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【典例1】我国宋代数学家杨辉发现了$(a+b)^n(n=0,1,2,3,···)$展开式系数的规律：
$(a+b)^0=1$ 1 展开式系数和为1
$(a+b)^1=a+b$ 1 1 展开式系数和为$1+1$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 1 2 1 展开式系数和为$1+2+1$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 1 3 3 1 展开式系数和为$1+3+3+1$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ 1 4 6 4 1 展开式系数和为$1+4+6+4+1$
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，$(a+b)^7$展开式的系数和是（
A.$64$
B.$128$
C.$256$
D.$512$
$(a+b)^0=1$ 1 展开式系数和为1
$(a+b)^1=a+b$ 1 1 展开式系数和为$1+1$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 1 2 1 展开式系数和为$1+2+1$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 1 3 3 1 展开式系数和为$1+3+3+1$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ 1 4 6 4 1 展开式系数和为$1+4+6+4+1$
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，$(a+b)^7$展开式的系数和是（
B
）A.$64$
B.$128$
C.$256$
D.$512$
答案
解:当 n=0 时,展开式中所有项的系数和为$1=2^0$,
当 n=1 时,展开式中所有项的系数和为$2=2^1$,
当 n=2 时,展开式中所有项的系数和为$4=2^2$,
...
当 n=7 时,展开式的项系数和为$2^7=128$.
当 n=1 时,展开式中所有项的系数和为$2=2^1$,
当 n=2 时,展开式中所有项的系数和为$4=2^2$,
...
当 n=7 时,展开式的项系数和为$2^7=128$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先观察题目给出的杨辉三角前几行展开式的系数和规律：先梳理n=0、1、2、3、4时对应的系数和，寻找系数和与指数n的对应关系，也可以通过赋值法，令a=1、b=1，此时$(a+b)^n$的计算结果就是展开式所有项的系数和，两种方法都能推导出系数和的通用规律，最后代入n=7计算即可。
【解析】
观察已知的展开式系数和：
当n=0时，展开式系数和为$1=2^0$；
当n=1时，展开式系数和为$1+1=2=2^1$；
当n=2时，展开式系数和为$1+2+1=4=2^2$；
当n=3时，展开式系数和为$1+3+3+1=8=2^3$；
当n=4时，展开式系数和为$1+4+6+4+1=16=2^4$；
由此可得规律：$(a+b)^n$的展开式系数和为$2^n$。
当n=7时，展开式的系数和为$2^7=128$。
【答案】
B
【知识点】
杨辉三角规律，有理数乘方，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知的有限个示例归纳出通用规律，也可利用赋值法快速推导系数和的表达式，主要考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以先观察题目给出的杨辉三角前几行展开式的系数和规律：先梳理n=0、1、2、3、4时对应的系数和，寻找系数和与指数n的对应关系，也可以通过赋值法，令a=1、b=1，此时$(a+b)^n$的计算结果就是展开式所有项的系数和，两种方法都能推导出系数和的通用规律，最后代入n=7计算即可。
【解析】
观察已知的展开式系数和：
当n=0时，展开式系数和为$1=2^0$；
当n=1时，展开式系数和为$1+1=2=2^1$；
当n=2时，展开式系数和为$1+2+1=4=2^2$；
当n=3时，展开式系数和为$1+3+3+1=8=2^3$；
当n=4时，展开式系数和为$1+4+6+4+1=16=2^4$；
由此可得规律：$(a+b)^n$的展开式系数和为$2^n$。
当n=7时，展开式的系数和为$2^7=128$。
【答案】
B
【知识点】
杨辉三角规律，有理数乘方，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知的有限个示例归纳出通用规律，也可利用赋值法快速推导系数和的表达式，主要考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
变式1.$(x+1)^6$中，$x^4$的系数为
15
.答案
15
解析
【分析】
要计算$(x+1)^6$中$x^4$的系数，可借助杨辉三角求解：首先回忆杨辉三角的规律，$(a+b)^n$展开式的各项系数对应杨辉三角第$n+1$行的数字，且展开式中$x$的次数从$n$依次递减到0。我们先写出6次幂对应的杨辉三角行，再根据$x^4$的次数找到对应位置的系数即可。
【解析】
根据杨辉三角的构造规律（每行首尾为1，中间每个数等于其上方相邻两数之和），依次写出低次幂对应的系数行：
$n=0$：$\quad 1$
$n=1$：$\quad 1\quad1$
$n=2$：$\quad 1\quad2\quad1$
$n=3$：$\quad 1\quad3\quad3\quad1$
$n=4$：$\quad 1\quad4\quad6\quad4\quad1$
