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15. 小鑫、小童两人同时解方程组$\begin{cases}\frac{1}{2}ax - by = 1, &① \\ax - y = 17 &②\end{cases}$时，小鑫看错了方程②中的$a$，解得$\begin{cases}x=4, \\y=1,\end{cases}$小童看错了方程①中的$b$，解得$\begin{cases}x=5, \\y=-7.\end{cases}$
(1)求正确的$a,b$的值；
(2)求原方程组正确的解。
(1)求正确的$a,b$的值；
(2)求原方程组正确的解。
答案
15. (1)$\begin{cases}a=2, \\ b=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
解析
【分析】
解决本题的核心逻辑是：看错某个方程中的参数时，求得的解仍然满足另一个没有看错的方程。首先把小鑫的解代入未看错的方程①，得到关于a、b的关系式；再把小童的解代入未看错的方程②，先求出a的值，再代入前面的关系式求出b的值。最后将正确的a、b代入原方程组，用消元法求解即可得到原方程组的正确解。
【解析】
(1) 因为小鑫看错了方程②中的$a$，所以$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$是方程①的解，代入①得：
$\frac{1}{2}a × 4 - b × 1 = 1$
化简得：$2a - b = 1$ ③
因为小童看错了方程①中的$b$，所以$\begin{cases}x=5 \\ y=-7\end{cases}$是方程②的解，代入②得：
$a × 5 - (-7) = 17$
计算得：$5a + 7 = 17$，解得$a=2$
把$a=2$代入③得：$2×2 - b = 1$，解得$b=3$
所以$a=2$，$b=3$。
(2) 把$a=2$，$b=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases}\frac{1}{2}×2x - 3y = 1 \\2x - y =17\end{cases}$
化简得$\begin{cases}x - 3y =1 &④\\2x - y =17 &⑤\end{cases}$
用加减消元法，⑤$×3$得：$6x - 3y =51$ ⑥
⑥$-$④得：$5x = 50$，解得$x=10$
把$x=10$代入④得：$10 - 3y =1$，解得$y=3$
所以原方程组的正确解为$\begin{cases}x=10 \\ y=3\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}a=2, \\ b=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的常见考法，解题关键是理解“看错参数的解仍符合未看错的方程”这一核心逻辑，再结合消元法求解即可，熟练掌握代入消元和加减消元法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心逻辑是：看错某个方程中的参数时，求得的解仍然满足另一个没有看错的方程。首先把小鑫的解代入未看错的方程①，得到关于a、b的关系式；再把小童的解代入未看错的方程②，先求出a的值，再代入前面的关系式求出b的值。最后将正确的a、b代入原方程组，用消元法求解即可得到原方程组的正确解。
【解析】
(1) 因为小鑫看错了方程②中的$a$，所以$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$是方程①的解，代入①得：
$\frac{1}{2}a × 4 - b × 1 = 1$
化简得：$2a - b = 1$ ③
因为小童看错了方程①中的$b$，所以$\begin{cases}x=5 \\ y=-7\end{cases}$是方程②的解，代入②得：
$a × 5 - (-7) = 17$
计算得：$5a + 7 = 17$，解得$a=2$
把$a=2$代入③得：$2×2 - b = 1$，解得$b=3$
所以$a=2$，$b=3$。
(2) 把$a=2$，$b=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases}\frac{1}{2}×2x - 3y = 1 \\2x - y =17\end{cases}$
化简得$\begin{cases}x - 3y =1 &④\\2x - y =17 &⑤\end{cases}$
用加减消元法，⑤$×3$得：$6x - 3y =51$ ⑥
⑥$-$④得：$5x = 50$，解得$x=10$
把$x=10$代入④得：$10 - 3y =1$，解得$y=3$
所以原方程组的正确解为$\begin{cases}x=10 \\ y=3\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}a=2, \\ b=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的常见考法，解题关键是理解“看错参数的解仍符合未看错的方程”这一核心逻辑，再结合消元法求解即可，熟练掌握代入消元和加减消元法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
16.【情境题】我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问：笔砚价各若干？”张老师根据此题改编了一道题目：“假设6方砚台的价格比4支毛笔的价格多180元，而3方砚台的价格比9支毛笔的价格少了120元，则毛笔和砚台的单价分别是多少？”
（1）求张老师题目中毛笔和砚台的单价.
（2）善于思考的小圆又根据张老师题中的条件编出一道题目：某校开设了书法课程，需购买砚台、毛笔和宣纸若干，已知购买毛笔的数量是砚台数量的3倍，购买宣纸用去320元，学校共花费2 420元.则该校购买砚台和毛笔的数量各是多少？
（1）求张老师题目中毛笔和砚台的单价.
