1.如图，$△ ABC$中，$∠ C=45°$，$∠ ABC=120°$，$BC$的垂直平分线$DE$交$BC$于$D$，交$AC$于$E$，$AB$的垂直平分线$FH$交$AB$于$F$，交$AC$于$H$，若$CE=4$，则$AH$的长为。

8

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。因此我们先连接BE、BH，利用垂直平分线性质得到相等的边，进而推导对应角的度数；再结合三角形内角和、外角性质求出直角三角形中30°的角，最后利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求解AH的长度。
【解析】
解：连接BE、BH。
1.
∵DE是BC的垂直平分线，点E在DE上
∴BE=CE=4，∠EBC=∠C=45°
在△BEC中，∠BEC=180°-∠EBC-∠C=180°-45°-45°=90°，即BE⊥AC，∠BEH=90°
2. 在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-120°-45°=15°
3.
∵FH是AB的垂直平分线，点H在FH上
∴AH=BH，
∴∠ABH=∠A=15°
4. ∠BHE是△ABH的外角，根据外角性质：
∠BHE=∠A+∠ABH=15°+15°=30°
5. 在Rt△BEH中，∠BHE=30°，30°角所对的直角边为BE=4
∴BH=2BE=2×4=8
又
∵AH=BH，
∴AH=8
【答案】
8
【知识点】
垂直平分线的性质、三角形外角性质、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线，将垂直平分线的性质、特殊角度三角形的性质结合起来，逐步推导边和角的关系即可求解。
【难度系数】
0.6

2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM的长为.

5

【分析】
解题可按两步思考：第一步，已知PM=PN，△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过P作OB的垂线，即可得到MN的中点，算出MC的长度；第二步，在构造出的直角三角形OPC中，结合∠AOB=60°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OC的长度，最后用OC减去MC即可得到OM的长度。
【解析】
过点P作PC⊥OB于点C。
1. 因为PM=PN，PC⊥MN，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$MC=NC=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$。
2. 在$Rt△ OPC$中，$∠OCP=90°$，$∠AOB=60°$，所以$∠OPC=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×12=6$。
3. 因此$OM=OC-MC=6-1=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，核心是通过作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质求解，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ACB$中,$AC=BC=4$,$∠ B=15°$,则$△ ACB$的面积为()

A.2
B.4
C.8
D.1

B
解:过点$A$作$AM⊥ BC$交$BC$的延长线于点$M$,$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=2$,$\therefore S_{△ ACB}=\frac{1}{2}×4×2=4$.

【分析】
要求△ACB的面积，已知BC=4，可将BC作为底，只需求出BC边上的高即可。首先△ACB是等腰三角形，AC=BC，可先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B=15°，再通过三角形外角性质得到BC延长线与AC的夹角为30°，此时过点A作BC的垂线，交BC延长线于M，就得到了含30°角的直角△ACM，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出高AM，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AM⊥BC，交BC的延长线于点M。
∵AC=BC=4，∠B=15°，
∴∠CAB=∠B=15°（等腰三角形等边对等角），
∴∠ACM=∠CAB+∠B=15°+15°=30°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
在Rt△ACM中，∠M=90°，∠ACM=30°，AC=4，
∴AM=½AC=½×4=2（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∴S△ACB=½×BC×AM=½×4×2=4。

【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是正确作出辅助线构造含30°角的直角三角形，求出三角形的高，需要注意钝角三角形的高可能落在边的延长线上，避免错把高的位置画到三角形内部导致解题错误。
【难度系数】
0.7

4.(2026·仙桃、武汉)如图,等腰直角$△ ABC$中,$CA = CB$,$D$为$△ ABC$内一点,$∠ DAB=15°,AD=AC,CE⊥ AD$于点$E$.
(1)若$CE=5$,求$BC$的长;
(2)求证:$BD=CD$.

(1)解:$∠ CAE=30°$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}AC$,
$AC=BC=10$;
(2)证明:过点$D$作$DM⊥ BC$于点$M$,
$∠ DCM=∠ DCE$,
$\therefore △ DCE≌△ DCM$,
$\therefore CM=CE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore MC=MB$,$\therefore DC=DB$.

