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1. 下列判断正确的是 （
A.若$a,b,c$分别是直角三角形的三边长，则必有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.直角三角形中任意两条边的平方和等于第三边的平方
C.在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，边$BC,CA,AB$的长分别是$a,b,c$，则有$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
D.在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则有$b^{2}+c^{2}=a^{2}$
D
）A.若$a,b,c$分别是直角三角形的三边长，则必有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.直角三角形中任意两条边的平方和等于第三边的平方
C.在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，边$BC,CA,AB$的长分别是$a,b,c$，则有$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
D.在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则有$b^{2}+c^{2}=a^{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查勾股定理的正确应用，解题核心是明确勾股定理的适用条件：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，其中斜边是直角所对的边，是三角形中最长的边。解题时需逐个分析选项，先判断每个选项中是否明确了斜边，再验证等式是否符合勾股定理即可。
【解析】
首先明确勾股定理内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边（直角所对的边）的平方。我们逐个分析选项：
选项A：未说明c是直角对应的斜边，若c为直角边，$a^2+b^2=c^2$不成立，因此A错误。
选项B：不是任意两条边的平方和等于第三边，只有两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此B错误。
选项C：$Rt△ ABC$中$∠ B=90°$，则$∠ B$对应的边AC（即边长b）是斜边，正确的等式应为$a^2+c^2=b^2$，因此C错误。
选项D：$Rt△ ABC$中$∠ A=90°$，则$∠ A$对应的边a是斜边，b、c为两条直角边，满足$b^2+c^2=a^2$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是勾股定理的基础概念考查题，易错点是应用勾股定理时未明确直角对应的斜边，盲目套用固定公式，解题时要先确定直角，再找到对应的斜边，最后验证式子是否符合勾股定理。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的正确应用，解题核心是明确勾股定理的适用条件：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，其中斜边是直角所对的边，是三角形中最长的边。解题时需逐个分析选项，先判断每个选项中是否明确了斜边，再验证等式是否符合勾股定理即可。
【解析】
首先明确勾股定理内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边（直角所对的边）的平方。我们逐个分析选项：
选项A：未说明c是直角对应的斜边，若c为直角边，$a^2+b^2=c^2$不成立，因此A错误。
选项B：不是任意两条边的平方和等于第三边，只有两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此B错误。
选项C：$Rt△ ABC$中$∠ B=90°$，则$∠ B$对应的边AC（即边长b）是斜边，正确的等式应为$a^2+c^2=b^2$，因此C错误。
选项D：$Rt△ ABC$中$∠ A=90°$，则$∠ A$对应的边a是斜边，b、c为两条直角边，满足$b^2+c^2=a^2$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是勾股定理的基础概念考查题，易错点是应用勾股定理时未明确直角对应的斜边，盲目套用固定公式，解题时要先确定直角，再找到对应的斜边，最后验证式子是否符合勾股定理。
【难度系数】
0.8
2. 下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 （
D
）答案
2.D
解析
【分析】
要判断图形能否证明勾股定理，核心是看能否通过等积法（面积的两种不同表示方法）建立包含直角边a、b和斜边c的等式，最终化简得到$a^2+b^2=c^2$。我们逐个分析四个选项的图形：首先确认图形是否同时出现a、b、c三个量，再推导面积等式是否能得到勾股定理的形式即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：是赵爽弦图。大正方形边长为c，面积为$c^2$；同时大正方形面积也等于4个直角边为a、b的直角三角形面积，加上中间边长为(b-a)的小正方形面积，列式得：
$ c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2 $化简右边：$2ab + b^2 -2ab +a^2=a^2+b^2$，即$c^2=a^2+b^2$，可以证明勾股定理，排除A。选项B：是总统证法的梯形模型。梯形上底为a、下底为b、高为(a+b)，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；同时梯形面积也等于2个直角边为a、b的直角三角形面积，加上1个直角边为c的等腰直角三角形面积，列式得：$ \frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2化简得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去2ab后得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，排除B。
选项C：拼接图形的面积可以表示为边长为a、b的两个正方形面积加2个直角三角形面积，即$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$；也可以表示为边长为c的正方形面积加2个同样的直角三角形面积，即$c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$。联立得：
$ a^2+b^2+ab=c^2+ab $消去ab得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，排除C。选项D：大正方形边长为(a+b)，面积为$(a+b)^2$，也等于2个小正方形（边长a、b）加2个长为b、宽为a的长方形面积，列式得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这是完全平方和公式的几何模型，整个图形未出现斜边c，无法推导得到勾股定理的结论，因此不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，等积法，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的证明思路，核心是通过面积的不同表示方法建立等量关系，需要熟悉勾股定理证明的经典模型，同时能区分勾股定理与整式乘法公式的几何表示。