（2）善于思考的小圆又根据张老师题中的条件编出一道题目：某校开设了书法课程，需购买砚台、毛笔和宣纸若干，已知购买毛笔的数量是砚台数量的3倍，购买宣纸用去320元，学校共花费2 420元.则该校购买砚台和毛笔的数量各是多少？
答案
16. 解:(1)设张老师题目中毛笔的单价为$x$元,砚台的单价为$y$元.
根据题意,得$\begin{cases}6y-4x=180, \\9x-3y=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30, \\ y=50.\end{cases}$
答:张老师题目中毛笔的单价为30元,砚台的单价为50元.
(2)设该校购买砚台$m$方,毛笔$n$支.
根据题意,得$\begin{cases}n=3m, \\50m+30n=2\ 420-320,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=15, \\ n=45.\end{cases}$
答:该校购买砚台15方,毛笔45支.
根据题意,得$\begin{cases}6y-4x=180, \\9x-3y=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30, \\ y=50.\end{cases}$
答:张老师题目中毛笔的单价为30元,砚台的单价为50元.
(2)设该校购买砚台$m$方,毛笔$n$支.
根据题意,得$\begin{cases}n=3m, \\50m+30n=2\ 420-320,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=15, \\ n=45.\end{cases}$
答:该校购买砚台15方,毛笔45支.
解析
【分析】
（1）第一问有毛笔单价、砚台单价两个未知量，可通过设双未知数，结合题目给出的两个价格等量关系列二元一次方程组求解。两个等量关系分别为：①6方砚台的总价减去4支毛笔的总价等于180元；②9支毛笔的总价减去3方砚台的总价等于120元，代入未知数得到方程组后用消元法求解即可。
（2）第二问有砚台购买数量、毛笔购买数量两个未知量，结合条件找等量关系：①毛笔购买数量是砚台购买数量的3倍；②购买砚台和毛笔的总花费等于学校总花费减去购买宣纸的花费，列方程组后代入消元求解即可。
【解析】
(1) 设张老师题目中毛笔的单价为$x$元，砚台的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}6y-4x=180, \\9x-3y=120,\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2得$18x-6y=240$，与第一个方程相加消去$y$：
$6y-4x+18x-6y=180+240$，化简得$14x=420$，解得$x=30$。
把$x=30$代入$9x-3y=120$，得$270-3y=120$，解得$y=50$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=30, \\ y=50.\end{cases}$
(2) 设该校购买砚台$m$方，毛笔$n$支。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}n=3m, \\50m+30n=2\ 420-320,\end{cases}$
先计算得$50m+30n=2100$，将$n=3m$代入该式得：
$50m+90m=2100$，化简得$140m=2100$，解得$m=15$。
把$m=15$代入$n=3m$，得$n=45$。
故方程组的解为$\begin{cases}m=15, \\ n=45.\end{cases}$
【答案】
（1）毛笔的单价为30元，砚台的单价为50元；
（2）该校购买砚台15方，毛笔45支。
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题结合古代数学典籍和校园生活情境设题，考查利用方程思想解决实际问题的能力，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，正确列出方程组，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
（1）第一问有毛笔单价、砚台单价两个未知量，可通过设双未知数，结合题目给出的两个价格等量关系列二元一次方程组求解。两个等量关系分别为：①6方砚台的总价减去4支毛笔的总价等于180元；②9支毛笔的总价减去3方砚台的总价等于120元，代入未知数得到方程组后用消元法求解即可。
（2）第二问有砚台购买数量、毛笔购买数量两个未知量，结合条件找等量关系：①毛笔购买数量是砚台购买数量的3倍；②购买砚台和毛笔的总花费等于学校总花费减去购买宣纸的花费，列方程组后代入消元求解即可。
【解析】
(1) 设张老师题目中毛笔的单价为$x$元，砚台的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}6y-4x=180, \\9x-3y=120,\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2得$18x-6y=240$，与第一个方程相加消去$y$：
$6y-4x+18x-6y=180+240$，化简得$14x=420$，解得$x=30$。
把$x=30$代入$9x-3y=120$，得$270-3y=120$，解得$y=50$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=30, \\ y=50.\end{cases}$
(2) 设该校购买砚台$m$方，毛笔$n$支。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}n=3m, \\50m+30n=2\ 420-320,\end{cases}$
先计算得$50m+30n=2100$，将$n=3m$代入该式得：
$50m+90m=2100$，化简得$140m=2100$，解得$m=15$。
把$m=15$代入$n=3m$，得$n=45$。
故方程组的解为$\begin{cases}m=15, \\ n=45.\end{cases}$
【答案】
（1）毛笔的单价为30元，砚台的单价为50元；
（2）该校购买砚台15方，毛笔45支。
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题结合古代数学典籍和校园生活情境设题，考查利用方程思想解决实际问题的能力，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，正确列出方程组，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
