如图1,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.
(1)求证:BE=DF;
(2)当$\frac{DF}{FC}=\frac{AD}{DF}$时,求证:四边形BEFG是平行四边形.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=AD$，$∠ ABE=∠ ADF$，
∵ $∠ BAF=∠ DAE$，
∴ $∠ BAF - ∠ EAF = ∠ DAE - ∠ EAF$，
即 $∠ BAE=∠ DAF$。
在$△ BAE$和$△ DAF$中：
$\begin{cases}∠ BAE=∠ DAF \\AB=AD \\∠ ABE=∠ ADF\end{cases}$
∴ $△ BAE ≌ △ DAF$（ASA），
∴ $BE=DF$。
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(2) 证明：
由(1)得 $BE=DF$，
∵ $\dfrac{DF}{FC}=\dfrac{AD}{DF}$，
∴ $\dfrac{BE}{FC}=\dfrac{AD}{BE}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AD// BC$，
∴ $△ ADG ∽ △ EBG$，
∴ $\dfrac{DG}{BG}=\dfrac{AD}{BE}$，
结合$\dfrac{BE}{FC}=\dfrac{AD}{BE}$可得 $\dfrac{DG}{BG}=\dfrac{DF}{FC}$，
根据平行线分线段成比例的逆定理，得 $GF// BC$，即 $GF// BE$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $BC=CD$，
∴ $∠ DBC=∠ BDC$，
又∵ $GF// BC$，
∴ $∠ DGF=∠ DBC$，
∴ $∠ DGF=∠ BDC$，
∴ $GF=DF$，
∵ $DF=BE$，
∴ $GF=BE$。
又∵ $GF// BE$，一组对边平行且相等，
∴ 四边形BEFG是平行四边形。