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8. 如图,规格相同的某种盘子整齐地摞在一起,若这摞盘子的个数为x,盘子摞在一起的高度为y cm,则y与x之间满足的关系式是
$y=x+2$
.答案
8.$y=x+2$
解析
【分析】
本题是实际场景下的一次函数应用问题，解题思路如下：第一步先从图中提取两组对应数据：4个盘子摞放时高度为6cm，7个盘子摞放时高度为9cm；第二步因为高度随盘子个数均匀增加，可知y是x的一次函数，设解析式为y=kx+b（k≠0）；第三步将两组数据代入解析式，解方程组求出k、b的值，即可得到y与x的关系式。
【解析】
观察图形可得：当盘子个数$x=4$时，摞放高度$y=6\mathrm{cm}$；当$x=7$时，摞放高度$y=9\mathrm{cm}$。
由于每增加1个盘子，高度的增量相同，因此$y$与$x$满足一次函数关系，设$y=kx+b$（$k\ne0$）。
将$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$和$\begin{cases}x=7\\y=9\end{cases}$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4k + b = 6 \\7k + b = 9 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$4k+b=6$，得$4×1 + b=6$，解得$b=2$。
因此$y$与$x$之间的关系式为$y=x+2$。
【答案】
$y=x+2$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合生活场景考查信息提取和一次函数的应用能力，解题关键是准确找到两组自变量与函数的对应值代入求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题是实际场景下的一次函数应用问题，解题思路如下：第一步先从图中提取两组对应数据：4个盘子摞放时高度为6cm，7个盘子摞放时高度为9cm；第二步因为高度随盘子个数均匀增加，可知y是x的一次函数，设解析式为y=kx+b（k≠0）；第三步将两组数据代入解析式，解方程组求出k、b的值，即可得到y与x的关系式。
【解析】
观察图形可得：当盘子个数$x=4$时，摞放高度$y=6\mathrm{cm}$；当$x=7$时，摞放高度$y=9\mathrm{cm}$。
由于每增加1个盘子，高度的增量相同，因此$y$与$x$满足一次函数关系，设$y=kx+b$（$k\ne0$）。
将$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$和$\begin{cases}x=7\\y=9\end{cases}$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4k + b = 6 \\7k + b = 9 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$4k+b=6$，得$4×1 + b=6$，解得$b=2$。
因此$y$与$x$之间的关系式为$y=x+2$。
【答案】
$y=x+2$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合生活场景考查信息提取和一次函数的应用能力，解题关键是准确找到两组自变量与函数的对应值代入求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
9. 如图,要围一个长方形菜园.菜园的一边利用足够长的墙,用24米长的篱笆围成另外三边,为了方便进出,在BC边上留了一个1米宽的小门.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的关系式是
$y=-\frac{1}{2}x+12.5$
.答案
9.$y=-\frac{1}{2}x+12.5$
解析
【分析】
首先明确篱笆所围的边为AB、BC、CD，长方形中AB=CD=y，BC长为x。注意BC边有1米宽的小门，这部分无需使用篱笆，因此BC段实际消耗的篱笆长度为(x-1)米。根据篱笆总长度为24米，可列出三边篱笆长度之和等于24的等量关系，再对等式变形整理即可得到y与x的关系式。
【解析】
∵ 菜园为长方形，
∴ AB=CD=y米，
∵ BC边上有1米宽的小门，无需围篱笆，
∴ 三边所用篱笆总长为：$AB + CD + (BC - 1) = 24$米，
代入对应长度可得：
$2y + (x - 1) = 24$
移项整理得：
$2y = 25 - x$
两边同时除以2，得：
$y = -\frac{1}{2}x + 12.5$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x+12.5$
【知识点】
列函数关系式，长方形的性质，实际问题等量关系
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数题，解题的易错点是容易忽略小门不用围篱笆，导致等量关系列错，准确梳理篱笆对应的边长即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确篱笆所围的边为AB、BC、CD，长方形中AB=CD=y，BC长为x。注意BC边有1米宽的小门，这部分无需使用篱笆，因此BC段实际消耗的篱笆长度为(x-1)米。根据篱笆总长度为24米，可列出三边篱笆长度之和等于24的等量关系，再对等式变形整理即可得到y与x的关系式。