$n=5$：$\quad 1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1$
$n=6$：$\quad 1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1$
$(x+1)^6$的展开式按$x$降幂排列时，各项系数依次为$n=6$对应行的数字，各项$x$的次数依次为6、5、4、3、2、1、0，因此$x^4$对应的是第3个系数，数值为15。
【答案】
15
【知识点】
杨辉三角的应用；整式乘方
【点评】
本题考查杨辉三角在整式乘方展开系数求解中的应用，解题核心是掌握杨辉三角的构造规律，以及展开式中项的次数与系数位置的对应关系，难度不大，属于规律应用类基础题。
【难度系数】
0.75
要计算$(x+1)^6$中$x^4$的系数，可借助杨辉三角求解：首先回忆杨辉三角的规律，$(a+b)^n$展开式的各项系数对应杨辉三角第$n+1$行的数字，且展开式中$x$的次数从$n$依次递减到0。我们先写出6次幂对应的杨辉三角行，再根据$x^4$的次数找到对应位置的系数即可。
【解析】
根据杨辉三角的构造规律（每行首尾为1，中间每个数等于其上方相邻两数之和），依次写出低次幂对应的系数行：
$n=0$：$\quad 1$
$n=1$：$\quad 1\quad1$
$n=2$：$\quad 1\quad2\quad1$
$n=3$：$\quad 1\quad3\quad3\quad1$
$n=4$：$\quad 1\quad4\quad6\quad4\quad1$
$n=5$：$\quad 1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1$
$n=6$：$\quad 1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1$
$(x+1)^6$的展开式按$x$降幂排列时，各项系数依次为$n=6$对应行的数字，各项$x$的次数依次为6、5、4、3、2、1、0，因此$x^4$对应的是第3个系数，数值为15。
【答案】
15
【知识点】
杨辉三角的应用；整式乘方
【点评】
本题考查杨辉三角在整式乘方展开系数求解中的应用，解题核心是掌握杨辉三角的构造规律，以及展开式中项的次数与系数位置的对应关系，难度不大，属于规律应用类基础题。
【难度系数】
0.75
变式 2.多项式 $x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$.当 $x=3$ 时,该式值为
1
.答案
解:$(x-2)^6=1$.
解析
【分析】
观察所给高次多项式的各项系数特征，可结合杨辉三角中二项式展开的系数规律，先将多项式转化为二项式幂的简化形式，再代入x=3计算，避免逐项计算的繁琐和错误。首先对比$(a+b)^n$的展开系数，先确定二项式中的两项分别是什么，验证所有项匹配后再代入求值即可。
【解析】
根据杨辉三角，$(a+b)^6$的展开式系数依次为1、6、15、20、15、6、1，展开式为：
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
对比原式$x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$：
第一项$x^6$对应$a^6$，可得$a=x$；
第二项$-12x^5=6x^5· b$，解得$b=-2$；
依次验证后续各项：
$15x^4· (-2)^2=60x^4$，$20x^3· (-2)^3=-160x^3$，$15x^2· (-2)^4=240x^2$，$6x· (-2)^5=-192x$，$(-2)^6=64$，均与原式各项匹配，因此原式可化简为：
$x^6 - 12x^5 + \dots +64=(x-2)^6$
将$x=3$代入得：$(3-2)^6=1^6=1$
【答案】
1
【知识点】
杨辉三角、整式化简求值、乘法公式拓展
【点评】
本题重点考查对杨辉三角规律的理解与运用，通过观察系数特征将复杂的高次多项式转化为二项式的幂，大幅降低计算量，能有效提升学生的观察归纳能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.6
观察所给高次多项式的各项系数特征，可结合杨辉三角中二项式展开的系数规律，先将多项式转化为二项式幂的简化形式，再代入x=3计算，避免逐项计算的繁琐和错误。首先对比$(a+b)^n$的展开系数，先确定二项式中的两项分别是什么，验证所有项匹配后再代入求值即可。
【解析】
根据杨辉三角，$(a+b)^6$的展开式系数依次为1、6、15、20、15、6、1，展开式为：
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
对比原式$x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$：
第一项$x^6$对应$a^6$，可得$a=x$；
第二项$-12x^5=6x^5· b$，解得$b=-2$；
依次验证后续各项：
$15x^4· (-2)^2=60x^4$，$20x^3· (-2)^3=-160x^3$，$15x^2· (-2)^4=240x^2$，$6x· (-2)^5=-192x$，$(-2)^6=64$，均与原式各项匹配，因此原式可化简为：
$x^6 - 12x^5 + \dots +64=(x-2)^6$
将$x=3$代入得：$(3-2)^6=1^6=1$
【答案】
1
【知识点】
杨辉三角、整式化简求值、乘法公式拓展
【点评】
本题重点考查对杨辉三角规律的理解与运用，通过观察系数特征将复杂的高次多项式转化为二项式的幂，大幅降低计算量，能有效提升学生的观察归纳能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.6
变式3.$(x+1)^{2019}$展开式中含$x^{2018}$的系数是（
