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7. 如图，在菱形ABCD中，∠B=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是。
$y=kx+b$
$y=kx+b$
答案
$\boldsymbol{55°}$
解析
解：连接BE，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，∠DAE=∠BAE，∠ABC=∠ADC=70°，∠BAD=180°-∠ABC=110°，
又∵ AE为公共边，
∴ △ADE ≌ △ABE（SAS），
∴ ∠ADE = ∠ABE。
∵ 点E在AB的垂直平分线上，
∴ AE=BE，
∴ ∠ABE = ∠BAE。
∵ AC是菱形的对角线，平分∠BAD，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}×110°=55°$，
∴ ∠ABE = 55°，
∴ ∠ADE = 55°。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，∠DAE=∠BAE，∠ABC=∠ADC=70°，∠BAD=180°-∠ABC=110°，
又∵ AE为公共边，
∴ △ADE ≌ △ABE（SAS），
∴ ∠ADE = ∠ABE。
∵ 点E在AB的垂直平分线上，
∴ AE=BE，
∴ ∠ABE = ∠BAE。
∵ AC是菱形的对角线，平分∠BAD，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}×110°=55°$，
∴ ∠ABE = 55°，
∴ ∠ADE = 55°。
8. 如图，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-2,0)$和$B(2,2)$，若当$x＞0$时，对于$x$的每一个值，总有函数$y=x+n$的值大于一次函数$y=kx+b$的值，则$n$的取值范围是。
答案
解：
将点$A(-2,0)$和$B(2,2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 0 \\2k + b = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2} \\b=1\end{cases}$
因此该一次函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x + 1$。
由题意，当$x＞0$时，$x+n ＞ \dfrac{1}{2}x + 1$恒成立，整理得：
$\dfrac{1}{2}x + n - 1 ＞ 0$
函数$y=\dfrac{1}{2}x +n -1$中，$\dfrac{1}{2}＞0$，$y$随$x$的增大而增大，要使$x＞0$时$y＞0$恒成立，只需当$x=0$时，$n-1\ge0$，即$n\ge1$。
故$n$的取值范围是$\boldsymbol{n\ge1}$。
将点$A(-2,0)$和$B(2,2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 0 \\2k + b = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2} \\b=1\end{cases}$
因此该一次函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x + 1$。
由题意，当$x＞0$时，$x+n ＞ \dfrac{1}{2}x + 1$恒成立，整理得：
$\dfrac{1}{2}x + n - 1 ＞ 0$
函数$y=\dfrac{1}{2}x +n -1$中，$\dfrac{1}{2}＞0$，$y$随$x$的增大而增大，要使$x＞0$时$y＞0$恒成立，只需当$x=0$时，$n-1\ge0$，即$n\ge1$。
故$n$的取值范围是$\boldsymbol{n\ge1}$。
9. 已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,2)$和点$(-1,4)$。
(1)求这个函数的解析式；
(2)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，画出函数图象；
(3)当$-1≤ x＜3$时，求出$y$的取值范围。
(1)求这个函数的解析式；
(2)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，画出函数图象；
(3)当$-1≤ x＜3$时，求出$y$的取值范围。
答案
解：
(1) 将点$(1,2)$和$(-1,4)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -k + b = 4 \end{cases}$
两式相加得$2b=6$，解得$b=3$，
将$b=3$代入$k+b=2$，得$k=-1$。
所以这个函数的解析式为$y=-x+3$。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(1,2)$和点$(-1,4)$，过这两个点作直线，该直线即为函数$y=-x+3$的图象。
(3) 因为$k=-1＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-1$时，$y=-(-1)+3=4$；
当$x=3$时，$y=-3+3=0$。
又因为$-1≤ x＜3$，所以$y$的取值范围是$0＜y≤4$。
(1) 将点$(1,2)$和$(-1,4)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -k + b = 4 \end{cases}$
两式相加得$2b=6$，解得$b=3$，
将$b=3$代入$k+b=2$，得$k=-1$。
所以这个函数的解析式为$y=-x+3$。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(1,2)$和点$(-1,4)$，过这两个点作直线，该直线即为函数$y=-x+3$的图象。
(3) 因为$k=-1＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-1$时，$y=-(-1)+3=4$；
当$x=3$时，$y=-3+3=0$。
又因为$-1≤ x＜3$，所以$y$的取值范围是$0＜y≤4$。
10. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是DC边上一点，连接EO并延长交AB于点F. 若OA=OC，AB//CD.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.
(2)若DE=1，AC+BD=10，△AOB的周长为9，求AF的长.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.
(2)若DE=1，AC+BD=10，△AOB的周长为9，求AF的长.
答案
(1) 证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAB = ∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAB = ∠ OCD \\OA = OC \\∠ AOB = ∠ COD\end{array} $
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（ASA），
∴ $OB = OD$，
又∵ $OA = OC$，即四边形$ABCD$对角线互相平分，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
---
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = \frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$，$AB = CD$，
∵ $AC + BD = 10$，
∴ $OA + OB = \frac{1}{2}(AC + BD) = 5$，
∵ $△ AOB$的周长为9，即$OA + OB + AB = 9$，
∴ $AB = 9 - (OA + OB) = 9 - 5 = 4$，
∴ $CD = AB = 4$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAF = ∠ OCE$，
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAF = ∠ OCE \\OA = OC \\∠ AOF = ∠ COE\end{array} $
∴ $△ AOF ≌ △ COE$（ASA），
∴ $AF = CE$。
∵ $CE = CD - DE = 4 - 1 = 3$，
∴ $AF = 3$。
答：$AF$的长为3。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAB = ∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAB = ∠ OCD \\OA = OC \\∠ AOB = ∠ COD\end{array} $
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（ASA），
∴ $OB = OD$，
又∵ $OA = OC$，即四边形$ABCD$对角线互相平分，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
---
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = \frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$，$AB = CD$，
∵ $AC + BD = 10$，
∴ $OA + OB = \frac{1}{2}(AC + BD) = 5$，
∵ $△ AOB$的周长为9，即$OA + OB + AB = 9$，
∴ $AB = 9 - (OA + OB) = 9 - 5 = 4$，
∴ $CD = AB = 4$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAF = ∠ OCE$，
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAF = ∠ OCE \\OA = OC \\∠ AOF = ∠ COE\end{array} $
∴ $△ AOF ≌ △ COE$（ASA），
∴ $AF = CE$。
∵ $CE = CD - DE = 4 - 1 = 3$，
∴ $AF = 3$。
答：$AF$的长为3。
