1. 下面四组线段中不是成比例线段的是 【 】

A.3、6、2、4
B.4、6、8、10
C.$1、\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$
D.$\sqrt{5}、\sqrt{15}、2、2\sqrt{3}$

B

【分析】
要判断四组线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：先把四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，否则不是。接下来按照这个方法逐一验证每个选项即可。
【解析】
判断成比例线段的步骤：先对每组线段从小到大排序，再验证“最长×最短=中间两数乘积”是否成立。
A. 排序得2、3、4、6，计算得$2×6=12$，$3×4=12$，满足$2×6=3×4$，是成比例线段，不符合题意；
B. 排序得4、6、8、10，计算得$4×10=40$，$6×8=48$，$40≠48$，不满足乘积相等，不是成比例线段，符合题意；
C. 排序得$1、\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，计算得$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，满足$1×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{3}$，是成比例线段，不符合题意；
D. 排序得$2、\sqrt{5}、2\sqrt{3}、\sqrt{15}$，计算得$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，满足乘积相等，是成比例线段，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定
【点评】
本题考查成比例线段的判断，解题时先排序再验证乘积的技巧可以简化计算，避免因顺序混乱导致的错误。
【难度系数】
0.8

2. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形. 如图，矩形ABCD为黄金矩形(AB＜AD)，点E、F分别在边BC、AD上，四边形ABEF为正方形，已知$DF=\sqrt{5}-1$，那么AB的长为 【 】

A.$\sqrt{5}+1$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$2$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

C

【分析】
首先根据黄金矩形的定义，明确宽与长的比值为黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，本题中矩形ABCD的宽为AB，长为AD，因此可得$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；再结合正方形ABEF的性质，可知AF=AB，进而得到AD=AB+DF，最后设AB的长为未知数，代入比例关系建立方程即可求解。
【解析】
设$AB=x$，
∵ 四边形ABEF是正方形，
∴ $AF=AB=x$，
∴ $AD=AF+DF=x+(\sqrt{5}-1)$，
∵ 矩形ABCD是黄金矩形，且$AB＜AD$，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
将$AB=x$、$AD=x+\sqrt{5}-1$代入得：
$\frac{x}{x+\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
交叉相乘得：$2x=(\sqrt{5}-1)(x+\sqrt{5}-1)$，
展开右边：$2x=(\sqrt{5}-1)x+(\sqrt{5}-1)^2$，
计算$(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$，移项合并同类项得：
$2x-(\sqrt{5}-1)x=6-2\sqrt{5}$，
即$(3-\sqrt{5})x=2(3-\sqrt{5})$，
两边同时除以$3-\sqrt{5}$，得$x=2$，
即$AB=2$。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割；正方形的性质；矩形的性质
【点评】
本题将黄金分割的概念与特殊四边形的性质结合考查，解题的关键是准确找到各边长之间的数量关系，通过建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

3.（兰州期末）如图，$AB // CD // EF$，$AF$交$BE$于点$G$。若$AC=CG$，$AG=FG$，则下列结论中错误的是 【 】

A.$\dfrac{DG}{BG}=\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{CD}{EF}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{DG}{BE}=\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{CG}{CF}=\dfrac{1}{3}$
（第3题）

C

【分析】
本题需结合平行线分线段成比例、相似三角形性质、三角形中位线相关知识，先根据已知的线段相等关系推导基础比例，再逐一验证各选项是否正确，最终选出错误结论。首先由AC=CG确定C是AG中点，结合AB//CD可推导BG相关比例；再由AG=FG推导CG和GF的比例，结合CD//EF推导EF、GE相关比例，最后计算各选项的比值判断对错。
【解析】
1. 验证A选项：
已知$AC=CG$，即C为AG中点，又$AB// CD$，根据平行线分线段成比例的推论，可得D是BG中点，因此$DG=\frac{1}{2}BG$，即$\frac{DG}{BG}=\frac{1}{2}$，A选项正确，不符合题意。
2. 验证D选项：
已知$AG=FG$，且$AC=CG$，因此$AG=2CG$，即$FG=2CG$，则$CF=CG+FG=CG+2CG=3CG$，因此$\frac{CG}{CF}=\frac{CG}{3CG}=\frac{1}{3}$，D选项正确，不符合题意。
3. 验证B选项：
已知$CD// EF$，可得$△ GCD∽△ GFE$，相似比为$\frac{CG}{FG}=\frac{CG}{2CG}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{CD}{EF}=\frac{CG}{FG}=\frac{1}{2}$，B选项正确，不符合题意。
4. 验证C选项：
由$CD// EF$，得$\frac{DG}{GE}=\frac{CG}{FG}=\frac{1}{2}$，设$DG=x$，则$GE=2x$；由A选项结论得$BG=2DG=2x$，因此$BE=BG+GE=2x+2x=4x$，则$\frac{DG}{BE}=\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$，C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是几何比例类基础题型，解题核心是先通过已知线段相等条件梳理基础比例关系，再结合平行线的性质推导对应线段的比值，注意不要混淆各线段的对应关系。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$∠ 1=∠ 2$，添加下列一个条件后，仍不能判定$△ ABC$与$△ ADE$相似的是 【 】

