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【例1】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ B=∠ A$，则$∠ A$的度数为
45°
。答案
45°
解析
【分析】
拿到这道题首先先梳理已知条件：首先这是直角三角形，有且仅有1个直角，剩余两个锐角的和为90°（直角三角形两锐角互余）。已知∠A=∠B，说明这两个角都不可能是直角（若其中一个为直角，会出现两个直角，不符合三角形内角和为180°的要求），因此可结合两角相等的条件，计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形
∴ 三角形内有且仅有1个内角为90°，剩余两个锐角的和为90°
又
∵ ∠A=∠B，若∠A或∠B为直角，则两个角均为90°，内角和超过180°，不符合要求
∴ ∠A和∠B均为锐角，满足∠A + ∠B = 90°
将∠B=∠A代入得：∠A + ∠A = 90°
即2∠A=90°，解得∠A=45°
【答案】
45°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时首先要明确直角三角形中直角的唯一性，再结合已知角相等的条件代入计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先先梳理已知条件：首先这是直角三角形，有且仅有1个直角，剩余两个锐角的和为90°（直角三角形两锐角互余）。已知∠A=∠B，说明这两个角都不可能是直角（若其中一个为直角，会出现两个直角，不符合三角形内角和为180°的要求），因此可结合两角相等的条件，计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ △ABC是直角三角形
∴ 三角形内有且仅有1个内角为90°，剩余两个锐角的和为90°
又
∵ ∠A=∠B，若∠A或∠B为直角，则两个角均为90°，内角和超过180°，不符合要求
∴ ∠A和∠B均为锐角，满足∠A + ∠B = 90°
将∠B=∠A代入得：∠A + ∠A = 90°
即2∠A=90°，解得∠A=45°
【答案】
45°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时首先要明确直角三角形中直角的唯一性，再结合已知角相等的条件代入计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
练习1.在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AD$为角平分线，$∠ CDA=75°$，则$∠ B=$
60°
.答案
60°
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按三步思路推导：第一步先从已知条件最多的小三角形Rt△ACD入手，已知直角和其中一个锐角，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAD的度数；第二步结合AD是角平分线的条件，根据角平分线的定义算出∠CAB的总度数；第三步回到大的Rt△ACB中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，就能求出∠B的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ CDA=75°$，
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ CAD = 90° - ∠ CDA = 90° - 75° = 15°$，
∵$AD$是$∠ CAB$的角平分线，
∴$∠ CAB = 2∠ CAD = 2×15° = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ C=90°$，
再次根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题时结合图形从局部到整体逐步推导角的度数即可，熟练掌握直角三角形的性质和角平分线的定义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
拿到这道题我们可以按三步思路推导：第一步先从已知条件最多的小三角形Rt△ACD入手，已知直角和其中一个锐角，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAD的度数；第二步结合AD是角平分线的条件，根据角平分线的定义算出∠CAB的总度数；第三步回到大的Rt△ACB中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，就能求出∠B的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ CDA=75°$，
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ CAD = 90° - ∠ CDA = 90° - 75° = 15°$，
∵$AD$是$∠ CAB$的角平分线，
∴$∠ CAB = 2∠ CAD = 2×15° = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ C=90°$，
再次根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题时结合图形从局部到整体逐步推导角的度数即可，熟练掌握直角三角形的性质和角平分线的定义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
练习2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
答案
解:在△ABD中,∠1+∠2=90°,
∴∠1=45°,
在△ACD中,∠CAD=90°−65°=25°,
∴∠BAC=45°+25°=70°.
∴∠1=45°,
在△ACD中,∠CAD=90°−65°=25°,
∴∠BAC=45°+25°=70°.
解析
【分析】
解题时先由AD⊥BC可知△ABD和△ACD都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，首先在Rt△ABD中，结合∠1=∠2的条件，可求出∠1的度数；再在Rt△ACD中，用90°减去已知的∠C的度数，求出∠CAD的度数；最后∠BAC是∠1和∠CAD的和，将两个角度相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形，两锐角互余。
在△ABD中，∠1+∠2=90°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=45°。
在△ACD中，∠CAD=90°−∠C=90°−65°=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAD=45°+25°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角的和差计算；垂线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是利用垂直关系得到直角三角形，再结合已知角的等量关系逐步推导，掌握直角三角形的内角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先由AD⊥BC可知△ABD和△ACD都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，首先在Rt△ABD中，结合∠1=∠2的条件，可求出∠1的度数；再在Rt△ACD中，用90°减去已知的∠C的度数，求出∠CAD的度数；最后∠BAC是∠1和∠CAD的和，将两个角度相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形，两锐角互余。
在△ABD中，∠1+∠2=90°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=45°。
在△ACD中，∠CAD=90°−∠C=90°−65°=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAD=45°+25°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角的和差计算；垂线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是利用垂直关系得到直角三角形，再结合已知角的等量关系逐步推导，掌握直角三角形的内角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于$E$，$∠ BAC=60°$，$∠ ABE=25°$，求$∠ DAC$的度数. 
