2. 综合与实践
生活中的数学:如何确定单肩包的最佳背带长度?
素材1:如图1是一款单肩包,背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,使背带的总长度加长或缩短.总长度为单层部分与双层部分的长度和,其中调节扣的长度忽略不计.
素材2:对该款单肩包的背带长度进行测量,设双层部分的长度是x cm,单层部分的长度是y cm,得到几组数据如下表所示.

素材3:单肩包的最佳背带总长度与身高的比为2:3.
素材4:小明爸爸准备购买此款单肩包.爸爸自然站立,将该单肩包的背带调节到最短提在手上(背带的倾斜忽略不计),背带的悬挂点离地面的高度为53.5 cm;已知爸爸的臂展和身高一样,且肩宽为38 cm,头顶到肩膀的垂直高度为身高的$\frac{1}{8}$.
请根据以上素材,解答下列问题:
(1)如图2,在平面直角坐标系中,以所测得数据中的x为横坐标,y为纵坐标,描出所表示的点,并用光滑曲线连结;根据图象思考y与x之间的函数解析式,并求出x的取值范围.
(2)设人的身高为h,当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数解析式.
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时双层部分的长度.

2. (1)描点并作图,如图所示:

根据图象可知,变量x,y满足一次函数关系.
设$y=kx+b(k,b$为常数,且$k≠0)$,
将$x=2,y=116$和$x=10,y=100$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}2k+b=116,\\10k+b=100.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=120.\end{cases}$
∴ $y=-2x+120$.
当背带都为单层部分时,$x=0$;
当背带都为双层部分时,$y=0$,即$-2x+120=0$,解得$x=60$.
∴ $x$的取值范围是$0≤x≤60$.
(2)
∵ 背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和,
∴ 背带的总长度为$x+y=x-2x+120=-x+120$.
当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时,$\frac{-x+120}{h}=\frac{2}{3}$,
∴ $h=-\frac{3}{2}x+180(0≤x≤60)$.
(3)由素材可知,当背包的背带调节到最短时都为双层部分,即$x=60,y=0$.
∵ 背包提在手上,且背包的悬挂点离地面高度为53.5 cm,
∴ 手到地面的距离为$\frac{60}{2}+53.5=83.5(\mathrm{cm})$.
设小明爸爸的身高为$h'$ cm.
∵ 臂展和身高一样,且肩宽为38 cm,
∴ 小明爸爸一条胳膊的长度为$\frac{h'-38}{2}$cm,
∴ $\frac{1}{8}h'+\frac{h'-38}{2}+83.5=h'$.
解得$h'=172$.
根据(2),得$172=-\frac{3}{2}x+180$.
解得$x=\frac{16}{3}$.
∴ 此时双层部分的长度为$\frac{16}{3}$cm.