【分析】
(1) 首先根据等腰直角△ABC的性质得到∠CAB=45°，结合已知∠DAB=15°，可计算出∠CAE=30°；再利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对直角边等于斜边的一半，求出AC的长度，最后由AC=BC即可得到BC的长。
(2) 要证BD=CD，可证明点D在BC的垂直平分线上，因此过D作DM⊥BC于M；先通过角度计算推导∠DCE=∠DCM，再证明△DCE≌△DCM，得到CM=CE=½BC，即M是BC中点，DM垂直平分BC，即可推出BD=CD。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等腰直角三角形，且$CA=CB$，
∴$∠ CAB=45°$，
∵$∠ DAB=15°$，
∴$∠ CAE=∠ CAB-∠ DAB=45°-15°=30°$，
∵$CE⊥ AD$，即$△ CEA$为直角三角形，$∠ CEA=90°$，
∴$CE=\frac{1}{2}AC$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵$CE=5$，
∴$AC=2CE=10$，
又
∵$BC=AC$，
∴$BC=10$。
(2) 证明：过点$D$作$DM⊥ BC$于点$M$。
∵$AD=AC$，$∠ CAD=30°$，
∴$∠ ACD=∠ ADC=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∵$CE⊥ AD$，$∠ CAE=30°$，
∴$∠ ACE=90°-30°=60°$，
∴$∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=75°-60°=15°$，
又
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ DCM=∠ ACB-∠ ACD=90°-75°=15°$，
∴$∠ DCE=∠ DCM$，
在$△ DCE$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}∠ DEC=∠ DMC=90° \\∠ DCE=∠ DCM \\DC=DC\end{cases}$
∴$△ DCE≌△ DCM$（AAS），
∴$CM=CE$，
由(1)可知$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BC$，
∴$CM=\frac{1}{2}BC$，即$M$是$BC$的中点，
又
∵$DM⊥ BC$，
∴$DM$是$BC$的垂直平分线，
∴$BD=CD$。
【答案】
(1) $BC=10$；
(2) 证明见解析，
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型综合题，既考查了特殊直角三角形的边角关系，也考查了全等三角形的构造与判定，解题的关键是准确推导角度关系，合理添加辅助线构造全等三角形。
【难度系数】
0.6

5.如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在BC,AB上,连接AD,CE交于点M,BE=CD.
(1)求∠AME的度数;
(2)过点A作AN⊥CE于点N,若MN=3,DM=1,直接写出CE的长为;
(3)如图2,点F在CE的延长线上,且∠CFB=30°,求证:CF=AM+2CM.

(1)解:在$△ BCE$和$△ CAD$中,
$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠ B=∠ ACD, \\ BC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BCE=∠ CAD$,
$\therefore ∠ AME=∠ CAD+∠ ACM=∠ ACD=60°$.
(2)解:$\because ∠ MAN=30°$,
$\therefore AM=2MN=6$,
$\therefore AD=AM+DM=7$,
由(1)知$CE=AD=7$.

(3)证明:方法一:
过点$C$作$CN⊥ CF$交$AD$的延长线于点$N$,
$\because ∠ CMD=60°$,$\therefore MN=2CM$,
$\therefore ∠ N=30°$,
在$△ ACN$和$△ CBF$中,
$\begin{cases} ∠ N=∠ F, \\ ∠ CAM=∠ FCB, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACN≌△ CBF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore CF=AN=AM+2CM$.
方法二:作$BH⊥ FB$交$CF$于$H$,
$△ ACM≌△ CBH$,
$CH=AM$,$\therefore CF=AM+2CM$.

【分析】
(1) 结合等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，已知BE=CD，可通过SAS判定证明△BCE与△CAD全等，得到对应角相等，再利用三角形外角的性质即可求出∠AME的度数。
(2) 由AN⊥CE和(1)中得到的∠AME=60°，可得Rt△ANM中∠MAN=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AM的长度，再结合全等三角形对应边相等，即可得到CE的长度。
(3) 要证CF=AM+2CM，可通过构造辅助线得到含30°角的直角三角形，将2CM转化为一条线段，再证明全等三角形，将CF转化为两段线段的和，即可得到待证结论。
【解析】
(1) 解:在$△ BCE$和$△ CAD$中,
$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠ B=∠ ACD, \\ BC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BCE=∠ CAD$,
$\therefore ∠ AME=∠ CAD+∠ ACM=∠ BCE+∠ ACM=∠ ACD=60°$.
(2) 解:$\because AN⊥ CE$，$∠ AME=60°$,
$\therefore ∠ MAN=30°$,
$\therefore AM=2MN=2×3=6$,
$\therefore AD=AM+DM=6+1=7$,
由(1)中$△ BCE≌△ CAD$得$CE=AD=7$.
(3) 证明:
方法一:
过点$C$作$CN⊥ CF$交$AD$的延长线于点$N$,
$\because ∠ CMD=∠ AME=60°$，$∠ NCM=90°$,
$\therefore ∠ N=30°$，$MN=2CM$,
在$△ ACN$和$△ CBF$中,
$\begin{cases} ∠ N=∠ F=30°, \\ ∠ CAM=∠ FCB, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACN≌△ CBF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore CF=AN=AM+MN=AM+2CM$.

方法二:
作$BH⊥ FB$交$CF$于$H$,
$\because ∠ CFB=30°$，$∠ FBH=90°$，$\therefore ∠ BHF=60°$，$FH=2BH$,
可证$△ ACM≌△ CBH$,
$\therefore CH=AM$，$BH=CM$,
$\therefore CF=CH+FH=AM+2CM$.

【答案】
(1) $∠ AME=60°$
(2) $\boldsymbol{7}$
(3) 证明见解析，辅助线示意图如下：


【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题为等边三角形的综合应用题，融合了全等三角形证明、特殊直角三角形性质的考察，解题核心是结合已知条件合理构造辅助线，通过全等三角形和特殊直角三角形实现线段关系的转化，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6