22. (8分) 新趋势 尺规作图 已知$A,B,C,D$四点在同一圆上,请仅用无刻度直尺完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1) 如图①,$AB=CD$,在图①中作出该圆的一条直径;
(2) 如图②,$AB,BC,CD$是圆内接正五边形的三条边,在图②中作出该圆的圆心.

22. (1)如图①,EF 即为所求.
解析:连接 AD,BC 交于点 K,延长 BA 交 DC 的延长线于点 G,作直线 KG 交圆于点 E,F,线段 EF 即为该圆的一条直径.
(2)如图②,点 O 即为所求.
解析:连接 AC,BD 交于点 K,延长 DC,AB 交于点 G,连接GK 交圆于点 P,连接 BP 与 AC 交于点 Q,连接 DQ 交 GP于点 O,点 O 即为该圆的圆心.

【分析】
(1) 要作出圆的直径，已知AB=CD且四点共圆，先确定圆内接四边形的对边交点，结合圆的几何性质，直线KG与圆的交点连线即为直径；
(2) 要找圆的圆心，利用圆内接正五边形的边的性质，通过连接对角线、延长边找交点，逐步构造出圆心，结合正五边形的对称性和圆的性质完成作图。
【解析】
(1) ①连接AD、BC，两线交于点K；②延长BA、DC，两线交于点G；③作直线KG，直线KG与圆交于E、F两点，线段EF即为该圆的一条直径；
(2) ①连接AC、BD，两线交于点K；②延长AB、DC，两线交于点G；③连接GK，GK与圆交于点P；④连接BP，BP与AC交于点Q；⑤连接DQ，DQ与GK交于点O，点O即为该圆的圆心。
【答案】
(1) 如图①，EF即为所求。
(2) 如图②，点O即为所求。
【知识点】
圆的性质、尺规作图、正多边形与圆
【点评】
本题考查仅用无刻度直尺的尺规作图，需结合圆内接四边形、正五边形的性质，通过构造交点连线完成作图，对几何性质的应用能力要求较高。
【难度系数】
0.4

23. (12 分)(2025·宿迁期中)【了解概念】我们知道,折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形. 如图①,线段$MQ$,$QN$组成折线段$MQN$. 若点$P$在折线段$MQN$上,$MP = PQ + QN$, 则称点$P$是折线段$MQN$的中点.
【理解应用】
(1)如图②,$\odot O$的半径为 2,$PA$是$\odot O$的切线,$A$为切点,点$B$是折线段$POA$的中点. 若$∠ APO=30^{ \circ }$,则$PB=$.
【定理证明】
(2)阿基米德折弦定理:如图③,$AB$和$BC$是$\odot O$的两条弦(即折线段$ABC$是圆的一条折弦),$BC＞AB$,点$M$是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,从$M$向$BC$作垂线,垂足为$D$,求证:$D$是折弦$ABC$的中点.
【变式探究】
(3)如图④,若点$M$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【定理证明】中的其他条件不变,则$CD$,$DB$,$BA$之间存在怎样的数量关系? 请直接写出结论.
【灵活应用】
(4)如图⑤,$BC$是$\odot O$的直径,点$A$为$\odot O$上一定点,点$D$为$\odot O$上一动点,且满足$∠ DAB=45^{ \circ }$,若$AB=8$,$BC=10$,则$AD=$.