A.2016
B.2017
C.2018
D.2019
D
）A.2016
B.2017
C.2018
D.2019
答案
D
解析
【分析】
我们可以通过从特殊到一般的思路解题，先计算(x+1)的低次幂的展开式，观察次高次项（即指数比最高次小1的项）的系数规律，再将规律推广到2019次幂的情况，就能快速求出$x^{2018}$的系数，不需要展开高次多项式。
【解析】
我们先计算低次的(x+1)的幂，归纳规律：
1. $(x+1)^1=x+1$，其中$x^0$的系数为1，等于幂的指数1；
2. $(x+1)^2=x^2+2x+1$，其中$x^1$的系数为2，等于幂的指数2；
3. $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$，其中$x^2$的系数为3，等于幂的指数3；
……
由此可总结规律：$(x+1)^n$的展开式中，$x^{n-1}$项的系数等于$n$。
本题中$n=2019$，要求的$x^{2018}$就是$x^{2019-1}$，对应系数为2019。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘法，规律归纳，杨辉三角
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，通过列举低次展开式的特征总结通用规律，能大幅简化高次问题的计算过程，是探究类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
我们可以通过从特殊到一般的思路解题，先计算(x+1)的低次幂的展开式，观察次高次项（即指数比最高次小1的项）的系数规律，再将规律推广到2019次幂的情况，就能快速求出$x^{2018}$的系数，不需要展开高次多项式。
【解析】
我们先计算低次的(x+1)的幂，归纳规律：
1. $(x+1)^1=x+1$，其中$x^0$的系数为1，等于幂的指数1；
2. $(x+1)^2=x^2+2x+1$，其中$x^1$的系数为2，等于幂的指数2；
3. $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$，其中$x^2$的系数为3，等于幂的指数3；
……
由此可总结规律：$(x+1)^n$的展开式中，$x^{n-1}$项的系数等于$n$。
本题中$n=2019$，要求的$x^{2018}$就是$x^{2019-1}$，对应系数为2019。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘法，规律归纳，杨辉三角
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，通过列举低次展开式的特征总结通用规律，能大幅简化高次问题的计算过程，是探究类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
变式4.(2026·青山)依上规律，那么$(a - \dfrac{1}{a})^8$展开式中$a^6$的系数是(
A.8
B.－8
C.28
D.－28
B
)A.8
B.－8
C.28
D.－28
答案
解:$(a-\dfrac{1}{a})^8$中$a^6$系数即第2项,
$8a^7×(-\dfrac{1}{a})=-8a^6$,故系数为$-8$.
$8a^7×(-\dfrac{1}{a})=-8a^6$,故系数为$-8$.
解析
【分析】
要找$(a-\dfrac{1}{a})^8$展开式中$a^6$的系数，首先要明确展开式每一项的a的次数构成：$(a-\dfrac{1}{a})^8$是8个$(a-\dfrac{1}{a})$相乘，每一项要么选$a$，要么选$-\dfrac{1}{a}$。设共选了$k$个$-\dfrac{1}{a}$，剩余$8-k$个选$a$，那么$a$的总次数为$(8-k)-k=8-2k$，令总次数等于6即可求出$k$的值，再结合展开式对应项的系数和符号就能算出结果。
【解析】
第一步：求对应项的$k$值：
令$a$的总次数为6，列方程$8-2k=6$，解得$k=1$，即目标项是选1个$-\dfrac{1}{a}$、7个$a$的项，也就是展开式的第2项。
第二步：计算该项的系数：
根据杨辉三角的规律，$(a+b)^8$展开式第2项的系数为8，由于原式中$b=-\dfrac{1}{a}$，因此该项为$8× a^7×(-\dfrac{1}{a})=-8a^6$，可得$a^6$的系数为$-8$。
【答案】
B
【知识点】
杨辉三角、整式乘方、单项式系数
【点评】
本题核心是利用展开项的次数规律锁定目标项，再结合杨辉三角的系数和符号计算结果，解题时要注意负号不要遗漏，属于乘法公式的基础拓展题。
【难度系数】
0.7
要找$(a-\dfrac{1}{a})^8$展开式中$a^6$的系数，首先要明确展开式每一项的a的次数构成：$(a-\dfrac{1}{a})^8$是8个$(a-\dfrac{1}{a})$相乘，每一项要么选$a$，要么选$-\dfrac{1}{a}$。设共选了$k$个$-\dfrac{1}{a}$，剩余$8-k$个选$a$，那么$a$的总次数为$(8-k)-k=8-2k$，令总次数等于6即可求出$k$的值，再结合展开式对应项的系数和符号就能算出结果。
【解析】
第一步：求对应项的$k$值：
令$a$的总次数为6，列方程$8-2k=6$，解得$k=1$，即目标项是选1个$-\dfrac{1}{a}$、7个$a$的项，也就是展开式的第2项。
第二步：计算该项的系数：
根据杨辉三角的规律，$(a+b)^8$展开式第2项的系数为8，由于原式中$b=-\dfrac{1}{a}$，因此该项为$8× a^7×(-\dfrac{1}{a})=-8a^6$，可得$a^6$的系数为$-8$。
【答案】
B
【知识点】
杨辉三角、整式乘方、单项式系数
【点评】
