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2. 分式的除法
典例2 计算：
(1)$\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2}$；
(2)$(xy - x^2) ÷ \frac{x - y}{xy}$。
温馨提示 (1)分式的除法需转化为乘法，转化是“一变一倒”的过程，即除号变为乘号，除式的分子与分母颠倒位置。
(2)当除式是整式时，可以将分母看成1后再进行运算。
(3)分式的除法的运算结果应化为最简分式或整式。
举一反三 计算：
(1)$\frac{ab^2}{2c^2} ÷ \frac{-3a^2b}{4c}$；
(2)$\frac{a^2 -1}{a^2 +4a +4} ÷ \frac{a +1}{a +2}$。
典例2 计算：
(1)$\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2}$；
(2)$(xy - x^2) ÷ \frac{x - y}{xy}$。
温馨提示 (1)分式的除法需转化为乘法，转化是“一变一倒”的过程，即除号变为乘号，除式的分子与分母颠倒位置。
(2)当除式是整式时，可以将分母看成1后再进行运算。
(3)分式的除法的运算结果应化为最简分式或整式。
举一反三 计算：
(1)$\frac{ab^2}{2c^2} ÷ \frac{-3a^2b}{4c}$；
(2)$\frac{a^2 -1}{a^2 +4a +4} ÷ \frac{a +1}{a +2}$。
答案
解 (1) 原式$=\frac{ab^2}{2c^2} · (-\frac{4c}{3a^2b})=-\frac{2b}{3ac}$。
(2) 原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1}=\frac{a-1}{a+2}$。
(2) 原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1}=\frac{a-1}{a+2}$。
解析
【分析】
解决分式除法运算问题，核心是遵循“一变一倒”的规则将除法转化为乘法运算，再通过约分得到最简结果：① 纯分式相除时，先将除号改为乘号，同时把除式的分子、分母颠倒位置，先确定运算符号，再分别约掉分子分母的公因式即可；② 若分式的分子或分母是多项式，先对多项式进行因式分解，再按除法转乘法的规则运算，最后约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 按照分式除法规则将除法转化为乘法：
原式$=\frac{ab^2}{2c^2} · (-\frac{4c}{3a^2b})$
确定符号为负，再对系数、相同字母的幂分别约分：
$-\frac{ab^2 × 4c}{2c^2 × 3a^2b} = -\frac{2b}{3ac}$。
(2) 先对多项式因式分解：
由平方差公式得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，由完全平方公式得$a^2+4a+4=(a+2)^2$，原式改写为：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} ÷ \frac{a+1}{a+2}$
再将除法转化为乘法：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1}$
约去公因式$(a+1)$和$(a+2)$，得$\frac{a-1}{a+2}$。
【答案】
(1) $-\frac{2b}{3ac}$；(2) $\frac{a-1}{a+2}$
【知识点】
分式的除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式除法转乘法的运算规则，遇到多项式时先因式分解再约分，运算过程中要注意符号的判断，最终结果需化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8
解决分式除法运算问题，核心是遵循“一变一倒”的规则将除法转化为乘法运算，再通过约分得到最简结果：① 纯分式相除时，先将除号改为乘号，同时把除式的分子、分母颠倒位置，先确定运算符号，再分别约掉分子分母的公因式即可；② 若分式的分子或分母是多项式，先对多项式进行因式分解，再按除法转乘法的规则运算，最后约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 按照分式除法规则将除法转化为乘法：
原式$=\frac{ab^2}{2c^2} · (-\frac{4c}{3a^2b})$
确定符号为负，再对系数、相同字母的幂分别约分：
$-\frac{ab^2 × 4c}{2c^2 × 3a^2b} = -\frac{2b}{3ac}$。
(2) 先对多项式因式分解：
由平方差公式得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，由完全平方公式得$a^2+4a+4=(a+2)^2$，原式改写为：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} ÷ \frac{a+1}{a+2}$
再将除法转化为乘法：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a+1}$
约去公因式$(a+1)$和$(a+2)$，得$\frac{a-1}{a+2}$。
【答案】
(1) $-\frac{2b}{3ac}$；(2) $\frac{a-1}{a+2}$
【知识点】
分式的除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式除法转乘法的运算规则，遇到多项式时先因式分解再约分，运算过程中要注意符号的判断，最终结果需化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8
典例3 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)m$，乙工程队每天修$(a - 2)^2 m$（其中$a＞10$），则甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
答案
解：
甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
列式计算所求倍数：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
列式计算所求倍数：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