【解析】
∵ 菜园为长方形，
∴ AB=CD=y米，
∵ BC边上有1米宽的小门，无需围篱笆，
∴ 三边所用篱笆总长为：$AB + CD + (BC - 1) = 24$米，
代入对应长度可得：
$2y + (x - 1) = 24$
移项整理得：
$2y = 25 - x$
两边同时除以2，得：
$y = -\frac{1}{2}x + 12.5$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x+12.5$
【知识点】
列函数关系式，长方形的性质，实际问题等量关系
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数题，解题的易错点是容易忽略小门不用围篱笆，导致等量关系列错，准确梳理篱笆对应的边长即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.物理实验证实:在弹性限度内,某弹簧长度$y$(cm)与所挂物体的质量$x$(kg)满足关系式$y=kx+15$.下表是测量物体质量时,该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
(1)求$y$与$x$的关系式;
(2)当弹簧长度为$20\ \mathrm{cm}$时,求所挂物体的质量.
(1)求$y$与$x$的关系式;
(2)当弹簧长度为$20\ \mathrm{cm}$时,求所挂物体的质量.
答案
10.解:(1)把$x=2,y=19$代入$y=kx+15$,
得$19=2k+15$,解得$k=2$,
所以$y$与$x$的关系式为$y=2x+15(x≥0)$.
(2)把$y=20$代入$y=2x+15$,得$20=2x+15$,
解得$x=2.5$.
故所挂物体的质量为2.5 kg.
得$19=2k+15$,解得$k=2$,
所以$y$与$x$的关系式为$y=2x+15(x≥0)$.
(2)把$y=20$代入$y=2x+15$,得$20=2x+15$,
解得$x=2.5$.
故所挂物体的质量为2.5 kg.
解析
【分析】
(1) 题目已给出y与x的关系式形式为$y=kx+15$，仅参数k未知，我们可以选取表格中一组x、y的非零对应值（如x=2，y=19）代入关系式，得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值，即可确定y与x的完整关系式，注意实际问题中所挂物体质量不能为负，需标注自变量x的取值范围。
(2) 第二问已知弹簧长度即函数值y=20cm，将其代入第一问求出的函数关系式，解一元一次方程得到对应的x值，就是所挂物体的质量。
【解析】
(1) 将$x=2$，$y=19$代入$y=kx+15$，可得：
$19=2k+15$
移项计算得$2k=4$，解得$k=2$。
由于所挂物体质量不能为负数，因此$y$与$x$的关系式为$y=2x+15\ (x≥0)$。
(2) 当$y=20$时，将其代入$y=2x+15$，可得：
$20=2x+15$
移项计算得$2x=5$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+15(x≥0)}$
(2) $\boldsymbol{2.5\ \mathrm{kg}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；代入法求值
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用题，核心考查待定系数法求函数解析式，以及已知函数值求对应自变量的方法，解题时需注意结合实际情况确定自变量的取值范围，整体解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
(1) 题目已给出y与x的关系式形式为$y=kx+15$，仅参数k未知，我们可以选取表格中一组x、y的非零对应值（如x=2，y=19）代入关系式，得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值，即可确定y与x的完整关系式，注意实际问题中所挂物体质量不能为负，需标注自变量x的取值范围。
(2) 第二问已知弹簧长度即函数值y=20cm，将其代入第一问求出的函数关系式，解一元一次方程得到对应的x值，就是所挂物体的质量。
【解析】
(1) 将$x=2$，$y=19$代入$y=kx+15$，可得：
$19=2k+15$
移项计算得$2k=4$，解得$k=2$。
由于所挂物体质量不能为负数，因此$y$与$x$的关系式为$y=2x+15\ (x≥0)$。
(2) 当$y=20$时，将其代入$y=2x+15$，可得：
$20=2x+15$
移项计算得$2x=5$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+15(x≥0)}$
(2) $\boldsymbol{2.5\ \mathrm{kg}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；代入法求值
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用题，核心考查待定系数法求函数解析式，以及已知函数值求对应自变量的方法，解题时需注意结合实际情况确定自变量的取值范围，整体解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
11. 观察如图所示的图形，解答问题.