【难度系数】
0.7
要判断图形能否证明勾股定理，核心是看能否通过等积法（面积的两种不同表示方法）建立包含直角边a、b和斜边c的等式，最终化简得到$a^2+b^2=c^2$。我们逐个分析四个选项的图形：首先确认图形是否同时出现a、b、c三个量，再推导面积等式是否能得到勾股定理的形式即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：是赵爽弦图。大正方形边长为c，面积为$c^2$；同时大正方形面积也等于4个直角边为a、b的直角三角形面积，加上中间边长为(b-a)的小正方形面积，列式得：
$ c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2 $化简右边：$2ab + b^2 -2ab +a^2=a^2+b^2$，即$c^2=a^2+b^2$，可以证明勾股定理，排除A。选项B：是总统证法的梯形模型。梯形上底为a、下底为b、高为(a+b)，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；同时梯形面积也等于2个直角边为a、b的直角三角形面积，加上1个直角边为c的等腰直角三角形面积，列式得：$ \frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2化简得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去2ab后得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，排除B。
选项C：拼接图形的面积可以表示为边长为a、b的两个正方形面积加2个直角三角形面积，即$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$；也可以表示为边长为c的正方形面积加2个同样的直角三角形面积，即$c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$。联立得：
$ a^2+b^2+ab=c^2+ab $消去ab得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，排除C。选项D：大正方形边长为(a+b)，面积为$(a+b)^2$，也等于2个小正方形（边长a、b）加2个长为b、宽为a的长方形面积，列式得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这是完全平方和公式的几何模型，整个图形未出现斜边c，无法推导得到勾股定理的结论，因此不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，等积法，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的证明思路，核心是通过面积的不同表示方法建立等量关系，需要熟悉勾股定理证明的经典模型，同时能区分勾股定理与整式乘法公式的几何表示。
【难度系数】
0.7
3. [2025·六安裕安区期末]如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,但他们仅仅少走了（
A.5 m
B.4 m
C.3 m
D.2 m
D
）A.5 m
B.4 m
C.3 m
D.2 m
答案
3.D
解析
【分析】
要计算少走的路程，需先分别求出沿拐角行走的路程和走“捷径”的路程，再求两者的差值。首先沿拐角走的路程是两条直角边的长度之和；再利用勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就是“捷径”的长度；最后将两段路程作差即可得到结果。
【解析】
首先计算沿拐角行走的总路程：$ 3 + 4 = 7\ \mathrm{m} $。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长满足 $ c^2 = a^2 + b^2 $，代入两条直角边长度3m和4m，可得“捷径”的长度为：
$ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} $。
则少走的路程为：$ 7 - 5 = 2\ \mathrm{m} $。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，路程差计算
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查基础知识点，解题的核心是正确运用勾股定理求出斜边长度，再通过简单的减法运算即可得到答案。
【难度系数】
0.8
要计算少走的路程，需先分别求出沿拐角行走的路程和走“捷径”的路程，再求两者的差值。首先沿拐角走的路程是两条直角边的长度之和；再利用勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就是“捷径”的长度；最后将两段路程作差即可得到结果。
【解析】
首先计算沿拐角行走的总路程：$ 3 + 4 = 7\ \mathrm{m} $。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长满足 $ c^2 = a^2 + b^2 $，代入两条直角边长度3m和4m，可得“捷径”的长度为：
$ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} $。
则少走的路程为：$ 7 - 5 = 2\ \mathrm{m} $。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，路程差计算
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查基础知识点，解题的核心是正确运用勾股定理求出斜边长度，再通过简单的减法运算即可得到答案。
【难度系数】
0.8
4. [新课标·数学文化题]勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即$c=\sqrt{a^2 + b^2}$（$a$为勾，$b$为股，$c$为弦）。若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是________。
答案
4.3
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的勾股定理弦长公式，明确已知量为“勾”a=1、“股”b=3，待求量是弦c的长度对应的最接近整数。第一步先将a、b的值代入公式得到c的表达式，第二步通过估算该无理数的大小范围，对比它和相邻两个整数的距离，就能判断出最接近的整数。
【解析】
已知“勾”$a=1$，“股”$b=3$，根据题干给出的弦长公式：
$c=\sqrt{a^2 + b^2}$
代入数值计算：
$c=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，可得$3＜\sqrt{10}＜4$；
