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8. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=19, \\ax+by=-1\end{cases}$与$\begin{cases}3x-2y=9, \\bx+ay=-7\end{cases}$有相同的解，则$a+b-3$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-6$
C.$-8$
D.$-4$
A.$-1$
B.$-6$
C.$-8$
D.$-4$
答案
8.D
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个公共解能同时满足4个方程。解题时先把不含参数a、b的两个方程联立，求出x、y的公共解，再把公共解代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的方程组，最后计算a+b-3的值即可，也可通过整体相加直接求a+b简化计算。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x+3y=19 ①\\3x-2y=9 ②\end{cases}$
①×2得：$4x+6y=38$ ③
②×3得：$9x-6y=27$ ④
③+④得：$13x=65$，解得$x=5$
把$x=5$代入①得：$2×5+3y=19$，解得$y=3$
即公共解为$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$
将$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}5a+3b=-1 ⑤\\3a+5b=-7 ⑥\end{cases}$
⑤+⑥得：$8a+8b=-8$，两边同除以8得$a+b=-1$
则$a+b-3=-1-3=-4$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是理解同解方程组的含义，先求公共解再代入求参数是这类题的通用解法，灵活运用整体思想可减少运算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个公共解能同时满足4个方程。解题时先把不含参数a、b的两个方程联立，求出x、y的公共解，再把公共解代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的方程组，最后计算a+b-3的值即可，也可通过整体相加直接求a+b简化计算。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x+3y=19 ①\\3x-2y=9 ②\end{cases}$
①×2得：$4x+6y=38$ ③
②×3得：$9x-6y=27$ ④
③+④得：$13x=65$，解得$x=5$
把$x=5$代入①得：$2×5+3y=19$，解得$y=3$
即公共解为$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$
将$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}5a+3b=-1 ⑤\\3a+5b=-7 ⑥\end{cases}$
⑤+⑥得：$8a+8b=-8$，两边同除以8得$a+b=-1$
则$a+b-3=-1-3=-4$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是理解同解方程组的含义，先求公共解再代入求参数是这类题的通用解法，灵活运用整体思想可减少运算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9.若$|m-2|x+3y^{|m-1|}=23$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m=$
0
.答案
9.0
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。据此我们可以得到两个限制条件：第一，为了保证有两个未知数x、y，x的系数不能为0，否则方程就只含y一个未知数，不符合二元的要求；第二，为了满足“一次”的要求，y的次数必须等于1。我们只要分别求解这两个条件对应的式子，再取同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得：
1. y的次数为1，即$\left|m-1\right|=1$
解绝对值方程：
当$m-1=1$时，$m=2$；当$m-1=-1$时，$m=0$
2. x的系数不为0，即$\left|m-2\right|≠0$
解得$m≠2$
结合两个条件，排除$m=2$，因此$m=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题核心是对二元一次方程定义的应用，易错点是容易忽略未知数的系数不能为0的要求，直接得到m=2或0，导致多解，解题时要注意逐一验证定义的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。据此我们可以得到两个限制条件：第一，为了保证有两个未知数x、y，x的系数不能为0，否则方程就只含y一个未知数，不符合二元的要求；第二，为了满足“一次”的要求，y的次数必须等于1。我们只要分别求解这两个条件对应的式子，再取同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得：
1. y的次数为1，即$\left|m-1\right|=1$
解绝对值方程：
当$m-1=1$时，$m=2$；当$m-1=-1$时，$m=0$
2. x的系数不为0，即$\left|m-2\right|≠0$
解得$m≠2$
结合两个条件，排除$m=2$，因此$m=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题核心是对二元一次方程定义的应用，易错点是容易忽略未知数的系数不能为0的要求，直接得到m=2或0，导致多解，解题时要注意逐一验证定义的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
10. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=-m+1, \\ 3x+y=m+3,\end{cases}$则$x+y=$ ______ .
