18. (7 分) 新趋势 尺规作图 （宿迁中考）在
$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1)如图①,点$O$在斜边$AB$上,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的圆交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,与边$AC$相切于点$F$.求证:$∠ 1=∠ 2$;
(2)在图②中作$\odot M$,使它满足以下条件:
①圆心在边$AB$上;②经过点$B$;③与边$AC$相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)

18. (1)连接 OF,
∵ AC 是$\odot O$ 的切线,
∴ $OF⊥AC$.
∵ $∠C=90°$,
∴ $OF // BC$,
∴ $∠1=∠OFB$.
∵ $OF=OB$,
∴ $∠OFB=∠2$,
∴ $∠1=∠2$.
(2)如图,$\odot M$ 即为所求.
解析:作$∠ABC$ 的平分线交 AC 于点 F,作 BF 的垂直平分线交 AB 于点 M,以 MB 为半径作圆.

【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，需结合切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质推导。连接OF，利用切线性质得OF⊥AC，结合∠C=90°推出OF//BC，得到∠1与∠OFB的关系；再由OF=OB，等腰三角形两底角相等得∠OFB=∠2，通过等量代换完成证明。
(2) 作满足条件的⊙M，需利用切线性质和尺规作图的基本方法：要使圆心在AB上、过点B且与AC相切，需找到到AC的距离等于MB的点，通过作∠ABC的平分线和BF的垂直平分线确定圆心M，再作圆即可。
【解析】
(1) 证明：连接OF，
∵ AC是⊙O的切线，
∴ OF⊥AC（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径）。
又
∵ ∠C=90°，即BC⊥AC，
∴ OF//BC（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴ ∠1=∠OFB（两直线平行，内错角相等）。
∵ OF=OB（⊙O的半径相等），
∴ △OFB为等腰三角形，
∴ ∠OFB=∠2（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠1=∠2（等量代换）。
(2) 作图：
① 作∠ABC的平分线，交AC于点F；
② 作线段BF的垂直平分线，交AB于点M；
③ 以M为圆心，MB长为半径作圆，⊙M即为所求（保留角平分线、垂直平分线的作图痕迹）。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 如图，⊙M即为所求。

【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图
【点评】
本题结合切线性质、等腰三角形性质考查几何证明与尺规作图，侧重考查学生对几何定理的应用能力和尺规作图的基本操作，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6

19. (8 分) 如图, 点 A, B, C 在 $\odot O$ 上, BO 平分$∠ ABC$.
(1)求证:$AB=BC$;
(2) 连接 AC, 若 $AC=6, AB=5$, 求 $\odot O$ 的半径.

19. (1)如图,连接 OA,OC.
∵ $OA=OB$,
∴ $∠OAB=∠OBA$.
∴ $∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OBA$. 同理,$∠COB=180°-2∠OBC$.
∵ BO 平分$∠ABC$,
∴ $∠OBC=∠OBA$,
∴ $∠AOB=∠COB$,
∴ $AB=BC$.
(2)如图,连接 AC,延长 BO 与 AC 交于点 D,与$\odot O$ 交于点 E.
∵ $AB=BC$,BO 平分$∠ABC$,
∴ $BE⊥AC$.
∵ BE 是$\odot O$ 的直径,
∴ $AD=DC=\frac{1}{2}AC=3$.
∵ $∠ADB=90°$,
∴ $AD^2+BD^2=AB^2$,
∴ $5^2=BD^2+3^2$,解得 $BD=4$. 设 $AO=BO=x$,则 $DO=BD-BO=4-x$.
∵ $OD⊥AD$,
∴ $AD^2+OD^2=AO^2$,
∴ $3^2+(4-x)^2=x^2$,解得 $x=\frac{25}{8}$,
∴ $\odot O$ 的半径为$\frac{25}{8}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明AB=BC，利用圆中“相等的圆心角所对的弦相等”的性质，通过连接OA、OC，结合等腰三角形性质和角平分线条件推导圆心角相等即可；第(2)问求圆的半径，需结合等腰三角形三线合一、垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理列方程求解。
【解析】
(1) 证明：连接OA、OC。
∵ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA，
∴ ∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OBA。
同理，OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBC，
∴ ∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=180°-2∠OBC。
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠OBA=∠OBC，
∴ ∠AOB=∠COB，
∴ AB=BC（相等的圆心角所对的弦相等）。
(2) 解：连接AC，延长BO交AC于D，交⊙O于E。
∵ AB=BC，BO平分∠ABC，
∴ BE⊥AC（等腰三角形三线合一），
又
∵ BE过圆心O，
∴ AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=3（垂径定理）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²，即5²=3²+BD²，
解得BD=4。
设⊙O的半径为x，则AO=BO=x，
∴ OD=BD-BO=4-x。
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
AD²+OD²=AO²，即3²+(4-x)²=x²，
展开化简得：25-8x=0，解得x=$\frac{25}{8}$。
∴ ⊙O的半径为$\frac{25}{8}$。
【答案】19. (1)证明见解析；(2)⊙O的半径为$\frac{25}{8}$。
【知识点】圆的弦与圆心角关系、垂径定理、勾股定理
【点评】本题是圆的综合题，综合考查圆的基本性质、等腰三角形性质及勾股定理的应用，解题核心是利用几何定理构造直角三角形，结合方程思想求解，难度适中。
【难度系数】0.6