答案
解:
∵∠ABC=50°,∠BAC=60°,
∴在△ABC中,∠C=70°,
∴在△ADC中,∠DAC=90°−70°=20°.
∵∠ABC=50°,∠BAC=60°,
∴在△ABC中,∠C=70°,
∴在△ADC中,∠DAC=90°−70°=20°.
解析
【分析】
要求∠DAC的度数，观察可知∠DAC在Rt△ADC中，已知AD是BC边上的高即∠ADC=90°，因此只需求出∠C的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求解。求∠C的度数时，已知△ABC中∠BAC=60°，可先根据角平分线的定义，由BE平分∠ABC、∠ABE=25°求出∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°算出∠C的度数，最后代入计算∠DAC即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABE=25°，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-50°=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，解题的关键是理清角度之间的推导关系，从所求角出发逆向推导所需条件，再结合已知条件逐步求解，熟练掌握三角形的基础性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
要求∠DAC的度数，观察可知∠DAC在Rt△ADC中，已知AD是BC边上的高即∠ADC=90°，因此只需求出∠C的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求解。求∠C的度数时，已知△ABC中∠BAC=60°，可先根据角平分线的定义，由BE平分∠ABC、∠ABE=25°求出∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°算出∠C的度数，最后代入计算∠DAC即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABE=25°，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-50°=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，解题的关键是理清角度之间的推导关系，从所求角出发逆向推导所需条件，再结合已知条件逐步求解，熟练掌握三角形的基础性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
练习1.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=60°$，$∠ C=80°$，$AD$平分$∠ BAC$，$BE⊥ AD$交$AD$的延长线于点$E$.求$∠ EBD$的度数.
答案
解:在△ABC中,∠BAC=180°−60°−80°=40°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=20°,
在△ABE中,∠ABE=90°−20°=70°,
∴∠EBD=70°−60°=10°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=20°,
在△ABE中,∠ABE=90°−20°=70°,
∴∠EBD=70°−60°=10°.
解析
【分析】
要求∠EBD的度数，可按以下思路逐步推导：第一步，利用三角形内角和为180°，结合△ABC中已知的∠ABC和∠C的度数，先求出∠BAC的度数；第二步，根据AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAE的度数；第三步，由BE⊥AD可知△ABE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠ABE的度数；最后用∠ABE减去已知的∠ABC的度数，即可得到∠EBD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-60°-80°=40°$
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$
∵BE⊥AD，即$∠ E=90°$，
∴在Rt△ABE中，根据直角三角形两锐角互余：
$∠ ABE=90°-∠ BAE=90°-20°=70°$
又
∵$∠ ABC=60°$，
∴$∠ EBD=∠ ABE-∠ ABC=70°-60°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是梳理清楚各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可，熟练掌握三角形的基础性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要求∠EBD的度数，可按以下思路逐步推导：第一步，利用三角形内角和为180°，结合△ABC中已知的∠ABC和∠C的度数，先求出∠BAC的度数；第二步，根据AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAE的度数；第三步，由BE⊥AD可知△ABE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠ABE的度数；最后用∠ABE减去已知的∠ABC的度数，即可得到∠EBD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-60°-80°=40°$
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$
∵BE⊥AD，即$∠ E=90°$，
∴在Rt△ABE中，根据直角三角形两锐角互余：
$∠ ABE=90°-∠ BAE=90°-20°=70°$
又
∵$∠ ABC=60°$，
∴$∠ EBD=∠ ABE-∠ ABC=70°-60°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是梳理清楚各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可，熟练掌握三角形的基础性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
练习2.如图，CD为$△ ABC$的角平分线，$EF ⊥ CD$交CD于F点，交直线AB于E点，$∠ A=50°$，$∠ ABC=70°$，求$∠ DEF$的度数。
答案
解:在△ABC中,∠ACB=180°−50°−70°=60°,
又
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=30°,
∴∠CDE=80°,
在△DEF中,∠DEF=90°−80°=10°.