答案
10.1
解析
【分析】
观察给出的二元一次方程组的两个方程，x的系数和为1+3=4，y的系数和为3+1=4，常数项中含m的项互为相反数，因此可以直接将两个方程左右两边分别相加，得到4(x+y)的表达式，再化简即可直接求出x+y的值，无需单独求解x和y，简化计算过程。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases}x+3y=-m+1&① \\ 3x+y=m+3&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$(x+3y)+(3x+y)=(-m+1)+(m+3)$
左边合并同类项得：$4x+4y=4(x+y)$
右边化简得：$-m+1+m+3=4$
因此得到等式：$4(x+y)=4$
等式两边同时除以4，解得：$x+y=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组，整体思想，等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，解题时注意观察方程系数的特点，灵活运用整体法求解，比常规的代入消元、加减消元法更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察给出的二元一次方程组的两个方程，x的系数和为1+3=4，y的系数和为3+1=4，常数项中含m的项互为相反数，因此可以直接将两个方程左右两边分别相加，得到4(x+y)的表达式，再化简即可直接求出x+y的值，无需单独求解x和y，简化计算过程。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases}x+3y=-m+1&① \\ 3x+y=m+3&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$(x+3y)+(3x+y)=(-m+1)+(m+3)$
左边合并同类项得：$4x+4y=4(x+y)$
右边化简得：$-m+1+m+3=4$
因此得到等式：$4(x+y)=4$
等式两边同时除以4，解得：$x+y=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组，整体思想，等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，解题时注意观察方程系数的特点，灵活运用整体法求解，比常规的代入消元、加减消元法更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
11. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = a, \\ x + y = 3a\end{cases}$的解满足$3x -5y -7=0$，则$a$的值是 ______ 。
答案
11.7
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先求解含参数$a$的二元一次方程组，通过消元法用含$a$的代数式表示出$x$和$y$的值；第二步，因为方程组的解满足方程$3x-5y-7=0$，所以将用$a$表示的$x$、$y$代入该方程，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：先求解方程组$\begin{cases}x - y = a \quad① \\ x + y = 3a \quad②\end{cases}$
①+②可得：$2x=4a$，解得$x=2a$
将$x=2a$代入①式，得：$2a - y = a$，解得$y=a$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2a \\ y=a\end{cases}$
把$\begin{cases}x=2a \\ y=a\end{cases}$代入$3x -5y -7=0$，可得：
$3×2a - 5× a - 7 = 0$
化简得：$6a -5a -7 = 0$，即$a -7 = 0$
解得$a=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 解二元一次方程组
2. 一元一次方程求解
3. 方程解的应用
【点评】
本题是基础的含参数方程组应用题型，解题核心是先求出用参数表示的方程组的解，再代入满足的方程求解参数，重点考察对消元法解方程组的掌握程度，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，先求解含参数$a$的二元一次方程组，通过消元法用含$a$的代数式表示出$x$和$y$的值；第二步，因为方程组的解满足方程$3x-5y-7=0$，所以将用$a$表示的$x$、$y$代入该方程，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：先求解方程组$\begin{cases}x - y = a \quad① \\ x + y = 3a \quad②\end{cases}$
①+②可得：$2x=4a$，解得$x=2a$
将$x=2a$代入①式，得：$2a - y = a$，解得$y=a$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2a \\ y=a\end{cases}$
把$\begin{cases}x=2a \\ y=a\end{cases}$代入$3x -5y -7=0$，可得：
$3×2a - 5× a - 7 = 0$
化简得：$6a -5a -7 = 0$，即$a -7 = 0$
解得$a=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 解二元一次方程组
2. 一元一次方程求解
3. 方程解的应用
【点评】
本题是基础的含参数方程组应用题型，解题核心是先求出用参数表示的方程组的解，再代入满足的方程求解参数，重点考察对消元法解方程组的掌握程度，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x,y$的二元一次方程$(3x - 2y + 9) + m(2x + y - 1) = 0$，不论$m$取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是。
答案
12.$\begin{cases}x=-1, \\ y=3\end{cases}$
解析
【分析】
