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16.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB＜BC.
(1)实践与操作:利用尺规作图,在AD边上确定一点E,使点E到边AB,BC的距离相等(不写作法,保留作图痕迹);
(2)应用与计算:在(1)的条件下,若BC=8,CD=5,求DE的长.
(1)实践与操作:利用尺规作图,在AD边上确定一点E,使点E到边AB,BC的距离相等(不写作法,保留作图痕迹);
(2)应用与计算:在(1)的条件下,若BC=8,CD=5,求DE的长.
答案
16.解:(1)如图所示,点E为所作.
(2)
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC=8,AB=CD=5.
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠CBE.
由作法,得BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∴∠ABE=∠AEB.
∴AE=AB=5.
∴DE=AD−AE=8−5=3.
解析
【分析】
(1) 要找到AD边上到AB、BC距离相等的点E，依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可知E在∠ABC的角平分线上，因此只需作∠ABC的角平分线，与AD的交点即为所求点E。
(2) 计算DE长度时，先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD、AB的长度以及AD与BC的平行关系；再结合平行线内错角相等、角平分线的定义，推导得出∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得到AE=AB，最后用AD减AE即可求出DE的长。
【解析】
(1) 作∠ABC的角平分线，交AD于点E，点E即为所求，作图痕迹如图所示。
(2) 解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，AB=CD=5。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等）。
由作图可知BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5（等角对等边），
∴DE=AD−AE=8−5=3。
【答案】
(1) 如图所示,点E为所作.
(2) 3
【知识点】
角平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何计算相结合，既考查了基础的作图能力，又考查了平行四边形、等腰三角形相关性质的应用，侧重对基础几何知识和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要找到AD边上到AB、BC距离相等的点E，依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可知E在∠ABC的角平分线上，因此只需作∠ABC的角平分线，与AD的交点即为所求点E。
(2) 计算DE长度时，先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD、AB的长度以及AD与BC的平行关系；再结合平行线内错角相等、角平分线的定义，推导得出∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得到AE=AB，最后用AD减AE即可求出DE的长。
【解析】
(1) 作∠ABC的角平分线，交AD于点E，点E即为所求，作图痕迹如图所示。
(2) 解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，AB=CD=5。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等）。
由作图可知BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5（等角对等边），
∴DE=AD−AE=8−5=3。
【答案】
(1) 如图所示,点E为所作.
(2) 3
【知识点】
角平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何计算相结合，既考查了基础的作图能力，又考查了平行四边形、等腰三角形相关性质的应用，侧重对基础几何知识和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.8
17.综合与实践:制作简易计时器.
[问题情境]
某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器,该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成,中间连通,液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中.
[实验观察]表格记录的是圆柱容器中液面的高度 y(单位:cm)与时间 x(单位:min)的数据:
| 记录次数 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
| 时间 x/min | 1
2 | 3 | 4 | 5 |
| 圆柱容器中液面的高度 y/cm | 2 | 4 | 6 | 4 | 10 |
【探索发现】根据上述的实践活动,该小组同学发现 y 与 x 之间满足一次函数关系,请解决以下问题:
(1)根据表中的数据在图中描点:小组长发现其中有一次数据记录错误,请你指出记录错误的是第
【结论应用】
(2)已知圆柱容器中液面的最大高度能达到 30 cm,则这个简易计时器最多可计时多少分钟?
[问题情境]
某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器,该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成,中间连通,液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中.
[实验观察]表格记录的是圆柱容器中液面的高度 y(单位:cm)与时间 x(单位:min)的数据:
| 记录次数 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
| 时间 x/min | 1
2 | 3 | 4 | 5 || 圆柱容器中液面的高度 y/cm | 2 | 4 | 6 | 4 | 10 |
【探索发现】根据上述的实践活动,该小组同学发现 y 与 x 之间满足一次函数关系,请解决以下问题:
(1)根据表中的数据在图中描点:小组长发现其中有一次数据记录错误,请你指出记录错误的是第
四
次.【结论应用】
(2)已知圆柱容器中液面的最大高度能达到 30 cm,则这个简易计时器最多可计时多少分钟?