23. (1)3 解析:
∵ PA 是$\odot O$ 的切线,A 为切点,
∴ $PA⊥AO$,
∴ $∠PAO=90°$.
∵ $∠APO=30°$,$AO=2$,
∴ $PO=4$,
∴ $PO+AO=6$.
∵ 点 B 是折线段 POA 的中点,
∴ $PB=3$.
(2)在 BC 上截取 $CG=AB$,连接 MC,MG,MB,MA,如图①,
∵ 点 M 是$\overgroup{ABC}$的中点,
∴ $MA=MC$.
∵ $∠A=∠C$,
∴ $△MAB≌△MCG(SAS)$,
∴ $MB=MG$.
∵ $MD⊥BC$,
∴ $BD=DG$,
∴ $AB+BD=CG+DG=CD$,
∴ D 是折弦 ABC 的中点.
(3)$AB+CD=BD$. 解析:在 BD 上截取 $BG=AB$,连接MC,MA,MB,MG,如图②.
∵ 点 M 是$\overgroup{AC}$的中点,
∴ $AM=CM$,
∴ $∠ABM=∠MBG$,
∴ $△MAB≌△MGB(SAS)$,
∴ $MA=MG$,
∴ $MC=MG$.
∵ $DM⊥BC$,
∴ $CD=DG$,
∴ $AB+CD=BG+DG=BD$.
(4)$7\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$ 解析:
∵ BC 是$\odot O$ 的直径,
∴ $∠BAC=90°$.
∵ $AB=8$,$BC=10$,
∴ $AC=6$.当点 D 与点 A 在 BC 两侧时.
∵ $∠DAB=45°$,
∴ $∠DAB=∠DAC=45°$.过点 D 作 $DG⊥AB$于点 G,如图③,
∴ $BG+AC=AG$,
∴ $AG=\frac{1}{2}×(6+8)=7$,
∴ $AD=7\sqrt{2}$.当点 D 与点 A 在 BC 同侧时,$∠BAD=45°$,过点 D 作 $DH⊥AB$ 于点 H,如图④.
∵ $AH+AC=BH$,
∴ $AH=\frac{1}{2}×(8-6)=1$,
∴ $AD=\sqrt{2}$.综上所述,AD 的长为$7\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$.

【分析】
本题为圆相关的几何综合题，分四小问，解题思路如下：
(1) 先利用切线性质得到直角三角形，结合含30°角的直角三角形性质求出PO，再根据折线段中点定义计算PB；
(2) 采用截长补短法，在BC上截取CG=AB，通过SAS证三角形全等得MB=MG，再用等腰三角形三线合一及线段和差，证明D是折弦ABC的中点；
(3) 同样用截长补短法，在BD上截取BG=AB，证三角形全等后，结合等腰三线合一推导出CD、DB、BA的数量关系；
(4) 利用直径所对圆周角为直角求出AC，分点D在BC两侧两种情况，结合45°角的性质作垂线，通过线段和差求相关线段，进而计算AD长度。
【解析】
(1) 因为PA是⊙O的切线，A为切点，所以PA⊥AO，即∠PAO=90°。在Rt△PAO中，∠APO=30°，AO=2，根据含30°角的直角三角形性质，得PO=2AO=4。点B是折线段POA的中点，折线段POA总长为PO+AO=6，故PB=6÷2=3。
(2) 证明：在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA。因为点M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点，所以MA=MC，且同弧所对圆周角相等，∠MAB=∠MCG。在△MAB和△MCG中，$\{\begin{array}{l}AB=CG\\∠MAB=∠MCG\\MA=MC\end{array} $，所以△MAB≌△MCG(SAS)，得MB=MG。又MD⊥BC，根据等腰三角形三线合一，BD=DG，因此AB+BD=CG+DG=CD，即D是折弦ABC的中点。
(3) 结论：AB+CD=BD。解析：在BD上截取BG=AB，连接MC、MA、MB、MG。因为点M是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以AM=CM，∠ABM=∠MBG。在△MAB和△MGB中，$\{\begin{array}{l}AB=BG\\∠ABM=∠MBG\\MB=MB\end{array} $，所以△MAB≌△MGB(SAS)，得MA=MG，故MC=MG。又DM⊥BC，所以CD=DG，因此AB+CD=BG+DG=BD。
(4) 因为BC是⊙O的直径，所以∠BAC=90°。已知AB=8，BC=10，由勾股定理得AC=√(10²-8²)=6。分两种情况：
① 点D与A在BC两侧时，∠DAB=45°，则∠DAC=45°，过D作DG⊥AB于G，得AG=(8+6)/2=7，在Rt△ADG中，AD=7/sin45°=7√2；
② 点D与A在BC同侧时，∠BAD=45°，过D作DH⊥AB于H，得AH=(8-6)/2=1，在Rt△ADH中，AD=1/sin45°=√2。
综上，AD的长为7√2或√2。
【答案】
(1) 3；
(2) 证明如上；
(3) AB+CD=BD；
(4) 7√2或√2；

【知识点】
切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理
【点评】
本题围绕圆的折弦定理展开，综合考查切线性质、圆周角定理、全等三角形、等腰三角形等知识点，需掌握截长补短的几何证明方法，同时注重分情况讨论思想，对几何综合能力要求较高，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5