题目要求不论m取何值，方程都有固定不变的解，说明这个解的取值不会受m的影响，方程的成立和m无关。我们可以先把原方程整理为含m的项和不含m的项两部分相加的形式，要让整个等式无论m取何值都等于0，需满足两个条件：一是含m的项的系数为0（这样无论m取何值，这部分的值都为0），二是不含m的部分的结果也为0。据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到固定解。
【解析】
先整理原方程：
$(3x - 2y + 9) + m(2x + y - 1) = 0$
将含m的项和不含m的项分开，变形为：
$m(2x + y - 1) + (3x - 2y + 9) = 0$
因为不论m取何值等式都成立，因此可得方程组：
$\begin{cases}2x + y - 1 = 0&①\\3x - 2y + 9 = 0&②\end{cases}$
由①得：$y = 1 - 2x$ ③，将③代入②：
$\begin{aligned}3x - 2(1 - 2x) + 9 &= 0\\3x - 2 + 4x + 9 &= 0\\7x + 7 &= 0\\x &= -1\end{aligned}$
把$x=-1$代入③得：$y = 1 - 2×(-1) = 3$。
【答案】
$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；方程恒成立条件；二元一次方程的解
【点评】
本题是二元一次方程组应用的典型题型，解题核心是理解“方程恒成立与参数无关”的逻辑，通过分类整理含参数的项，将问题转化为二元一次方程组求解即可，解题时注意消元法的正确运用。
【难度系数】
0.6
题目要求不论m取何值，方程都有固定不变的解，说明这个解的取值不会受m的影响，方程的成立和m无关。我们可以先把原方程整理为含m的项和不含m的项两部分相加的形式，要让整个等式无论m取何值都等于0，需满足两个条件：一是含m的项的系数为0（这样无论m取何值，这部分的值都为0），二是不含m的部分的结果也为0。据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到固定解。
【解析】
先整理原方程：
$(3x - 2y + 9) + m(2x + y - 1) = 0$
将含m的项和不含m的项分开，变形为：
$m(2x + y - 1) + (3x - 2y + 9) = 0$
因为不论m取何值等式都成立，因此可得方程组：
$\begin{cases}2x + y - 1 = 0&①\\3x - 2y + 9 = 0&②\end{cases}$
由①得：$y = 1 - 2x$ ③，将③代入②：
$\begin{aligned}3x - 2(1 - 2x) + 9 &= 0\\3x - 2 + 4x + 9 &= 0\\7x + 7 &= 0\\x &= -1\end{aligned}$
把$x=-1$代入③得：$y = 1 - 2×(-1) = 3$。
【答案】
$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；方程恒成立条件；二元一次方程的解
【点评】
本题是二元一次方程组应用的典型题型，解题核心是理解“方程恒成立与参数无关”的逻辑，通过分类整理含参数的项，将问题转化为二元一次方程组求解即可，解题时注意消元法的正确运用。
【难度系数】
0.6
13.【本土文化】两河桃片是叙永的地方名小吃，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型.“五一”期间，小王花费4 300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片的售价贵5元，则每袋香甜味桃片的售价为
45
元.答案
13.45
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用题，解题时首先明确核心等量关系：购买香甜味桃片的总费用+购买椒盐味桃片的总费用=总花费4300元。我们先设每袋香甜味桃片的售价为未知数，再根据“每袋椒盐味桃片售价比香甜味贵5元”表示出椒盐味桃片的单价，最后结合“总价=单价×数量”的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每袋香甜味桃片的售价为$x$元，则每袋椒盐味桃片的售价为$(x+5)$元。
根据总花费为4300元，列方程：
$40x + 50(x+5) = 4300$
展开括号得：$40x + 50x + 250 = 4300$
合并同类项得：$90x + 250 = 4300$
移项计算得：$90x = 4050$
解得：$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的应用；总价=单价×数量
【点评】
本题结合地方特色文化创设情境，考查用方程解决实际购物问题的能力，解题核心是找准总花费对应的等量关系，属于基础应用类题目，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程实际应用题，解题时首先明确核心等量关系：购买香甜味桃片的总费用+购买椒盐味桃片的总费用=总花费4300元。我们先设每袋香甜味桃片的售价为未知数，再根据“每袋椒盐味桃片售价比香甜味贵5元”表示出椒盐味桃片的单价，最后结合“总价=单价×数量”的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每袋香甜味桃片的售价为$x$元，则每袋椒盐味桃片的售价为$(x+5)$元。
根据总花费为4300元，列方程：
$40x + 50(x+5) = 4300$
展开括号得：$40x + 50x + 250 = 4300$
合并同类项得：$90x + 250 = 4300$
移项计算得：$90x = 4050$
解得：$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的应用；总价=单价×数量
【点评】
本题结合地方特色文化创设情境，考查用方程解决实际购物问题的能力，解题核心是找准总花费对应的等量关系，属于基础应用类题目，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
14. 解下列方程或方程组：
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 16, \\ y = 6x;\end{cases}$
(2)
(3) $\frac{2x + 3}{2} - \frac{10x + 5}{8} = 1;$
(4) $\begin{cases}7x - 10 = 1 - y, \\ 4(x + y) - 1 = y - 2.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 16, \\ y = 6x;\end{cases}$
(2)
(3) $\frac{2x + 3}{2} - \frac{10x + 5}{8} = 1;$
