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7. 一艘轮船以 24 n mile/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以 18 n mile/h 的速度向西北方向航行，它们离开港口 2.5 h 后相距多少海里？
答案
7.解:它们离开港口 2.5 h 后相距 75 n mile.
解析
【分析】
解题时首先要明确方向角的含义：东北方向是北偏东45°，西北方向是北偏西45°，因此两艘轮船的航行路线夹角为90°，即两艘船行驶的路程与两船的距离恰好构成直角三角形的两条直角边和斜边。接下来先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船行驶的路程，再代入勾股定理计算斜边长度，就能得到两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘轮船2.5小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶路程：$24 × 2.5 = 60 \, \mathrm{n mile}$
向西北方向航行的轮船行驶路程：$18 × 2.5 = 45 \, \mathrm{n mile}$
∵ 东北方向与西北方向的夹角为$90°$
∴ 两艘船的行驶路线和两船间距构成直角三角形，两船间距为该直角三角形的斜边
根据勾股定理，两船相距：
$\sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75 \, \mathrm{n mile}$
【答案】
它们离开港口2.5 h后相距75 n mile。
【知识点】
勾股定理，方向角识别，路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是结合方向角的特征判断出直角三角形的结构，再结合基础的行程公式即可求解，注重考查学生将实际问题转化为数学几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确方向角的含义：东北方向是北偏东45°，西北方向是北偏西45°，因此两艘轮船的航行路线夹角为90°，即两艘船行驶的路程与两船的距离恰好构成直角三角形的两条直角边和斜边。接下来先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船行驶的路程，再代入勾股定理计算斜边长度，就能得到两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘轮船2.5小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶路程：$24 × 2.5 = 60 \, \mathrm{n mile}$
向西北方向航行的轮船行驶路程：$18 × 2.5 = 45 \, \mathrm{n mile}$
∵ 东北方向与西北方向的夹角为$90°$
∴ 两艘船的行驶路线和两船间距构成直角三角形，两船间距为该直角三角形的斜边
根据勾股定理，两船相距：
$\sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75 \, \mathrm{n mile}$
【答案】
它们离开港口2.5 h后相距75 n mile。
【知识点】
勾股定理，方向角识别，路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是结合方向角的特征判断出直角三角形的结构，再结合基础的行程公式即可求解，注重考查学生将实际问题转化为数学几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$4×4$方格纸上，每个小正方形的边长都为1.
(1)在方格纸上画一个面积为8的正方形(四个顶点都在网格线的交点上)；
(2)用圆规在数轴上找出表示$\sqrt{8}$的点(保留作图痕迹).
(1)在方格纸上画一个面积为8的正方形(四个顶点都在网格线的交点上)；
(2)用圆规在数轴上找出表示$\sqrt{8}$的点(保留作图痕迹).
答案
解：
(1) 取方格纸上四个网格交点：$(-2,0)$、$(0,2)$、$(2,0)$、$(0,-2)$，顺次连接这四个点，所得正方形即为面积为8的正方形（边长为$\sqrt{(0-(-2))^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}$，面积为$(\sqrt{8})^2=8$）。
(2) 以数轴原点为圆心，上述正方形的边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点，保留作图痕迹。
(1) 取方格纸上四个网格交点：$(-2,0)$、$(0,2)$、$(2,0)$、$(0,-2)$，顺次连接这四个点，所得正方形即为面积为8的正方形（边长为$\sqrt{(0-(-2))^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}$，面积为$(\sqrt{8})^2=8$）。
(2) 以数轴原点为圆心，上述正方形的边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点，保留作图痕迹。
解析
【分析】
