千米/时）
返程总时间：$200÷80=2.5$（时）
全程总行驶时间：$(9.5-8)+0.8+2.5=4.8$（时）
全程总耗油量：$10×4.8=48$（升）
需要加油的量：$48-25=23$（升）。
【答案】
(1) $\boxed{200}$；$\boxed{4.5}$
(2) 加油共用了$\boxed{0.2}$小时
(3) 至少加$\boxed{23}$升油才能开回家
【知识点】
函数图像应用，行程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合实际出行场景，考查学生从函数图像提取信息的能力，需要学生熟练运用行程公式分析各段路程、速度、时间的关系，解题时要注意区分行驶、停留、加油等不同时段，避免混淆时间段导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是结合函数图像的行程类实际问题，解题时先明确横轴为时间、纵轴为离家距离，再分段分析图像：
(1) 纵轴最大值就是小张家到景区的距离；图像水平段对应距离不变，即在景区游玩的时段，用水平段终点时间减起点时间即可得游玩时长；
(2) 先算加油前的速度：8时到9.5时行驶了120千米，用路程除以时间得原速度；加油后速度增加20千米/时，剩余路程为200-120=80千米，用剩余路程除以新速度得加油后行驶的时间；9.5时到10.5时总时长1小时，减去行驶时间就是加油时间；
(3) 先算返程速度：15时到16时1小时行驶了200-120=80千米，用总路程200千米除以返程速度得返程总时间；计算全程总行驶时间，乘以每小时耗油量得总需油量，减去出发时的油量就是至少需要加的油量。
【解析】
(1) 观察图像可知，离家的最大距离为200千米，即小张家距离景区200千米；
在景区游玩的时间为水平段对应的时长：$15-10.5=4.5$（小时）。
(2) 加油前的行驶速度：$120÷(9.5-8)=80$（千米/时）
加油后行驶剩余路程的速度：$80+20=100$（千米/时）
加油后行驶的时间：$\dfrac{200-120}{100}=0.8$（时）
加油时长：$10.5-9.5-0.8=0.2$（时）。
(3) 返程的速度：$\dfrac{200-120}{16-15}=80$（千米/时）
返程总时间：$200÷80=2.5$（时）
全程总行驶时间：$(9.5-8)+0.8+2.5=4.8$（时）
全程总耗油量：$10×4.8=48$（升）
需要加油的量：$48-25=23$（升）。
【答案】
(1) $\boxed{200}$；$\boxed{4.5}$
(2) 加油共用了$\boxed{0.2}$小时
(3) 至少加$\boxed{23}$升油才能开回家
【知识点】
函数图像应用，行程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合实际出行场景，考查学生从函数图像提取信息的能力，需要学生熟练运用行程公式分析各段路程、速度、时间的关系，解题时要注意区分行驶、停留、加油等不同时段，避免混淆时间段导致计算错误。
【难度系数】
0.7
