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11. 如图, 以 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的三边为直径分别向外作半圆. 若斜边 $AB=3$, 则图中阴影部分的面积为 ______.
答案
11.$\frac{9}{4}π$
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察阴影的构成：阴影是分别以AC、BC、AB为直径的三个半圆的阴影部分之和。我们可以先根据圆的面积公式分别表示出三个半圆的面积，再结合直角三角形的勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$对面积表达式进行化简，不需要单独求解AC、BC的长度，直接代入已知的AB长度即可算出结果。
【解析】
设$Rt△ ABC$的直角边$AC=b$，$BC=a$，已知斜边$AB=c=3$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=3^2=9$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{π d^2}{8}$（$d$为直径），则三个半圆的面积分别为：
以AC为直径的半圆面积：$S_1=\frac{π b^2}{8}$
以BC为直径的半圆面积：$S_2=\frac{π a^2}{8}$
以AB为直径的半圆面积：$S_3=\frac{π c^2}{8}$
阴影部分面积为三个半圆面积之和：
$\begin{aligned}S_{阴}&=S_1+S_2+S_3\\&=\frac{π b^2}{8}+\frac{π a^2}{8}+\frac{π c^2}{8}\\&=\frac{π}{8}(a^2+b^2+c^2)\end{aligned}$
将$a^2+b^2=c^2$代入上式得：
$\begin{aligned}S_{阴}&=\frac{π}{8}(c^2+c^2)\\&=\frac{π}{8}×2c^2\\&=\frac{π c^2}{4}\end{aligned}$
代入$c=3$，得$S_{阴}=\frac{π×3^2}{4}=\frac{9}{4}π$。
【答案】
$\frac{9}{4}π$
【知识点】
勾股定理、圆的面积计算、整体代换思想
【点评】
本题将勾股定理与圆的面积计算结合考查，解题的核心是利用勾股定理对面积表达式进行整体化简，不需要单独求解两条直角边的长度，体现了整体代换的数学思想，能很好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的面积，首先观察阴影的构成：阴影是分别以AC、BC、AB为直径的三个半圆的阴影部分之和。我们可以先根据圆的面积公式分别表示出三个半圆的面积，再结合直角三角形的勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$对面积表达式进行化简，不需要单独求解AC、BC的长度，直接代入已知的AB长度即可算出结果。
【解析】
设$Rt△ ABC$的直角边$AC=b$，$BC=a$，已知斜边$AB=c=3$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=3^2=9$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{π d^2}{8}$（$d$为直径），则三个半圆的面积分别为：
以AC为直径的半圆面积：$S_1=\frac{π b^2}{8}$
以BC为直径的半圆面积：$S_2=\frac{π a^2}{8}$
以AB为直径的半圆面积：$S_3=\frac{π c^2}{8}$
阴影部分面积为三个半圆面积之和：
$\begin{aligned}S_{阴}&=S_1+S_2+S_3\\&=\frac{π b^2}{8}+\frac{π a^2}{8}+\frac{π c^2}{8}\\&=\frac{π}{8}(a^2+b^2+c^2)\end{aligned}$
将$a^2+b^2=c^2$代入上式得：
$\begin{aligned}S_{阴}&=\frac{π}{8}(c^2+c^2)\\&=\frac{π}{8}×2c^2\\&=\frac{π c^2}{4}\end{aligned}$
代入$c=3$，得$S_{阴}=\frac{π×3^2}{4}=\frac{9}{4}π$。
【答案】
$\frac{9}{4}π$
【知识点】
勾股定理、圆的面积计算、整体代换思想
【点评】
本题将勾股定理与圆的面积计算结合考查，解题的核心是利用勾股定理对面积表达式进行整体化简，不需要单独求解两条直角边的长度，体现了整体代换的数学思想，能很好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. [新课标·数学文化题]《九章算术》是古代东方数学的代表作，书中记载:今有开门去阃(读kǔn，门的意思)一尺，不合二，问门广几何？题目大意是:如图1,2(图2为图1的平面示意图，O是门槛AB的中点)，推开双门，双门间C，D两点的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，求门槛AB的长.
答案
12.解:过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于点 E. 由题意,得 $OA=OB=AD=BC$. 设 $OA=OB=AD=BC=r$ 寸,则 $AB=2r$ 寸,$DE=10$ 寸,$OE=\frac{1}{2}CD=1$ 寸,$\therefore AE=(r-1)$ 寸. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AE^2+DE^2=AD^2$,即 $(r-1)^2+10^2=r^2$,解得 $r=50.5$,$\therefore AB=2r=101$(寸),即门槛 $AB$ 的长为 101 寸.