解决第(1)问时，先由正方形面积公式反推：面积为8的正方形，边长为√8。再结合勾股定理思考：√8=√(2²+2²)，即直角边为2的等腰直角三角形的斜边长为√8，我们可以以此长度为正方形边长，找到四个在网格交点上的顶点，顺次连接即可得到符合要求的正方形。解决第(2)问时，我们已经得到了长度为√8的线段，利用圆的半径相等的性质，以数轴原点为圆心、√8为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点到原点的距离就是√8，该点即为所求。
【解析】
(1) 选取方格纸上的四个网格交点：$(-2,0)$、$(0,2)$、$(2,0)$、$(0,-2)$，顺次连接这四个点。验证：该正方形的边长为$\sqrt{(0-(-2))^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}$，因此面积为$(\sqrt{8})^2=8$，符合要求。
(2) 将圆规的两脚张开，长度调整为上述正方形的边长（即$\sqrt{8}$），以数轴原点为圆心，该长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 顺次连接$(-2,0)$、$(0,2)$、$(2,0)$、$(0,-2)$四个点，所得正方形即为所求；
(2) 以原点为圆心，所画正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点。
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；数轴表示无理数
【点评】
本题结合网格和数轴两个载体，既考查了利用勾股定理构造指定长度线段的能力，也考查了尺规作图在数轴上表示无理数的方法，侧重对基础知识的灵活运用和作图能力的考察。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先由正方形面积公式反推：面积为8的正方形，边长为√8。再结合勾股定理思考：√8=√(2²+2²)，即直角边为2的等腰直角三角形的斜边长为√8，我们可以以此长度为正方形边长，找到四个在网格交点上的顶点，顺次连接即可得到符合要求的正方形。解决第(2)问时，我们已经得到了长度为√8的线段，利用圆的半径相等的性质，以数轴原点为圆心、√8为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点到原点的距离就是√8，该点即为所求。
【解析】
(1) 选取方格纸上的四个网格交点：$(-2,0)$、$(0,2)$、$(2,0)$、$(0,-2)$，顺次连接这四个点。验证：该正方形的边长为$\sqrt{(0-(-2))^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}$，因此面积为$(\sqrt{8})^2=8$，符合要求。
(2) 将圆规的两脚张开，长度调整为上述正方形的边长（即$\sqrt{8}$），以数轴原点为圆心，该长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 顺次连接$(-2,0)$、$(0,2)$、$(2,0)$、$(0,-2)$四个点，所得正方形即为所求；
(2) 以原点为圆心，所画正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点。
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；数轴表示无理数
【点评】
本题结合网格和数轴两个载体，既考查了利用勾股定理构造指定长度线段的能力，也考查了尺规作图在数轴上表示无理数的方法，侧重对基础知识的灵活运用和作图能力的考察。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$a,b,c$ 是正方形网格中的3条线段，它们的端点都在格点（网格线的交点）上，则关于 $a,b,c$ 的大小关系判断正确的是 （
A.$b＜a＜c$
B.$a＜b＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜c＜a$
B
）A.$b＜a＜c$
B.$a＜b＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜c＜a$
答案
9.B
解析
【分析】
要比较网格中三条线段的长度，可先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算三条线段长度的平方（线段长度均为正数，平方越大则对应线段越长，可避免开方计算，降低运算难度），再比较平方的大小即可得到三条线段的大小关系。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算三条线段的长度：
1. 线段$a$是直角边为1、2的直角三角形的斜边，因此$a^2=1^2+2^2=5$，即$a=\sqrt{5}$；
2. 线段$b$是直角边为2、2的直角三角形的斜边，因此$b^2=2^2+2^2=8$，即$b=\sqrt{8}$；
3. 线段$c$是直角边为3、1的直角三角形的斜边，因此$c^2=3^2+1^2=10$，即$c=\sqrt{10}$。
因为$5＜8＜10$，所以$\sqrt{5}＜\sqrt{8}＜\sqrt{10}$，即$a＜b＜c$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；无理数大小比较
【点评】
本题是网格类线段比较的典型基础题，核心思路是将网格中的斜线段转化为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算长度，通过比较平方的大小判断线段长度，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