(4) $\begin{cases}7x - 10 = 1 - y, \\ 4(x + y) - 1 = y - 2.\end{cases}$
答案
14. (1)$\begin{cases}x=-1, \\ y=-6.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1.\end{cases}$
(3)$x=-\dfrac{1}{2}.$
(4)$\begin{cases}x=2, \\ y=-3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1.\end{cases}$
(3)$x=-\dfrac{1}{2}.$
(4)$\begin{cases}x=2, \\ y=-3.\end{cases}$
解析
【分析】
本次是求解一元一次方程和二元一次方程组的基础计算题，各题解题思路如下：
(1) 该二元一次方程组中第二个方程直接给出y=6x，适合用代入消元法，将y=6x代入第一个方程，得到只含x的一元一次方程，求解x后再求y即可。
(2) 该二元一次方程组中x的系数为2和3，最小公倍数为6，采用加减消元法，先将两个方程乘对应系数消去x，求解y后代回求x即可。
(3) 该一元一次方程含分母，先去分母（两边同乘分母最小公倍数8），再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步求解即可。
(4) 先将两个二元一次方程整理为$ax+by=c$的标准形式，再观察系数选择加减消元法求解即可。
【解析】
(1) 对$\begin{cases}2x - 3y = 16&① \\ y = 6x&②\end{cases}$
将②代入①得：$2x - 3×6x = 16$
化简得$-16x=16$，解得$x=-1$
将$x=-1$代入②得$y=6×(-1)=-6$
(2) 对$\begin{cases}2x+5y=-1&①\\3x-7y=13&②\end{cases}$
①×3得：$6x+15y=-3$ ③
②×2得：$6x-14y=26$ ④
③-④得$29y=-29$，解得$y=-1$
将$y=-1$代入①得$2x+5×(-1)=-1$，解得$x=2$
(3) 解方程$\frac{2x + 3}{2} - \frac{10x + 5}{8} = 1$
去分母，两边同乘8得：$4(2x+3)-(10x+5)=8$
去括号得：$8x+12-10x-5=8$
移项合并同类项得：$-2x=1$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{2}$
(4) 先整理方程组$\begin{cases}7x - 10 = 1 - y \\ 4(x + y) - 1 = y - 2\end{cases}$
整理得$\begin{cases}7x+y=11&① \\ 4x+3y=-1&②\end{cases}$
①×3得：$21x+3y=33$ ③
③-②得$17x=34$，解得$x=2$
将$x=2$代入①得$7×2+y=11$，解得$y=-3$
【答案】
14. (1)$\begin{cases}x=-1, \\ y=-6.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1.\end{cases}$
(3)$x=-\dfrac{1}{2}.$
(4)$\begin{cases}x=2, \\ y=-3.\end{cases}$
【知识点】
一元一次方程求解，二元一次方程组求解，消元法
【点评】
本题是方程计算的基础题型，核心考察各类方程的基本解法，解题时要注意：去分母时不要漏乘无分母的项，消元或移项时注意符号变化，避免因粗心导致计算错误，求解后可将结果代回原方程检验是否成立。
【难度系数】
0.8
本次是求解一元一次方程和二元一次方程组的基础计算题，各题解题思路如下：
(1) 该二元一次方程组中第二个方程直接给出y=6x，适合用代入消元法，将y=6x代入第一个方程，得到只含x的一元一次方程，求解x后再求y即可。
(2) 该二元一次方程组中x的系数为2和3，最小公倍数为6，采用加减消元法，先将两个方程乘对应系数消去x，求解y后代回求x即可。
(3) 该一元一次方程含分母，先去分母（两边同乘分母最小公倍数8），再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步求解即可。
(4) 先将两个二元一次方程整理为$ax+by=c$的标准形式，再观察系数选择加减消元法求解即可。
【解析】
(1) 对$\begin{cases}2x - 3y = 16&① \\ y = 6x&②\end{cases}$
将②代入①得：$2x - 3×6x = 16$
化简得$-16x=16$，解得$x=-1$
将$x=-1$代入②得$y=6×(-1)=-6$
(2) 对$\begin{cases}2x+5y=-1&①\\3x-7y=13&②\end{cases}$
①×3得：$6x+15y=-3$ ③
②×2得：$6x-14y=26$ ④
③-④得$29y=-29$，解得$y=-1$
将$y=-1$代入①得$2x+5×(-1)=-1$，解得$x=2$
(3) 解方程$\frac{2x + 3}{2} - \frac{10x + 5}{8} = 1$
去分母，两边同乘8得：$4(2x+3)-(10x+5)=8$
去括号得：$8x+12-10x-5=8$
移项合并同类项得：$-2x=1$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{2}$
(4) 先整理方程组$\begin{cases}7x - 10 = 1 - y \\ 4(x + y) - 1 = y - 2\end{cases}$
整理得$\begin{cases}7x+y=11&① \\ 4x+3y=-1&②\end{cases}$
①×3得：$21x+3y=33$ ③
③-②得$17x=34$，解得$x=2$
将$x=2$代入①得$7×2+y=11$，解得$y=-3$
【答案】
14. (1)$\begin{cases}x=-1, \\ y=-6.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1.\end{cases}$
(3)$x=-\dfrac{1}{2}.$
(4)$\begin{cases}x=2, \\ y=-3.\end{cases}$
【知识点】
一元一次方程求解，二元一次方程组求解，消元法
【点评】
本题是方程计算的基础题型，核心考察各类方程的基本解法，解题时要注意：去分母时不要漏乘无分母的项，消元或移项时注意符号变化，避免因粗心导致计算错误，求解后可将结果代回原方程检验是否成立。
【难度系数】
0.8