20. (8分)(2025·绵阳中考)如图,在中心为$O$的正六边形$ABCDEF$中,点$G,H$分别在边$AF,CD$上,且不同于正六边形的顶点,$CH=FG$.
(1)证明:四边形$BGEH$为平行四边形;
(2)若正六边形的边长为4,以点$O$为圆心,$OB$为半径的扇形$BOF$与正六边形形成阴影部分,求图中阴影部分的面积.

20. (1)
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴ $BC=EF=CD=AF=AB=DE$,$∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC$.又 $CH=FG$,
∴ $△BCH≌△EFG(SAS)$,
∴ $BH=EG$.
∵ $CD=AF$,$CH=FG$,
∴ $CD-CH=AF-FG$,即 $DH=AG$,
∴ $△DEH≌△ABG(SAS)$,
∴ $EH=BG$,
∴ 四边形 BGEH 是平行四边形.
(2)如图,连接 OB,OA,OF,
∵ O 是正六边形 ABCDEF 的中心,
∴ $OB=OA=OF$,$∠BAF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$,
∴ $△AOB≌△AOF(SSS)$,
∴ $∠OAB=∠OAF=\frac{1}{2}∠BAF=60°$,
∴ $△OAB$ 和$△OAF$都是等边三角形,
∴ $OB=OA=OF=AB=AF=4$,$∠AOB=∠AOF=60°$,
∴ $∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°$,$S_{△AOB}=S_{△AOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=4\sqrt{3}$,
∴ $S_{扇形BOF}=\frac{120×4^2π}{360}=\frac{16π}{3}$,
∴ 阴影部分的面积为 $S_{扇形BOF}-S_{△AOB}-S_{△AOF}=\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$.

【分析】
要解决本题，第(1)问需证明四边形BGEH为平行四边形，根据平行四边形“两组对边分别相等”的判定定理，结合正六边形的边、角相等性质，利用已知CH=FG证明两组三角形全等，得到两组对边相等即可；第(2)问求阴影面积，需明确阴影是扇形BOF减去两个等边三角形的面积，先利用正六边形中心的性质确定扇形的圆心角和半径，再分别计算扇形与三角形的面积，最后作差得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ BC=EF=CD=AF=AB=DE，∠C=∠F，∠ABC=∠EFA。
又
∵ CH=FG，
在△BCH和△EFG中：
$\{\begin{array}{l} BC=EF \\ ∠C=∠F \\ CH=FG \end{array} $
∴ △BCH≌△EFG(SAS)，
∴ BH=EG。
∵ CD=AF，CH=FG，
∴ CD - CH = AF - FG，即 DH=AG。
在△DEH和△ABG中：
$\{\begin{array}{l} DE=AB \\ ∠D=∠FAB \\ DH=AG \end{array} $
∴ △DEH≌△ABG(SAS)，
∴ EH=BG。
∵ BH=EG，EH=BG，
∴ 四边形BGEH为平行四边形。
(2) 解：
连接OB、OA、OF，
∵ O是正六边形ABCDEF的中心，
∴ OB=OA=OF，正六边形每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即∠BAF=120°。
∵ OA=OB=AB=4，OA=OF=AF=4，
∴ △OAB和△OAF都是等边三角形，
∴ ∠AOB=∠AOF=60°，
∴ ∠BOF=∠AOB + ∠AOF=120°，
$S_{△AOB}=S_{△AOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，
$S_{扇形BOF}=\frac{120°×π×4^2}{360°}=\frac{16π}{3}$，
∴ 阴影部分面积 = $S_{扇形BOF} - S_{△AOB} - S_{△AOF} = \frac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$。
【答案】
阴影部分的面积为$\frac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查正六边形的性质、全等三角形与平行四边形的判定、扇形面积计算，解题关键是利用正六边形的边、角相等构造全等三角形，以及将阴影面积转化为扇形与三角形面积的差，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5

