登录
10. 若计算 $(3x^{2}+2ax + 1)·(-3x)-4x^{2}$ 的结果中不含有 $x^{2}$ 项，则 $a$ 的值为 ()
A.2
B.0
C.$-\frac{2}{3}$
D.$-\frac{3}{2}$
A.2
B.0
C.$-\frac{2}{3}$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
C
解析
首先计算$(3x^{2} + 2ax + 1) · (-3x)$：
$(3x^{2} + 2ax + 1) · (-3x) = -9x^{3} - 6ax^{2} - 3x$，
接着，将上述结果与$-4x^{2}$相加，得到：
$-9x^{3} - 6ax^{2} - 3x - 4x^{2} = -9x^{3} - (6a + 4)x^{2} - 3x$，
由题意知，结果中不含有$x^{2}$项，即$x^{2}$的系数为0，所以有：
$-(6a + 4) = 0$，
解这个方程，得到：
$6a + 4 = 0$，
$6a = -4$，
$a = -\frac{2}{3}$。
$(3x^{2} + 2ax + 1) · (-3x) = -9x^{3} - 6ax^{2} - 3x$，
接着，将上述结果与$-4x^{2}$相加，得到：
$-9x^{3} - 6ax^{2} - 3x - 4x^{2} = -9x^{3} - (6a + 4)x^{2} - 3x$，
由题意知，结果中不含有$x^{2}$项，即$x^{2}$的系数为0，所以有：
$-(6a + 4) = 0$，
解这个方程，得到：
$6a + 4 = 0$，
$6a = -4$，
$a = -\frac{2}{3}$。
11. 某同学在计算 $-3x$ 加一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 $3x^{3}-3x^{2}+3x$，由此可以推断出正确的计算结果是 ()
A.$-x^{2}-2x - 1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$-x^{2}+4x - 1$
D.$x^{2}-4x + 1$
A.$-x^{2}-2x - 1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$-x^{2}+4x - 1$
D.$x^{2}-4x + 1$
答案
A
解析
设该多项式为A，由题意得：-3x·A=3x³-3x²+3x，解得A=(3x³-3x²+3x)÷(-3x)=-x²+x-1。正确结果为-3x+A=-3x+(-x²+x-1)=-x²-2x-1。
12. 若一个长方体的长、宽、高分别为 $2x - 1、2x、x^{2}$，则它的体积为.
答案
$4x^{4} - 2x^{3}$
解析
长方体的体积公式为$V = \mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高}$。
已知长、宽、高分别为$2x - 1$、$2x$、$x^{2}$，则体积为：
$V = (2x - 1) × 2x × x^{2}$
首先计算$(2x - 1) × 2x$：
$(2x - 1) × 2x = 2x × 2x - 1 × 2x = 4x^{2} - 2x$
然后将结果与$x^{2}$相乘：
$(4x^{2} - 2x) × x^{2} = 4x^{2} × x^{2} - 2x × x^{2} = 4x^{4} - 2x^{3}$
已知长、宽、高分别为$2x - 1$、$2x$、$x^{2}$，则体积为：
$V = (2x - 1) × 2x × x^{2}$
首先计算$(2x - 1) × 2x$：
$(2x - 1) × 2x = 2x × 2x - 1 × 2x = 4x^{2} - 2x$
然后将结果与$x^{2}$相乘：
$(4x^{2} - 2x) × x^{2} = 4x^{2} × x^{2} - 2x × x^{2} = 4x^{4} - 2x^{3}$
13. (1)若 $a(x^{2}+3x + b)=5x^{2}+15x + 10$，则 $\frac{b}{a}=$.
(2)若 $x^{2}+2x=-1$，则代数式 $6 + x(x + 2)$ 的值为.
(3)已知 $2m - 3n=-4$，则 $m(n - 4)-n(m - 6)$ 的值为.
(2)若 $x^{2}+2x=-1$，则代数式 $6 + x(x + 2)$ 的值为.
(3)已知 $2m - 3n=-4$，则 $m(n - 4)-n(m - 6)$ 的值为.