要比较网格中三条线段的长度，可先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算三条线段长度的平方（线段长度均为正数，平方越大则对应线段越长，可避免开方计算，降低运算难度），再比较平方的大小即可得到三条线段的大小关系。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算三条线段的长度：
1. 线段$a$是直角边为1、2的直角三角形的斜边，因此$a^2=1^2+2^2=5$，即$a=\sqrt{5}$；
2. 线段$b$是直角边为2、2的直角三角形的斜边，因此$b^2=2^2+2^2=8$，即$b=\sqrt{8}$；
3. 线段$c$是直角边为3、1的直角三角形的斜边，因此$c^2=3^2+1^2=10$，即$c=\sqrt{10}$。
因为$5＜8＜10$，所以$\sqrt{5}＜\sqrt{8}＜\sqrt{10}$，即$a＜b＜c$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；无理数大小比较
【点评】
本题是网格类线段比较的典型基础题，核心思路是将网格中的斜线段转化为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算长度，通过比较平方的大小判断线段长度，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
10. [2025·安庆期末]如图,有一个圆柱形玻璃杯,高为 7 cm,底面周长为 16 cm,在杯内离杯底2 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁且离杯上沿 1 cm 与蜂蜜相对的点 A处,则蚂蚁到达蜂蜜点 C 处的最短路程为
（
A.8 cm
B.10 cm
C.$4\sqrt{5}$ cm
D.16 cm
（
B
）A.8 cm
B.10 cm
C.$4\sqrt{5}$ cm
D.16 cm
答案
10.B
解析
【分析】
本题是圆柱表面最短路径问题，解题思路清晰可分为三步：①曲面转平面：将圆柱侧面沿过A点的高剪开，展开为矩形，把曲面上的路径问题转化为平面内的路径问题；②路径转化：蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁需要先爬到杯口再进入内壁，因此作点A关于矩形上边缘（对应杯口）的对称点A'，根据两点之间线段最短，A到C的最短路径长度等于A'到C的线段长度；③勾股定理计算：确定A'和C在展开图中的水平、垂直距离，构造直角三角形用勾股定理算线段长即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点A的高展开，得到长为16cm、高为7cm的矩形。
1. 计算水平距离：A和C是圆柱上相对的点，因此展开后两点的水平距离为底面周长的一半，即$16÷2=8\mathrm{cm}$；
2. 计算垂直距离：作点A关于矩形上边缘的对称点$A'$，A离上沿1cm，因此$A'$离上沿也为1cm；C离杯底2cm，因此C离上沿的距离为$7-2=5\mathrm{cm}$，则$A'$与C的垂直距离为$1+5=6\mathrm{cm}$；
3. 由勾股定理计算最短路程：$A'C=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱侧面展开图，最短路径求解
【点评】
本题核心考查空间图形到平面图形的转化思想，易错点是忽略内外壁的限制，忘记作对称点直接连线计算，掌握曲面展开的方法和对称转化路径的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是圆柱表面最短路径问题，解题思路清晰可分为三步：①曲面转平面：将圆柱侧面沿过A点的高剪开，展开为矩形，把曲面上的路径问题转化为平面内的路径问题；②路径转化：蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，蚂蚁需要先爬到杯口再进入内壁，因此作点A关于矩形上边缘（对应杯口）的对称点A'，根据两点之间线段最短，A到C的最短路径长度等于A'到C的线段长度；③勾股定理计算：确定A'和C在展开图中的水平、垂直距离，构造直角三角形用勾股定理算线段长即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点A的高展开，得到长为16cm、高为7cm的矩形。
1. 计算水平距离：A和C是圆柱上相对的点，因此展开后两点的水平距离为底面周长的一半，即$16÷2=8\mathrm{cm}$；
2. 计算垂直距离：作点A关于矩形上边缘的对称点$A'$，A离上沿1cm，因此$A'$离上沿也为1cm；C离杯底2cm，因此C离上沿的距离为$7-2=5\mathrm{cm}$，则$A'$与C的垂直距离为$1+5=6\mathrm{cm}$；
3. 由勾股定理计算最短路程：$A'C=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱侧面展开图，最短路径求解
【点评】
本题核心考查空间图形到平面图形的转化思想，易错点是忽略内外壁的限制，忘记作对称点直接连线计算，掌握曲面展开的方法和对称转化路径的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