21. (9 分) (2025 · 辽宁中考) 如图, 在 $△ ABC$中, $AC=BC$, 以 $AB$ 为直径作 $\odot O$, 与 $AC$ 相交于点 $D$. 连接 $OC$, 与 $\odot O$ 相交于点 $E$.
(1) 如图①, 连接 $DE$, 求 $∠ ADE$ 的度数;
(2) 如图②, 若点 $D$ 为 $AC$ 的中点, 且 $AC=6$,求 $\overset{\frown}{DE}$ 的长.

21. (1)如图①,连接 OD,
∵ $CA=CB$,$OA=OB$,$OC=OC$,
∴ $△OAC≌△OBC(SSS)$,
∴ $∠AOC=∠BOC$.
∵ $∠AOC+∠BOC=180°$,
∴ $∠AOC=∠BOC=90°$.
∵ $OA=OD=OE$,
∴ $∠OAD=∠ODA$,$∠ODE=∠OED$.设$∠OAD=∠ODA=x$,$∠ODE=∠OED=y$,在四边形 OADE 中,
∵ $∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°$,
∴ $x+x+y+y+90°=360°$,
∴ $∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°$.
(2)如图②,连接 OD,
∵ $∠AOC=90°$,D 为 AC 中点,
∴ $OD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$,
∴ $OD=OA=AD=3$,
∴ $△ADO$为等边三角形,
∴ $∠AOD=60°$,
∴ $∠DOE=90°-60°=30°$,
∴ $\overgroup{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问求∠ADE的度数，解题思路为：先利用AC=BC、OA=OB、OC公共边证明△OAC≌△OBC，结合AB为直径（∠AOB=180°）推出∠AOC=90°；再连接OD，利用等腰三角形OA=OD、OD=OE的性质设角，结合四边形内角和为360°计算∠ADE。第(2)问求弧DE的长，解题思路为：利用直角三角形斜边中线定理，结合D是AC中点、AC=6得到OD=AD=3，再由OA=OD推出△ADO为等边三角形，求出∠DOE的度数，最后代入弧长公式计算弧长。
【解析】
(1) 如图①，连接OD。
在△OAC和△OBC中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC\\OA=OB\\OC=OC\end{array} $
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC。
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°。
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED。
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°，
即$x + (x + y) + y + 90° = 360°$，
化简得$2(x + y) = 270°$，
∴$x + y = 135°$，即∠ADE=135°。
(2) 如图②，连接OD。
∵∠AOC=90°，D为AC中点，AC=6，
∴在Rt△AOC中，OD是斜边AC的中线，
∴$OD = AD = \frac{1}{2}AC = 3$。
又
∵OA是⊙O的半径，OA=OD，
∴OA=OD=AD=3，即△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=∠AOC - ∠AOD=90° - 60°=30°。
根据弧长公式$l = \frac{nπr}{180}$，得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180} = \frac{π}{2}$。
【答案】
(1) ∠ADE=135°；
(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}$

【知识点】圆的性质，全等三角形，弧长公式
【点评】本题是几何综合题，综合考查全等三角形判定与性质、圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形判定及弧长计算，辅助线连接OD是解题关键，需熟练运用几何定理，逻辑推理要求适中。
【难度系数】0.5