答案
(1) $\frac{2}{5}$
(2) $5$
(3) $8$
(2) $5$
(3) $8$
解析
(1)将左侧展开得到：$a x^{2} + 3a x + a b = 5 x^{2} + 15 x + 10$。
通过对应项系数相等，有：
$a = 5$，
$3a = 15 \implies a = 5$，
$a b = 10 \implies 5b = 10 \implies b = 2$。
所以 $\frac{b}{a} = \frac{2}{5}$。
(2)已知 $x^{2} + 2x = -1$，
所以$6 + x(x + 2) = 6 + x^{2} + 2x = 6 - 1 = 5$。
(3)已知 $2m - 3n = -4$，
代数式 $m(n - 4) - n(m - 6)$
$= mn - 4m - nm + 6n $
$ = -4m + 6n$
$ = -2(2m - 3n)$
$= -2 × (-4) $
$= 8$
通过对应项系数相等，有：
$a = 5$，
$3a = 15 \implies a = 5$，
$a b = 10 \implies 5b = 10 \implies b = 2$。
所以 $\frac{b}{a} = \frac{2}{5}$。
(2)已知 $x^{2} + 2x = -1$，
所以$6 + x(x + 2) = 6 + x^{2} + 2x = 6 - 1 = 5$。
(3)已知 $2m - 3n = -4$，
代数式 $m(n - 4) - n(m - 6)$
$= mn - 4m - nm + 6n $
$ = -4m + 6n$
$ = -2(2m - 3n)$
$= -2 × (-4) $
$= 8$
14. (1)先化简，再求值：$3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)$，其中 $a=-2$.
(2)已知 $x(x - m)+n(x + m)=x^{2}+5x - 6$ 对任意实数 $x$ 都成立，求 $m(n - 1)+n(m + 1)$ 的值.
(2)已知 $x(x - m)+n(x + m)=x^{2}+5x - 6$ 对任意实数 $x$ 都成立，求 $m(n - 1)+n(m + 1)$ 的值.
答案
(1)
首先对式子$3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)$进行化简：
$\begin{aligned}&3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)\\=&6a^{3}-12a^{2}+9a-(6a^{3}+8a^{2})\\=&6a^{3}-12a^{2}+9a - 6a^{3}-8a^{2}\\=&(6a^{3}-6a^{3})+(-12a^{2}-8a^{2})+9a\\=& - 20a^{2}+9a\end{aligned}$
当$a = - 2$时，代入上式得：
$-20×(-2)^{2}+9×(-2)=-20×4 - 18=-80 - 18=-98$
(2)
先将$x(x - m)+n(x + m)$展开：
$\begin{aligned}x(x - m)+n(x + m)&=x^{2}-mx+nx + nm\\&=x^{2}+(n - m)x + nm\end{aligned}$
因为$x(x - m)+n(x + m)=x^{2}+5x - 6$对任意实数$x$都成立，所以可得：
$\begin{cases}n - m = 5\\nm=-6\end{cases}$
由$n - m = 5$得$n = m + 5$，将其代入$nm=-6$可得：
$(m + 5)m=-6$，即$m^{2}+5m + 6 = 0$，因式分解得$(m + 2)(m + 3)=0$
解得$m=-2$或$m=-3$
当$m = - 2$时，$n = 3$；当$m = - 3$时，$n = 2$
当$m=-2,n = 3$时，$m(n - 1)+n(m + 1)=-2×(3 - 1)+3×(-2 + 1)=-4-3=-7$
当$m=-3,n = 2$时，$m(n - 1)+n(m + 1)=-3×(2 - 1)+2×(-3 + 1)=-3-4=-7$
综上，答案依次为：(1)化简结果为$-20a^{2}+9a$，值为$-98$；(2)$-7$。
首先对式子$3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)$进行化简：
$\begin{aligned}&3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)\\=&6a^{3}-12a^{2}+9a-(6a^{3}+8a^{2})\\=&6a^{3}-12a^{2}+9a - 6a^{3}-8a^{2}\\=&(6a^{3}-6a^{3})+(-12a^{2}-8a^{2})+9a\\=& - 20a^{2}+9a\end{aligned}$
当$a = - 2$时，代入上式得：
$-20×(-2)^{2}+9×(-2)=-20×4 - 18=-80 - 18=-98$
(2)
先将$x(x - m)+n(x + m)$展开：
$\begin{aligned}x(x - m)+n(x + m)&=x^{2}-mx+nx + nm\\&=x^{2}+(n - m)x + nm\end{aligned}$
因为$x(x - m)+n(x + m)=x^{2}+5x - 6$对任意实数$x$都成立，所以可得：
$\begin{cases}n - m = 5\\nm=-6\end{cases}$
由$n - m = 5$得$n = m + 5$，将其代入$nm=-6$可得：
$(m + 5)m=-6$，即$m^{2}+5m + 6 = 0$，因式分解得$(m + 2)(m + 3)=0$
解得$m=-2$或$m=-3$
当$m = - 2$时，$n = 3$；当$m = - 3$时，$n = 2$
当$m=-2,n = 3$时，$m(n - 1)+n(m + 1)=-2×(3 - 1)+3×(-2 + 1)=-4-3=-7$
当$m=-3,n = 2$时，$m(n - 1)+n(m + 1)=-3×(2 - 1)+2×(-3 + 1)=-3-4=-7$
综上，答案依次为：(1)化简结果为$-20a^{2}+9a$，值为$-98$；(2)$-7$。
15. 如图，计算阴影部分的面积.
