【学以致用2】（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）

A.$f(x)=x,g(x)=\sqrt[3]{x^3}$
B.$f(x)=x,g(x)=\sqrt{x^2}$
C.$f(x)=x-1(x≠-1),g(x)=\frac{x^2 -1}{x+1}$
D.$f(x)=x+1,g(x)=x + x^0$

AC 函数$g(x)=\sqrt[3]{x^3}=x$,则函数$f(x)$与$g(x)$的定义域与对应关系完全相同,是同一个函数,故选项A正确;函数$g(x)=\sqrt{x^2}=|x|$,则函数$f(x)$与$g(x)$的对应关系不同,不是同一个函数,故选项B错误;函数$g(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=x-1(x≠-1)$,则函数$f(x)$与$g(x)$的定义域与对应关系完全相同,是同一个函数,故选项C正确;$g(x)=x+x^0=x+1(x≠0)$,则函数$f(x)$与$g(x)$的定义域不同,不是同一个函数,故选项D错误.

名师点拨
(1)函数$f(x)$与$f(g(x))$的定义域均指的是各自解析式中自变量$x$的取值范围，且$f(g(x))$中的$g(x)$与$f(x)$中的$x$在对应关系$f$下的取值范围相同。
(2)函数$f(x)$与$f(g(x))$中的“$x$”含义不同，只是用同一个字母来表示两个不同函数的自变量，因此它们的取值范围不一定相同。
【学以致用3】已知函数$f(x)$的定义域为$[-3,0]$，则函数$f(2x+1)$的定义域为________。

$[-2,-\dfrac{1}{2}]$ 因为函数$f(x)$的定义域为$[-3,0]$,所以令$-3≤2x+1≤0$,解得$-2≤x≤-\dfrac{1}{2}$,所以函数$f(2x+1)$的定义域为$[-2,-\dfrac{1}{2}].$

【典例1】求下列函数的定义域：
(1)$f(x)=\sqrt{\dfrac{2-x}{x-3}}$；
(2)$f(x)=\sqrt{x-2}+\dfrac{1}{x^2-4}+(x-3)^0$；
(3)$y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{4-2x}-1}$。
解题指导 根据偶次根式被开方数大于等于0、分母不为0、零次幂的底数不为0等列出不等式(组)求解，然后将定义域写成集合或区间的形式。
答案 解:(1)由题意，得$\dfrac{2-x}{x-3}≥0$，该不等式等价于$\begin{cases}(2-x)(x-3)≥0,\\x-3≠0,\end{cases}$解得$2≤ x＜3$，所以函数的定义域为$[2,3)$。
(2)由题意，得$\begin{cases}x-2≥0,\\x^2-4≠0,\\x-3≠0,\end{cases}$解得$x＞2$且$x≠3$，所以函数的定义域为$(2,3)\bigcup(3,+∞)$。
(3)由题意，得$\begin{cases}x+1≥0,\\4-2x≥0,\\\sqrt{4-2x}-1≠0,\end{cases}$解得$-1≤ x≤2$且$x≠\dfrac{3}{2}$，所以函数的定义域为$[-1,\dfrac{3}{2})\bigcup(\dfrac{3}{2},2]$。

解：
(1) 要使函数$f(x)=\sqrt{\dfrac{2-x}{x-3}}$有意义，需满足$\dfrac{2-x}{x-3}\ge0$，
该不等式等价于$\begin{cases}(2-x)(x-3)\ge0,\\x-3\ne0,\end{cases}$
解得$2\le x＜3$，
所以函数$f(x)$的定义域为$[2,3)$。
(2) 要使函数$f(x)=\sqrt{x-2}+\dfrac{1}{x^2-4}+(x-3)^0$有意义，需满足
$\begin{cases}x-2\ge0,\\x^2-4\ne0,\\x-3\ne0,\end{cases}$
解得$x＞2$且$x\ne3$，
所以函数$f(x)$的定义域为$(2,3)\cup(3,+∞)$。
(3) 要使函数$y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{4-2x}-1}$有意义，需满足
$\begin{cases}x+1\ge0,\\4-2x\ge0,\\\sqrt{4-2x}-1\ne0,\end{cases}$
解得$-1\le x\le2$且$x\ne\dfrac{3}{2}$，
所以函数$y$的定义域为$[-1,\dfrac{3}{2})\cup(\dfrac{3}{2},2]$。