A.$∠ C=∠ AED$
B.$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$
C.$∠ B=∠ D$
D.$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$

D

【分析】
首先由已知∠1=∠2，结合角的和差关系可推出∠BAC=∠DAE，即两个三角形已有一组对应角相等。根据相似三角形的判定规则，此时要判定△ABC∽△ADE，要么再补充一组对应角相等，要么补充这组相等角的两组夹边对应成比例。接下来逐一分析各选项是否满足上述要求，即可得出答案。
【解析】
解：
∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE
对各选项逐一分析：
A. 若∠C=∠AED，结合∠BAC=∠DAE，根据“两角分别相等的两个三角形相似（AA）”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B. 若$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，即相等角∠BAC、∠DAE的夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C. 若∠B=∠D，结合∠BAC=∠DAE，根据“两角分别相等的两个三角形相似（AA）”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D. 若$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，成比例的两组边不是相等角的夹边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先推导得到一组相等的对应角，再结合相似判定定理逐一验证选项，要注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，必须是相等角的夹边对应成比例，避免混淆对应边导致判断错误。
【难度系数】
0.7

5. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$的周长比为$\sqrt{2}:1$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为 【 】

A.$2:1$
B.$1:2$
C.$\sqrt{2}:1$
D.$1:\sqrt{2}$

A

【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。首先根据题干给出的周长比确定两个三角形的相似比，再对相似比求平方即可得到对应面积比，最后匹配选项选出答案。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ DEF$，且$△ ABC$与$△ DEF$的周长比为$\sqrt{2}:1$
∴$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\sqrt{2}:1$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$(\sqrt{2})^2:1^2=2:1$
结合题意，本题选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考查相似三角形的周长比、面积比与相似比的对应关系，牢记性质代入简单计算即可得出答案，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9

6. 如图，点O是△ABC的重心，若△ABC的面积是12，则△BOF的面积是 【 】

A.6
B.4
C.3
D.2

D

【分析】
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，且三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。首先根据重心性质确定AF是BC边上的中线，先求出△ABF的面积，再根据重心分中线的比例，结合同高三角形面积比等于底的比，即可求出△BOF的面积。
【解析】
∵ 点O是△ABC的重心，
∴ AF是△ABC的BC边上的中线，且$AO:OF=2:1$，
∵ 中线平分三角形面积，
∴ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$，
△ABO与△FBO同高（均以B为顶点，AF所在直线为底边），面积比等于底的比$AO:OF=2:1$，
因此$S_{△ BOF}=\frac{1}{1+2}S_{△ ABF}=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对三角形重心、中线性质的理解和运用，结合同高三角形面积与底边的比例关系即可快速求解，是三角形性质应用的常考题型。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,有下列条件:①$∠ B = ∠ AED$;②$DE // BC$;③$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$;④$AD · BC = DE · AC$,其中,能使以$A$、$D$、$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似的条件有 【 】

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
要判断以A、D、E为顶点的三角形与△ABC是否相似，首先可知两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、平行线判定相似），逐个验证给出的4个条件即可，注意相似不要求固定对应顶点顺序，只要两个三角形相似即符合要求。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 条件①：已知$∠ B = ∠ AED$，又$∠ A = ∠ A$（公共角），根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ AED ∽ △ ABC$，符合要求；
2. 条件②：已知$DE // BC$，根据“平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可判定$△ ADE ∽ △ ABC$，符合要求；
3. 条件③：已知$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$，又$∠ A = ∠ A$（公共角，是两组成比例边的夹角），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ADE ∽ △ ACB$，两三角形相似，符合要求；
4. 条件④：将$AD · BC = DE · AC$变形可得$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$，该组比例的对应边不是公共角$∠ A$的两条夹边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定两三角形相似，不符合要求。
综上，共有3个条件符合要求。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题关键是利用公共角简化判定条件，注意“两边对应成比例且夹角相等”的判定中，夹角必须是两组成比例边的公共夹角，避免误用判定定理出错。
【难度系数】
0.7