解析
【分析】
要解决本题，首先牢记工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，分别代入甲、乙的工作总量和工作效率，求出两个工程队对应的工作时间；第二步，求甲的时间是乙的时间的多少倍，用甲的时间除以乙的时间即可。计算分式除法时，先将多项式因式分解（用平方差公式分解$a^2-4$），再把除法转化为乘法，约去公因式后化简得到最终结果。
【解析】
甲工程队修900m所用的时间为：$\frac{900}{a^2 - 4}$天
乙工程队修600m所用的时间为：$\frac{600}{(a-2)^2}$天
所求倍数为两个时间的商，计算如下：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3a-6}{2a+4}$（或$\frac{3(a-2)}{2(a+2)}$）
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；工程问题公式
【点评】
本题是分式运算的实际应用类题目，解题关键是先根据工程问题的数量关系正确列出分式，再熟练运用因式分解和分式乘除的运算法则化简，计算时要注意因式分解的准确性，约分时要识别清楚公因式，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先牢记工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，分别代入甲、乙的工作总量和工作效率，求出两个工程队对应的工作时间；第二步，求甲的时间是乙的时间的多少倍，用甲的时间除以乙的时间即可。计算分式除法时，先将多项式因式分解（用平方差公式分解$a^2-4$），再把除法转化为乘法，约去公因式后化简得到最终结果。
【解析】
甲工程队修900m所用的时间为：$\frac{900}{a^2 - 4}$天
乙工程队修600m所用的时间为：$\frac{600}{(a-2)^2}$天
所求倍数为两个时间的商，计算如下：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3a-6}{2a+4}$（或$\frac{3(a-2)}{2(a+2)}$）
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；工程问题公式
【点评】
本题是分式运算的实际应用类题目，解题关键是先根据工程问题的数量关系正确列出分式，再熟练运用因式分解和分式乘除的运算法则化简，计算时要注意因式分解的准确性，约分时要识别清楚公因式，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
举一反三 有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(x-3)^2\mathrm{kg}$，乙筐水果重$(x^2 -9)\mathrm{kg}$（其中$x＞3$），若两筐水果都卖了50元，则甲筐水果的单价是乙筐水果单价的多少倍？
答案
解 根据题意，得
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}$。
所以，甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}$。
所以，甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确“单价=总价÷重量”的基本数量关系：第一步，分别根据总价和重量写出甲、乙两筐水果的单价表达式；第二步，求甲单价是乙单价的多少倍，本质是求两个单价的商；第三步，计算分式除法时，先利用平方差公式对乙筐重量的多项式因式分解，再将分式除法转化为乘法，最后约分化简得到结果，题中给出的$x＞3$条件保证了所有分母不为0，分式均有意义。
【解析】
解：根据“单价=总价÷重量”，可得：
甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-3)^2}$元/kg，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-9}$元/kg。
求甲单价是乙单价的倍数，列式计算如下：
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，同时利用平方差公式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，代入得：
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
约去分子、分母的公因式50和$(x-3)$，得：
$=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的实际应用题目，解题核心是先结合生活中的数量关系列出分式，再通过因式分解、分式乘除运算法则化简求解，能够有效考查学生的运算能力和将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确“单价=总价÷重量”的基本数量关系：第一步，分别根据总价和重量写出甲、乙两筐水果的单价表达式；第二步，求甲单价是乙单价的多少倍，本质是求两个单价的商；第三步，计算分式除法时，先利用平方差公式对乙筐重量的多项式因式分解，再将分式除法转化为乘法，最后约分化简得到结果，题中给出的$x＞3$条件保证了所有分母不为0，分式均有意义。
【解析】
解：根据“单价=总价÷重量”，可得：
甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-3)^2}$元/kg，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-9}$元/kg。
求甲单价是乙单价的倍数，列式计算如下：
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，同时利用平方差公式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，代入得：
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
约去分子、分母的公因式50和$(x-3)$，得：
$=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的实际应用题目，解题核心是先结合生活中的数量关系列出分式，再通过因式分解、分式乘除运算法则化简求解，能够有效考查学生的运算能力和将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
