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12. 小正方形网格如图所示，点A,B,C,D,O均为格点，那么∠AOB
＞
∠COD.（填“＞”“＜”或“=”）答案
12. ＞ 解析:如图,取格点 E,使 OA = OE,作射线 OE,根据网格特点,易得 ∠AOB = ∠DOE,因为 ∠DOE ＞ ∠COD,所以 ∠AOB ＞ ∠COD.
13. 观察下图,回答下列问题:
(1)如图①,在∠AOB内部画1条射线OC,则图中有
(2)如图②,在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图中有
(3)如图③,在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图中有
(4)在∠AOB内部画10条射线OC,OD,OE,…,则图中有
(5)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,…,则图中有
(1)如图①,在∠AOB内部画1条射线OC,则图中有
3
个不同的角;(2)如图②,在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图中有
6
个不同的角;(3)如图③,在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图中有
10
个不同的角;(4)在∠AOB内部画10条射线OC,OD,OE,…,则图中有
66
个不同的角;(5)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,…,则图中有
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
个不同的角.答案
13. (1)3 解析:有 1+2=3(个)不同的角.
(2)6 解析:有 1+2+3=6(个)不同的角.
(3)10 解析:有 1+2+3+4=10(个)不同的角.
(4)66 解析:有 1+2+3+4+…+11=66(个)不同的角.
(5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 解析:在∠AOB 内部画 n 条射线 OC,OD,OE,…,则图中有 1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个不同的角,故答案为$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
(2)6 解析:有 1+2+3=6(个)不同的角.
(3)10 解析:有 1+2+3+4=10(个)不同的角.
(4)66 解析:有 1+2+3+4+…+11=66(个)不同的角.
(5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 解析:在∠AOB 内部画 n 条射线 OC,OD,OE,…,则图中有 1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个不同的角,故答案为$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
14. 以$∠ AOB$的顶点$O$为端点引射线$OC$,使$∠ AOC: ∠ BOC = 5:4$,若$∠ AOB = 27°$,求$∠ AOC$的度数.(本题中的角均为小于$180°$的角)
答案
14. ①如图①,当射线 OC 在 ∠AOB 的内部时,设 ∠AOC = 5x,∠BOC = 4x,因为 ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 27°,所以 5x + 4x = 27°,解得 x = 3°,所以 ∠AOC = 5x = 15°.
②如图②,当射线 OC 在 ∠AOB 的外部时,设 ∠AOC = 5x,∠BOC = 4x,因为 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, ∠AOB = 27°,所以 5x = 27° + 4x,解得 x = 27°,所以 ∠AOC = 5x = 135°.
故∠AOC 的度数为 15°或 135°.
15. (1)中午12点15分时,钟表上的时针和分针所成的较小角是
(2)在2时到4时之间,时针和分针的夹角会有成90°的情形,则满足条件的时间点一共有
82.5
°.(2)在2时到4时之间,时针和分针的夹角会有成90°的情形,则满足条件的时间点一共有
3
个.答案
15. (1)82.5 解析:因为钟表上一共有 12 个大格,所以每个大格 30°.因为时针在钟面上每分钟转 0.5°,分针每分钟转6°,所以 12 点 15 分时,时针指向 12 与 1 之间,分针指向3,所以分针与时针的夹角(较小角)是 6°×15 - 0.5°×15 = 82.5°.
(2)3 解析:2 时和 3 时之间时,设 2 时 x 分,时针和分针的夹角会成 90°,则 6x - (60 + 0.5x) = 90 或 6x - (60 + 0.5x) = 270,解得 $x=\frac{300}{11}$或 x=60(舍去),即 2 时$\frac{300}{11}$分时,时针和分针的夹角会成 90°;3 时整,时针与分针的夹角为 90°;3 时和 4 时之间时,设 3 时 x 分,时针和分针的夹角会成90°,则 6x - (90 + 0.5x) = 90,解得 $x=\frac{360}{11}$,即 3 时$\frac{360}{11}$分时,时针和分针的夹角会成 90°.综上,2 时$\frac{300}{11}$分或 3 时整或3 时$\frac{360}{11}$分时,时针和分针的夹角会成 90°.故有 3 个时间点.
(2)3 解析:2 时和 3 时之间时,设 2 时 x 分,时针和分针的夹角会成 90°,则 6x - (60 + 0.5x) = 90 或 6x - (60 + 0.5x) = 270,解得 $x=\frac{300}{11}$或 x=60(舍去),即 2 时$\frac{300}{11}$分时,时针和分针的夹角会成 90°;3 时整,时针与分针的夹角为 90°;3 时和 4 时之间时,设 3 时 x 分,时针和分针的夹角会成90°,则 6x - (90 + 0.5x) = 90,解得 $x=\frac{360}{11}$,即 3 时$\frac{360}{11}$分时,时针和分针的夹角会成 90°.综上,2 时$\frac{300}{11}$分或 3 时整或3 时$\frac{360}{11}$分时,时针和分针的夹角会成 90°.故有 3 个时间点.
16. 图①是由一副三角尺拼成的图案,根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)图①中,∠EBC的度数为
(2)能否将图①中的三角尺ABC绕点B逆时针旋转α度(0°＜α＜90°,如图②),使旋转后的∠ABE=2∠DBC?若能,求出α的度数;若不能,请说明理由.
(3)能否将图①中的三角尺ABC绕点B顺时针旋转α度(0°＜α＜90°,如图③),使旋转后的∠ABE=2∠DBC?请直接回答,不必说明理由.
(1)图①中,∠EBC的度数为
150°
.(2)能否将图①中的三角尺ABC绕点B逆时针旋转α度(0°＜α＜90°,如图②),使旋转后的∠ABE=2∠DBC?若能,求出α的度数;若不能,请说明理由.
(3)能否将图①中的三角尺ABC绕点B顺时针旋转α度(0°＜α＜90°,如图③),使旋转后的∠ABE=2∠DBC?请直接回答,不必说明理由.
答案
16. (1)150° 解析:∠EBC = ∠ABC + ∠EBD = 60° + 90° = 150°.
(2)能.第一种情况:若逆时针旋转 α 度(0°＜α＜60°),根据题意得 90° - α = 2(60° - α),得 α = 30°;第二种情况,若逆时针旋转 α 度(60° ≤ α ＜ 90°),根据题意得 90° - α = 2(α - 60°),得 α = 70°,故 α 为 30°或 70°.
(3)不能. 解析:理由如下:若顺时针旋转 α 度,根据题意得 90° + α = 2(60° + α),得 α = -30°. 因为 0°＜α＜90°,所以 α = -30°不符合题意,故不能.
(2)能.第一种情况:若逆时针旋转 α 度(0°＜α＜60°),根据题意得 90° - α = 2(60° - α),得 α = 30°;第二种情况,若逆时针旋转 α 度(60° ≤ α ＜ 90°),根据题意得 90° - α = 2(α - 60°),得 α = 70°,故 α 为 30°或 70°.
(3)不能. 解析:理由如下:若顺时针旋转 α 度,根据题意得 90° + α = 2(60° + α),得 α = -30°. 因为 0°＜α＜90°,所以 α = -30°不符合题意,故不能.