(1)用含有 $a、b$ 的代数式表示阴影部分的面积.
(2)当 $a = 2，b = 4$ 时，阴影部分的面积是多少？
(1)用含有 $a、b$ 的代数式表示阴影部分的面积.
(2)当 $a = 2，b = 4$ 时，阴影部分的面积是多少？
答案
(1) 大长方形的长为 $a + 3b + a = 2a + 3b$，宽为 $2a + b$，
面积为：$(2a + 3b)(2a + b)$，
中间空白部分长方形的长为 $3b$，宽为 $2a$，
面积为：$6ab$，
阴影部分面积为：
$(2a + 3b)(2a + b) - 6ab$
$= 4a^{2} + 2a b+ 6ab + 3b^{2} - 6ab$
$= 4a^{2} + 2ab + 3b^{2}$
(2) 当 $a = 2$，$b = 4$ 时，
上式 $= 4 × 2^{2} + 2 × 2 × 4 + 3 × 4^{2}$
$= 16 + 16 + 48$
$ = 80$
故阴影部分面积是$80$。
面积为：$(2a + 3b)(2a + b)$，
中间空白部分长方形的长为 $3b$，宽为 $2a$，
面积为：$6ab$，
阴影部分面积为：
$(2a + 3b)(2a + b) - 6ab$
$= 4a^{2} + 2a b+ 6ab + 3b^{2} - 6ab$
$= 4a^{2} + 2ab + 3b^{2}$
(2) 当 $a = 2$，$b = 4$ 时，
上式 $= 4 × 2^{2} + 2 × 2 × 4 + 3 × 4^{2}$
$= 16 + 16 + 48$
$ = 80$
故阴影部分面积是$80$。
16. 阅读下面的材料，并解答后面的问题.
已知 $x^{2}y = 3$，求 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$ 的值.
分析：考虑到满足 $x^{2}y = 3$ 的 $x、y$ 的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将 $x^{2}y = 3$ 整体代入.
解：$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y = 2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y = 2×3^{3}-6×3^{2}-8×3=-24$.
问题：已知 $ab = 3$，求 $(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)·(-2b)$ 的值.
已知 $x^{2}y = 3$，求 $2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$ 的值.
分析：考虑到满足 $x^{2}y = 3$ 的 $x、y$ 的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将 $x^{2}y = 3$ 整体代入.
解：$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y = 2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y = 2×3^{3}-6×3^{2}-8×3=-24$.
问题：已知 $ab = 3$，求 $(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)·(-2b)$ 的值.
答案
. 原式$=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab$.
当$ab = 3$时，原式$=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3=-78$.
当$ab = 3$时，原式$=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3=-78$.
解析
解：$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)·(-2b)$
$=2a^{3}b^{2}·(-2b)-3a^{2}b·(-2b)+4a·(-2b)$
$=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab$
$=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab$
因为$ab = 3$，所以原式$=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3$
$=-4×27 + 6×9 - 24$
$=-108 + 54 - 24$
$=-78$
$=2a^{3}b^{2}·(-2b)-3a^{2}b·(-2b)+4a·(-2b)$
$=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab$
$=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab$
因为$ab = 3$，所以原式$=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3$
$=-4×27 + 6×9 - 24$
$=-108 + 54 - 24$
$=-78$