【变式1】函数$f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{3x+2}} + x^0$的定义域为（）

A.$(-\frac{2}{3},+∞)$
B.$[-\frac{2}{3},0)\bigcup(0,+∞)$
C.$(-\frac{2}{3},0)\bigcup(0,+∞)$
D.$[-\frac{2}{3},+∞)$

C 由题意,得$\begin{cases}3x+2＞0,\\x≠0,\end{cases}$ 解得$x＞-\dfrac{2}{3}$且$x≠0$,即函数的定义域为$(-\dfrac{2}{3},0)\cup(0,+∞).$

【典例2】(1)已知函数$y=f(x)$的定义域为$[-2,2]$,则函数$y=f(2x+1)$的定义域为;
(2)已知函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,2)$,则
函数$f(x)$的定义域为;
(3)已知函数$f(x-1)$的定义域为$[-2,3]$,则函数$f(2x-1)$的定义域为.
解题指导 遵循两个原则:①在同一个对应关系$f$下,括号中式子的取值范围相同;②$f(g(x))$的定义域指的是其自变量$x$的取值范围,而非$g(x)$的取值范围.
解析 (1)因为函数$y=f(x)$的定义域为$[-2,2]$(即已知$y=f(g(x))$中$g(x)$的值域,求$g(x)$的定义域),所以在函数$y=f(2x+1)$中,令$-2≤ 2x+1≤ 2$,解得$-\frac{3}{2}≤ x≤ \frac{1}{2}$,所以函数$y=f(2x+1)$的定义域为$[-\frac{3}{2},\frac{1}{2}]$.
(2)因为函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,2)$(即已知$y=f(g(x))$中$g(x)$的定义域,求$g(x)$的值域),即$-2≤ x＜2$,所以$-1≤ x+1＜3$,所以函数$f(x)$的定义域为$[-1,3)$.
(3)因为函数$f(x-1)$的定义域为$[-2,3]$,所以$-2≤ x≤ 3$,所以$-3≤ x-1≤ 2$,即函数$f(x)$的定义域为$[-3,2]$,所以在函数$f(2x-1)$中,令$-3≤ 2x-1≤ 2$,解得$-1≤ x≤ \frac{3}{2}$,所以函数$f(2x-1)$的定义域为$[-1,\frac{3}{2}]$.
答案 (1)$[-\frac{3}{2},\frac{1}{2}]$ (2)$[-1,3)$ (3)$[-1,\frac{3}{2}]$
第三步 做练习

解：
(1) 因为函数$y=f(x)$的定义域为$[-2,2]$，所以对应关系$f$下所有被作用的量的取值范围都需落在$[-2,2]$内。
对函数$y=f(2x+1)$，令$-2 ≤ 2x+1 ≤ 2$，
解得$-\frac{3}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}$，
因此$y=f(2x+1)$的定义域为$[-\frac{3}{2},\frac{1}{2}]$。
(2) 因为函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,2)$，即自变量$x$的取值范围是$-2 ≤ x ＜ 2$，
可得$x+1$的取值范围是$-1 ≤ x+1 ＜ 3$，即对应关系$f$的作用对象的取值范围为$[-1,3)$，
因此函数$f(x)$的定义域为$[-1,3)$。
(3) 因为函数$f(x-1)$的定义域为$[-2,3]$，即自变量$x$满足$-2 ≤ x ≤ 3$，
可得$x-1$的取值范围是$-3 ≤ x-1 ≤ 2$，即$f(x)$的定义域为$[-3,2]$。
对函数$f(2x-1)$，令$-3 ≤ 2x-1 ≤ 2$，
解得$-1 ≤ x ≤ \frac{3}{2}$，
因此函数$f(2x-1)$的定义域为$[-1,\frac{3}{2}]$。