(1)若第$ n $（$ n $为正整数，从上往下数）行白球与黑球的总数记作$ y $，求$ y $与$ n $的关系式；
(2)求第2026行白球和黑球的总数.
(1)若第$ n $（$ n $为正整数，从上往下数）行白球与黑球的总数记作$ y $，求$ y $与$ n $的关系式；
(2)求第2026行白球和黑球的总数.
答案
11.解:(1)第$n$行白球数为$n$,黑球数为$2n-1$,
所以$y$与$n$的关系式为$y=n+2n-1$,即$y=3n-1$.
(2)第2026行白球和黑球的总数为$3×2026-1=6077$.
所以$y$与$n$的关系式为$y=n+2n-1$,即$y=3n-1$.
(2)第2026行白球和黑球的总数为$3×2026-1=6077$.
解析
【分析】
我们可以先观察前几行的白球、黑球数量和行数n的对应关系：第1行（n=1）白球有1个，黑球有1个；第2行（n=2）白球有2个，黑球有3个；第3行（n=3）白球有3个，黑球有5个；第4行（n=4）白球有4个，黑球有7个。可以发现规律：第n行的白球数量等于行数n，黑球数量是2n-1，总数y就是白球数加黑球数，整理就能得到y和n的关系式；第二问直接把n=2026代入第一问得到的关系式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形可得：
第n行的白球数量为n个，
第n行的黑球数量为$(2n-1)$个，
因此总数$y$为白球数与黑球数的和，即：
$y = n + (2n - 1)$
整理得：$y=3n-1$（$n$为正整数）。
(2) 把$n=2026$代入$y=3n-1$中：
$y=3× 2026 -1=6078-1=6077$
【答案】
(1) $y=3n-1$（$n$为正整数）；(2) $6077$
【知识点】
图形规律探究，列函数关系式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察图形中每行黑白球的数量特征，建立数量与行数的对应关系，进而得到函数表达式，再代入求值，解题时可以先验证前几行的规律是否成立，避免找错规律。
【难度系数】
0.8
我们可以先观察前几行的白球、黑球数量和行数n的对应关系：第1行（n=1）白球有1个，黑球有1个；第2行（n=2）白球有2个，黑球有3个；第3行（n=3）白球有3个，黑球有5个；第4行（n=4）白球有4个，黑球有7个。可以发现规律：第n行的白球数量等于行数n，黑球数量是2n-1，总数y就是白球数加黑球数，整理就能得到y和n的关系式；第二问直接把n=2026代入第一问得到的关系式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形可得：
第n行的白球数量为n个，
第n行的黑球数量为$(2n-1)$个，
因此总数$y$为白球数与黑球数的和，即：
$y = n + (2n - 1)$
整理得：$y=3n-1$（$n$为正整数）。
(2) 把$n=2026$代入$y=3n-1$中：
$y=3× 2026 -1=6078-1=6077$
【答案】
(1) $y=3n-1$（$n$为正整数）；(2) $6077$
【知识点】
图形规律探究，列函数关系式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察图形中每行黑白球的数量特征，建立数量与行数的对应关系，进而得到函数表达式，再代入求值，解题时可以先验证前几行的规律是否成立，避免找错规律。
【难度系数】
0.8
12. 如图,正方形ABCD的边长为4 cm,E,F分别是BC,CD边上的动点,点E,F同时从点C出发,以2 cm/s的速度分别向点B,D运动,当点E与点B重合时,两点均停止运动.设运动时间为x s,运动过程中$△ AEF$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,求y与x的关系式,并写出自变量x的取值范围.