进一步计算得$3.2^2=10.24$，$3.1^2=9.61$，可知$\sqrt{10}\approx3.16$，和整数3的差值更小，因此最接近的整数是3。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理、无理数的估算
【点评】
本题结合传统数学文化背景，考查勾股定理的基础应用和无理数大小估算能力，解题关键是准确代入公式、正确判断无理数的近似范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的勾股定理弦长公式，明确已知量为“勾”a=1、“股”b=3，待求量是弦c的长度对应的最接近整数。第一步先将a、b的值代入公式得到c的表达式，第二步通过估算该无理数的大小范围，对比它和相邻两个整数的距离，就能判断出最接近的整数。
【解析】
已知“勾”$a=1$，“股”$b=3$，根据题干给出的弦长公式：
$c=\sqrt{a^2 + b^2}$
代入数值计算：
$c=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，可得$3＜\sqrt{10}＜4$；
进一步计算得$3.2^2=10.24$，$3.1^2=9.61$，可知$\sqrt{10}\approx3.16$，和整数3的差值更小，因此最接近的整数是3。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理、无理数的估算
【点评】
本题结合传统数学文化背景，考查勾股定理的基础应用和无理数大小估算能力，解题关键是准确代入公式、正确判断无理数的近似范围。
【难度系数】
0.8
5. 如图,网格中每个小正方形的边长都为 1,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交网格线于点 D,则 $ED=$
$\sqrt{5}$
.答案
5.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由同圆的半径相等，可得AD=AB，先通过网格数出AB、AE的长度；再观察到△AED是直角三角形，满足勾股定理的使用条件，最后代入勾股公式计算即可求出ED的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵ 弧BD是以A为圆心，AB长为半径画出的，
∴ AD = AB，
由网格中每个小正方形边长为1，可得AB=3，AE=2，且∠E=90°，
∴ △AED是直角三角形，
在Rt△AED中，根据勾股定理得：
$AE^2 + ED^2 = AD^2$，
将AE=2，AD=AB=3代入得：
$2^2 + ED^2 = 3^2$，
即$4 + ED^2 = 9$，
解得$ED^2=5$，
∵ ED为线段长度，大于0，
∴ $ED=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，同圆半径相等
【点评】
本题是勾股定理在网格中的典型应用，解题的核心是找到相等的线段AD和AB，再结合直角三角形的性质计算，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由同圆的半径相等，可得AD=AB，先通过网格数出AB、AE的长度；再观察到△AED是直角三角形，满足勾股定理的使用条件，最后代入勾股公式计算即可求出ED的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵ 弧BD是以A为圆心，AB长为半径画出的，
∴ AD = AB，
由网格中每个小正方形边长为1，可得AB=3，AE=2，且∠E=90°，
∴ △AED是直角三角形，
在Rt△AED中，根据勾股定理得：
$AE^2 + ED^2 = AD^2$，
将AE=2，AD=AB=3代入得：
$2^2 + ED^2 = 3^2$，
即$4 + ED^2 = 9$，
解得$ED^2=5$，
∵ ED为线段长度，大于0，
∴ $ED=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，同圆半径相等
【点评】
本题是勾股定理在网格中的典型应用，解题的核心是找到相等的线段AD和AB，再结合直角三角形的性质计算，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
6. [2025·阜阳临泉校级期中]如图,该衣架可以近似地看成一个等腰三角形$ABC$,其中$AB=AC$,$AD⊥ BC$于点$D$.若$AC=20\ \mathrm{cm}$,$∠ C=30°$,则$BC$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
6.$20\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：等腰△ABC中AD是底边上的高，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得D是BC的中点，即BC=2CD，将求BC的问题转化为求直角△ADC中CD的长度；再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AD的长；最后用勾股定理计算CD的长，乘2即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得D为BC的中点，即$BC=2CD$，且$∠ADC=90°$。
在$Rt△ADC$中，$∠C=30°$，$AC=20\ \mathrm{cm}$，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=2CD=2×10\sqrt{3}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考查三角形相关性质的应用，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质完成边长的转化，再结合直角三角形的性质和勾股定理计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：等腰△ABC中AD是底边上的高，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得D是BC的中点，即BC=2CD，将求BC的问题转化为求直角△ADC中CD的长度；再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AD的长；最后用勾股定理计算CD的长，乘2即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得D为BC的中点，即$BC=2CD$，且$∠ADC=90°$。
在$Rt△ADC$中，$∠C=30°$，$AC=20\ \mathrm{cm}$，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=2CD=2×10\sqrt{3}=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考查三角形相关性质的应用，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质完成边长的转化，再结合直角三角形的性质和勾股定理计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