本题核心是利用展开项的次数规律锁定目标项，再结合杨辉三角的系数和符号计算结果，解题时要注意负号不要遗漏，属于乘法公式的基础拓展题。
【难度系数】
0.7
【典例2】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和。若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作$a_1,a_2,a_3,···,a_n$，由图可知$a_1=1,a_2=3,a_3=6,···$若$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+···+\frac{1}{a_n}=\frac{21}{11}$，则$n=(\quad)$
A.21
B.20
C.11
D.10
A.21
B.20
C.11
D.10
答案
解:$a_1=1,a_2=1+2,a_3=1+2+3$,
$a_n=1+2+3+\dots+n=\dfrac{(n+1)n}{2}$,
$\therefore\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dots+\dfrac{1}{a_n}$
$=2[\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)n}]=\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{21}{11}$,
$\therefore n=21$.
$a_n=1+2+3+\dots+n=\dfrac{(n+1)n}{2}$,
$\therefore\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dots+\dfrac{1}{a_n}$
$=2[\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)n}]=\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{21}{11}$,
$\therefore n=21$.
解析
【分析】
解题分为三步：第一步先明确$a_n$的定义，结合已知的$a_1=1$、$a_2=3$、$a_3=6$归纳通项规律：观察可得$a_n$是前$n$个正整数的和，可用连续整数求和公式写出$a_n$的表达式；第二步处理倒数和，将$\frac{1}{a_n}$拆分为两个分式的差，利用裂项相消法抵消中间项，简化求和结果；第三步令化简后的和等于$\frac{21}{11}$，解分式方程即可得到$n$的值。
【解析】
首先归纳$\{a_n\}$的通项：
由题意得$a_1=1$，$a_2=3=1+2$，$a_3=6=1+2+3$，
由此可推得$a_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
再计算倒数和：
$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，
因此$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}$
$=2×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
$=2×(1-\frac{1}{n+1})=\frac{2n}{n+1}$。
令$\frac{2n}{n+1}=\frac{21}{11}$，交叉相乘得：
$22n=21(n+1)$，
解得$n=21$，经检验$n=21$是原方程的解且符合题意。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，裂项相消求和，分式方程求解
【点评】
本题以杨辉三角为背景，考查归纳推理能力与分式运算技巧，解题核心是准确推导出$a_n$的通项公式，熟练运用裂项法简化求和运算，既体现了数学文化，也对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题分为三步：第一步先明确$a_n$的定义，结合已知的$a_1=1$、$a_2=3$、$a_3=6$归纳通项规律：观察可得$a_n$是前$n$个正整数的和，可用连续整数求和公式写出$a_n$的表达式；第二步处理倒数和，将$\frac{1}{a_n}$拆分为两个分式的差，利用裂项相消法抵消中间项，简化求和结果；第三步令化简后的和等于$\frac{21}{11}$，解分式方程即可得到$n$的值。
【解析】
首先归纳$\{a_n\}$的通项：
由题意得$a_1=1$，$a_2=3=1+2$，$a_3=6=1+2+3$，
由此可推得$a_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
再计算倒数和：
$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，
因此$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}$
$=2×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
$=2×(1-\frac{1}{n+1})=\frac{2n}{n+1}$。
令$\frac{2n}{n+1}=\frac{21}{11}$，交叉相乘得：
$22n=21(n+1)$，
解得$n=21$，经检验$n=21$是原方程的解且符合题意。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，裂项相消求和，分式方程求解
【点评】
本题以杨辉三角为背景，考查归纳推理能力与分式运算技巧，解题核心是准确推导出$a_n$的通项公式，熟练运用裂项法简化求和运算，既体现了数学文化，也对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
