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4. 某手机应用程序将进行界面改版，用户随机被分为 $ A $ 组(旧版)和 $ B $ 组(新版)，若两个版本的月使用时长差异(组间差异可以用组间离差平方和刻画)远大于每个版本内部用户行为的自然波动(组内差异可以用组内离差平方和刻画)，则说明改版有效.该手机应用程序先收集得到了某月所有用户对此应用程序的使用时长，并且算得总使用时长的离差平方和为 $ 1000\ \mathrm{h}^{2} $，$ A $ 组数据的离差平方和为 $ 38\ \mathrm{h}^{2} $，$ B $ 组数据的离差平方和为 $ 40\ \mathrm{h}^{2} $.
(1)求这两组数据的组间离差平方和.
(2)根据数据判断界面改版是否有效.
(1)求这两组数据的组间离差平方和.
(2)根据数据判断界面改版是否有效.
答案
4. (1)组间离差平方和为$1000-(38+40)=922(\mathrm{h}^{2})$.
(2)组间离差平方和远大于组内离差平方和,说明新版本有效.
(2)组间离差平方和远大于组内离差平方和,说明新版本有效.
5. 对某班 50 位同学身高进行调查，男生 23 人的平均身高和离差平方和分别为 $ 170.6\ \mathrm{cm} $ 和 $ 289.57\ \mathrm{cm}^{2} $，女生 27 人的平均身高和离差平方和分别为 $ 160.6\ \mathrm{cm} $ 和 $ 1042.74\ \mathrm{cm}^{2} $.计算该班学生的平均身高和方差.
答案
5. 平均身高为$\overline{x}=\dfrac{23×170.6+27×160.6}{50}=165.2(\mathrm{cm})$;
根据题意,公式中的$D^{2}=(D^{2}_{1}+D^{2}_{2})+\left \lbrack k_{1}(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+k_{2}(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}\right \rbrack$中的$D^{2}_{1}=289.57$,$D^{2}_{2}=1042.74$,
$k_{1}=23$,$k_{2}=27$,$\overline{x}_{1}=170.6$,$\overline{x}_{2}=160.6$,$\overline{x}=165.2$;
代入计算即可得$D^{2}=2574.31(\mathrm{cm}^{2})$,故方差$S^{2}=51.4862(\mathrm{cm}^{2})$.
根据题意,公式中的$D^{2}=(D^{2}_{1}+D^{2}_{2})+\left \lbrack k_{1}(\overline{x}_{1}-\overline{x})^{2}+k_{2}(\overline{x}_{2}-\overline{x})^{2}\right \rbrack$中的$D^{2}_{1}=289.57$,$D^{2}_{2}=1042.74$,
$k_{1}=23$,$k_{2}=27$,$\overline{x}_{1}=170.6$,$\overline{x}_{2}=160.6$,$\overline{x}=165.2$;
代入计算即可得$D^{2}=2574.31(\mathrm{cm}^{2})$,故方差$S^{2}=51.4862(\mathrm{cm}^{2})$.