答案
12.解:由题意,得$CE=2x$ cm,$CF=2x$ cm,$BE=(4-2x)$cm,$DF=(4-2x)$cm,
$\therefore S_{△ AEF}=S_{正方形ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}=16-\frac{1}{2}AB· BE-\frac{1}{2}AD· DF-\frac{1}{2}EC· FC=16-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×2x×2x=-2x^2+8x$,
即$y=-2x^2+8x(0＜x≤2)$.
$\therefore S_{△ AEF}=S_{正方形ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}=16-\frac{1}{2}AB· BE-\frac{1}{2}AD· DF-\frac{1}{2}EC· FC=16-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×2x×2x=-2x^2+8x$,
即$y=-2x^2+8x(0＜x≤2)$.
解析
【分析】
要求△AEF的面积，直接利用三角形面积公式计算较复杂，可采用割补法：用正方形ABCD的总面积减去△ABE、△ADF、△ECF这三个直角三角形的面积即可。首先根据点E、F的运动速度和运动时间x，先表示出CE、CF、BE、DF的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后推导y与x的关系式，再根据点E的运动终点确定x的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，点E、F的运动速度均为2cm/s，运动时间为x s，
∴ $CE=2x$ cm，$CF=2x$ cm，
∵ 正方形边长为4cm，
∴ $BE=BC-CE=(4-2x)$ cm，$DF=CD-CF=(4-2x)$ cm，
正方形ABCD的面积为$4×4=16\ \mathrm{cm}^2$。
根据割补法可得：
$S_{△ AEF}=S_{正方形ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}$
代入各图形面积公式计算：
$y=16-\frac{1}{2}×AB×BE-\frac{1}{2}×AD×DF-\frac{1}{2}×EC×FC$
$=16-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×2x×2x$
$=-2x^2+8x$
当点E与B重合时，运动停止，此时$CE=4\mathrm{cm}$，对应时间$x=4÷2=2\mathrm{s}$，且运动时间x大于0，故x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
$y=-2x^2+8x(0＜x≤2)$
【知识点】
割补法求面积、动点问题、函数解析式
【点评】
本题考查了图形面积与动点结合的问题，核心解题思路是利用割补法将不规则三角形的面积转化为多个规则图形面积的和差，计算时要注意准确表示各线段的长度，同时要结合动点的运动边界正确确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要求△AEF的面积，直接利用三角形面积公式计算较复杂，可采用割补法：用正方形ABCD的总面积减去△ABE、△ADF、△ECF这三个直角三角形的面积即可。首先根据点E、F的运动速度和运动时间x，先表示出CE、CF、BE、DF的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后推导y与x的关系式，再根据点E的运动终点确定x的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，点E、F的运动速度均为2cm/s，运动时间为x s，
∴ $CE=2x$ cm，$CF=2x$ cm，
∵ 正方形边长为4cm，
∴ $BE=BC-CE=(4-2x)$ cm，$DF=CD-CF=(4-2x)$ cm，
正方形ABCD的面积为$4×4=16\ \mathrm{cm}^2$。
根据割补法可得：
$S_{△ AEF}=S_{正方形ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ADF}-S_{△ ECF}$
代入各图形面积公式计算：
$y=16-\frac{1}{2}×AB×BE-\frac{1}{2}×AD×DF-\frac{1}{2}×EC×FC$
$=16-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×4×(4-2x)-\frac{1}{2}×2x×2x$
$=-2x^2+8x$
当点E与B重合时，运动停止，此时$CE=4\mathrm{cm}$，对应时间$x=4÷2=2\mathrm{s}$，且运动时间x大于0，故x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
$y=-2x^2+8x(0＜x≤2)$
【知识点】
割补法求面积、动点问题、函数解析式
【点评】
本题考查了图形面积与动点结合的问题，核心解题思路是利用割补法将不规则三角形的面积转化为多个规则图形面积的和差，计算时要注意准确表示各线段的长度，同时要结合动点的运动边界正确确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