答案
17.解:(1)描点如下:
由题意,得y与x之间满足一次函数关系,
∴函数图象是一条直线,
∵根据描点可知,第四次的数据不在其他数据连成的直线上,
∴记录错误的是第四次.
(2)设一次函数关系式为y=kx+b,代入(1,2)和(2,4),得$\begin{cases}k+b=2,\\2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=0,\end{cases}$
∴一次函数关系式为y=2x,令y=30,则2x=30,解得x=15.
答:这个简易计时器最多可计时15 min.
解析
【分析】
(1) 题目明确y与x满足一次函数关系，一次函数的图象是一条直线，因此我们先将表格中5组数据对应的点在坐标系中描出，观察哪个点不在其余点连成的直线上，该组数据就是错误记录。观察数据可知前三次x每增加1min，y增加2cm，第五次x=5时y=10也符合这个规律，仅第四次数据不符合该变化趋势，即可判断错误的记录次数。
(2) 要求计时器最长计时时间，首先要利用两组正确的已知点，通过待定系数法求出y与x的一次函数解析式，再将液面最大高度y=30cm代入解析式，求解得到的x值就是最长计时时间。
【解析】
(1) 描点如下：
已知y与x满足一次函数关系，因此y与x的函数图象为一条直线。观察描点结果，第一次、第二次、第三次、第五次的数据对应的点在同一条直线上，仅第四次的数据对应的点不在该直线上，因此记录错误的是第四次。
(2) 设y与x的一次函数关系式为$y = kx + b$（$k≠0$），选取两组正确数据$(1,2)$和$(2,4)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \\2k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$k + b = 2$，得$b=0$，因此一次函数关系式为$y = 2x$。
已知圆柱容器液面最大高度为30cm，令$y=30$，则$2x=30$，解得$x=15$。
【答案】
(1) 描点如下：，四
(2) 这个简易计时器最多可计时15 min。
【知识点】
一次函数的图象性质；待定系数法求解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合简易计时器的实践情境考查一次函数的相关知识，将数学知识和生活实践结合，既考查了对一次函数图象特征的认识，也考查了运用待定系数法求解函数解析式、解决实际问题的能力，难度适中，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确y与x满足一次函数关系，一次函数的图象是一条直线，因此我们先将表格中5组数据对应的点在坐标系中描出，观察哪个点不在其余点连成的直线上，该组数据就是错误记录。观察数据可知前三次x每增加1min，y增加2cm，第五次x=5时y=10也符合这个规律，仅第四次数据不符合该变化趋势，即可判断错误的记录次数。
(2) 要求计时器最长计时时间，首先要利用两组正确的已知点，通过待定系数法求出y与x的一次函数解析式，再将液面最大高度y=30cm代入解析式，求解得到的x值就是最长计时时间。
【解析】
(1) 描点如下：
已知y与x满足一次函数关系，因此y与x的函数图象为一条直线。观察描点结果，第一次、第二次、第三次、第五次的数据对应的点在同一条直线上，仅第四次的数据对应的点不在该直线上，因此记录错误的是第四次。
(2) 设y与x的一次函数关系式为$y = kx + b$（$k≠0$），选取两组正确数据$(1,2)$和$(2,4)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \\2k + b = 4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$k + b = 2$，得$b=0$，因此一次函数关系式为$y = 2x$。
已知圆柱容器液面最大高度为30cm，令$y=30$，则$2x=30$，解得$x=15$。
【答案】
(1) 描点如下：
，四(2) 这个简易计时器最多可计时15 min。
【知识点】
一次函数的图象性质；待定系数法求解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合简易计时器的实践情境考查一次函数的相关知识，将数学知识和生活实践结合，既考查了对一次函数图象特征的认识，也考查了运用待定系数法求解函数解析式、解决实际问题的能力，难度适中，实用性较强。
【难度系数】
0.7