又
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=30°,
∴∠CDE=80°,
在△DEF中,∠DEF=90°−80°=10°.
解析
【分析】
要计算∠DEF的度数，首先观察到EF⊥CD，可知△DEF是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，只需要求出∠EDF（即∠CDB）的度数即可。要求∠CDB，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠ACB的度数，再结合CD是角平分线的条件得到∠BCD的度数，最后在△BCD中利用三角形内角和算出∠CDB的度数，就能求出∠DEF。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-50°-70°=60°$
∵CD为△ABC的角平分线，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$
在△BCD中，$∠ CDB=180°-∠ BCD-∠ ABC=180°-30°-70°=80°$，即$∠ EDF=80°$
∵EF⊥CD，
∴$∠ DFE=90°$
在Rt△DEF中，根据直角三角形两锐角互余，得
$∠ DEF=90°-∠ EDF=90°-80°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题时需理清各角之间的数量关系，逐步推导未知角的度数即可求解，是对三角形基础性质的常规综合考查。
【难度系数】
0.7
要计算∠DEF的度数，首先观察到EF⊥CD，可知△DEF是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，只需要求出∠EDF（即∠CDB）的度数即可。要求∠CDB，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠ACB的度数，再结合CD是角平分线的条件得到∠BCD的度数，最后在△BCD中利用三角形内角和算出∠CDB的度数，就能求出∠DEF。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-50°-70°=60°$
∵CD为△ABC的角平分线，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$
在△BCD中，$∠ CDB=180°-∠ BCD-∠ ABC=180°-30°-70°=80°$，即$∠ EDF=80°$
∵EF⊥CD，
∴$∠ DFE=90°$
在Rt△DEF中，根据直角三角形两锐角互余，得
$∠ DEF=90°-∠ EDF=90°-80°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题时需理清各角之间的数量关系，逐步推导未知角的度数即可求解，是对三角形基础性质的常规综合考查。
【难度系数】
0.7
【例3】一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3，这个三角形一定是（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
B
）A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
B
解析
【分析】
拿到这道题首先明确解题方向：我们已知任意三角形的内角和为180°，题目给出了三个内角的度数比，所以可以通过设未知数的方式表示三个内角，再结合内角和定理列方程求出各角度数，最后根据角的特征判断三角形的类型即可。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得：$6x=180°$
解得：$x=30°$
因此三个内角的度数分别为：$30°$、$2×30°=60°$、$3×30°=90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，只要掌握内角和定理，结合按比例分配的思路求出各角度数，就能快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确解题方向：我们已知任意三角形的内角和为180°，题目给出了三个内角的度数比，所以可以通过设未知数的方式表示三个内角，再结合内角和定理列方程求出各角度数，最后根据角的特征判断三角形的类型即可。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得：$6x=180°$
解得：$x=30°$
因此三个内角的度数分别为：$30°$、$2×30°=60°$、$3×30°=90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，只要掌握内角和定理，结合按比例分配的思路求出各角度数，就能快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.9
练习.在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B=∠ C$，那么$△ ABC$是(
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.无法确定
A
)A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关知识，已知三角形三个内角的和为180°，题目给出了∠A+∠B与∠C的等量关系，我们可以通过代入消元的方式，将∠A+∠B替换为∠C，从而求出∠C的度数，再根据三角形按角分类的标准判断三角形的类型即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，将其代入上式可得：
$∠ C + ∠ C = 180°$，
即$2∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 90°$，
有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用三角形内角和定理结合已知角的关系求出特殊角的度数，进而判断三角形的类型，只要掌握三角形内角和的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关知识，已知三角形三个内角的和为180°，题目给出了∠A+∠B与∠C的等量关系，我们可以通过代入消元的方式，将∠A+∠B替换为∠C，从而求出∠C的度数，再根据三角形按角分类的标准判断三角形的类型即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，将其代入上式可得：
$∠ C + ∠ C = 180°$，
即$2∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 90°$，
有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用三角形内角和定理结合已知角的关系求出特殊角的度数，进而判断三角形的类型，只要掌握三角形内角和的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