解析
【分析】
本题是实际应用类问题，解题时先将实际问题转化为几何模型：首先双门对称，单扇门的宽度（OA、OB、AD、BC）长度相等，我们可以设单扇门宽为r寸，再利用CD的长度得到D点到AB中点O的水平距离，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求出r，最后计算门槛AB的长度即可，解题时需注意先统一单位。
【解析】
首先统一单位：1尺=10寸。
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，由题意可知$OA=OB=AD=BC$。
设$OA=OB=AD=BC=r$寸，则$AB=2r$寸，$DE=10$寸，
由双门对称可得$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，因此$AE=OA-OE=(r-1)$寸。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理：$AE^2+DE^2=AD^2$，
代入得：$(r-1)^2+10^2=r^2$，
展开计算：$r^2-2r+1+100=r^2$，
化简得：$-2r+101=0$，解得$r=50.5$，
因此$AB=2r=2×50.5=101$寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理，轴对称性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合古代数学名著的内容出题，既考查了勾股定理的实际应用，也体现了数学文化的传承。解题的核心是通过对称性质梳理各线段的数量关系，构造直角三角形后利用勾股定理建立方程求解，解题时要注意单位统一，避免因单位不一致出错。
【难度系数】
0.7
本题是实际应用类问题，解题时先将实际问题转化为几何模型：首先双门对称，单扇门的宽度（OA、OB、AD、BC）长度相等，我们可以设单扇门宽为r寸，再利用CD的长度得到D点到AB中点O的水平距离，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求出r，最后计算门槛AB的长度即可，解题时需注意先统一单位。
【解析】
首先统一单位：1尺=10寸。
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，由题意可知$OA=OB=AD=BC$。
设$OA=OB=AD=BC=r$寸，则$AB=2r$寸，$DE=10$寸，
由双门对称可得$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，因此$AE=OA-OE=(r-1)$寸。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理：$AE^2+DE^2=AD^2$，
代入得：$(r-1)^2+10^2=r^2$，
展开计算：$r^2-2r+1+100=r^2$，
化简得：$-2r+101=0$，解得$r=50.5$，
因此$AB=2r=2×50.5=101$寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理，轴对称性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合古代数学名著的内容出题，既考查了勾股定理的实际应用，也体现了数学文化的传承。解题的核心是通过对称性质梳理各线段的数量关系，构造直角三角形后利用勾股定理建立方程求解，解题时要注意单位统一，避免因单位不一致出错。
【难度系数】
0.7
13. [新课标·综合与实践题]如图,在四边形ABCD中,BD⊥AC.求证:$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$.
答案
13.证明: $\because BD ⊥ AC$,$\therefore ∠ AED = ∠ AEB = ∠ BEC = ∠ DEC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中,$AD^2 = AE^2 + DE^2$;在 $\mathrm{Rt}△ AEB$ 中,$AB^2 = AE^2 + BE^2$; 在 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中,$BC^2 = BE^2 + CE^2$; 在 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中,$CD^2 = CE^2 + DE^2$,$\therefore AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$,$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$,$\therefore AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$.
解析
【分析】
要证明的等式涉及线段的平方关系，且已知BD⊥AC，即对角线AC与BD相交形成的四个角都是直角，能得到4个直角三角形，由此想到运用勾股定理求解。首先在4个直角三角形中分别用勾股定理表示出$AD^2$、$BC^2$、$AB^2$、$CD^2$，再分别计算等式左右两边的和，对比两个和的表达式即可证明结论。
【解析】
证明：$\because BD ⊥ AC$，$\therefore ∠ AED = ∠ AEB = ∠ BEC = ∠ DEC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$AD^2 = AE^2 + DE^2$；
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$AB^2 = AE^2 + BE^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$BC^2 = BE^2 + CE^2$；
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，$CD^2 = CE^2 + DE^2$。
$\therefore AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$，
$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$，
$\therefore AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$。
【答案】
$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$
【知识点】
勾股定理；垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，核心是利用垂直条件得到直角三角形，通过勾股定理转化线段平方关系即可求证，无需添加辅助线，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要证明的等式涉及线段的平方关系，且已知BD⊥AC，即对角线AC与BD相交形成的四个角都是直角，能得到4个直角三角形，由此想到运用勾股定理求解。首先在4个直角三角形中分别用勾股定理表示出$AD^2$、$BC^2$、$AB^2$、$CD^2$，再分别计算等式左右两边的和，对比两个和的表达式即可证明结论。
【解析】
证明：$\because BD ⊥ AC$，$\therefore ∠ AED = ∠ AEB = ∠ BEC = ∠ DEC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$AD^2 = AE^2 + DE^2$；
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$AB^2 = AE^2 + BE^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$BC^2 = BE^2 + CE^2$；
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，$CD^2 = CE^2 + DE^2$。
$\therefore AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$，
$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$，
$\therefore AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$。
【答案】
$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$
【知识点】
勾股定理；垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，核心是利用垂直条件得到直角三角形，通过勾股定理转化线段平方关系即可求证，无需添加辅助线，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
