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1. 化简$\frac{x}{a+2} · \frac{a^2 -4}{2x}$的结果是(
A.$\frac{a+2}{2}$
B.$\frac{a-2}{2}$
C.$\frac{a-2}{2x}$
D.$\frac{a-2}{2a+4}$
B
).A.$\frac{a+2}{2}$
B.$\frac{a-2}{2}$
C.$\frac{a-2}{2x}$
D.$\frac{a-2}{2a+4}$
答案
B
解析
【分析】
本题是分式乘法化简题，解题思路可按以下步骤展开：首先观察式子中可因式分解的部分，$a^2-4$符合平方差公式的结构，先对其因式分解；再根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；最后约去分子和分母的公因式，即可得到化简结果。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{2x}\\&=\frac{x·(a+2)(a-2)}{(a+2)·2x}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$x$和$(a+2)$，最终化简结果为$\frac{a-2}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式进行因式分解，再通过约分简化计算，熟练掌握因式分解的常用方法和分式的约分规则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是分式乘法化简题，解题思路可按以下步骤展开：首先观察式子中可因式分解的部分，$a^2-4$符合平方差公式的结构，先对其因式分解；再根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；最后约去分子和分母的公因式，即可得到化简结果。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{2x}\\&=\frac{x·(a+2)(a-2)}{(a+2)·2x}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$x$和$(a+2)$，最终化简结果为$\frac{a-2}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式进行因式分解，再通过约分简化计算，熟练掌握因式分解的常用方法和分式的约分规则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 化简$\frac{a^2b}{mn^2} ÷ \frac{ab}{3mn}$的结果是(
A.$\frac{3b}{m}$
B.$\frac{3a}{mn}$
C.$\frac{3b}{mn}$
D.$\frac{3a}{n}$
D
).A.$\frac{3b}{m}$
B.$\frac{3a}{mn}$
C.$\frac{3b}{mn}$
D.$\frac{3a}{n}$
答案
D
解析
【分析】
遇到分式除法运算题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。第一步先把除法转化为乘法运算，将除式的分子、分母颠倒位置后和被除式相乘；第二步按照分式乘法规则，把分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；第三步找出分子和分母的公因式进行约分，得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
$\frac{a^2b}{mn^2} ÷ \frac{ab}{3mn} = \frac{a^2b}{mn^2} × \frac{3mn}{ab}$
分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母：
$=\frac{a^2b · 3mn}{mn^2 · ab}$
约去分子分母的公因式$abmn$：
$=\frac{3a}{n}$
【答案】
D
【知识点】
分式的除法法则、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查分式乘除的基础运算能力，只要熟练掌握分式除法转乘法的规则，准确识别公因式约分就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
遇到分式除法运算题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。第一步先把除法转化为乘法运算，将除式的分子、分母颠倒位置后和被除式相乘；第二步按照分式乘法规则，把分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母；第三步找出分子和分母的公因式进行约分，得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
$\frac{a^2b}{mn^2} ÷ \frac{ab}{3mn} = \frac{a^2b}{mn^2} × \frac{3mn}{ab}$
分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母：
$=\frac{a^2b · 3mn}{mn^2 · ab}$
约去分子分母的公因式$abmn$：
$=\frac{3a}{n}$
【答案】
D
【知识点】
分式的除法法则、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查分式乘除的基础运算能力，只要熟练掌握分式除法转乘法的规则，准确识别公因式约分就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 若$\dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ A = \dfrac{1}{x + y}$，则A等于
$\frac{3x}{x-y}$
。答案
$\frac{3x}{x-y}$
解析
【分析】
本题是已知被除数和商，求除数的分式运算题，解题思路分为三步：第一步，根据除法中“除数=被除数÷商”的基本关系，写出A的表达式；第二步，先对被除数的分母利用平方差公式因式分解，再根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第三步，约去分子分母的公因式，化简即可得到A的结果。
【解析】
根据除法各部分之间的关系：除数=被除数÷商，可得：
$A = \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
利用平方差公式分解因式：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，代入得：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，将除法转化为乘法：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} × (x+y)$
约去分子分母的公因式$(x+y)$，化简得：
$A = \dfrac{3x}{x-y}$
【答案】
$\dfrac{3x}{x-y}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握除法运算的基本关系和分式乘除的运算法则，运算过程中先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算的出错率。
【难度系数】
0.8
本题是已知被除数和商，求除数的分式运算题，解题思路分为三步：第一步，根据除法中“除数=被除数÷商”的基本关系，写出A的表达式；第二步，先对被除数的分母利用平方差公式因式分解，再根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第三步，约去分子分母的公因式，化简即可得到A的结果。
【解析】
根据除法各部分之间的关系：除数=被除数÷商，可得：
$A = \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
利用平方差公式分解因式：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，代入得：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，将除法转化为乘法：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} × (x+y)$
约去分子分母的公因式$(x+y)$，化简得：
$A = \dfrac{3x}{x-y}$
【答案】
$\dfrac{3x}{x-y}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握除法运算的基本关系和分式乘除的运算法则，运算过程中先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算的出错率。
【难度系数】
0.8
4.计算：
(1) $\frac{3b^2}{4a^2} · ( \frac{-a}{6b} );$
(2) $-3xy^2 ÷ \frac{6y^2}{5x};$
(3) $\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1};$
(4) $\frac{3ab + a^2}{b^2 - a^2} ÷ \frac{a + 3b}{a - b}.$
(1) $\frac{3b^2}{4a^2} · ( \frac{-a}{6b} );$
(2) $-3xy^2 ÷ \frac{6y^2}{5x};$
(3) $\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1};$
(4) $\frac{3ab + a^2}{b^2 - a^2} ÷ \frac{a + 3b}{a - b}.$
答案
解 (1) 原式$=\frac{-3ab^2}{24a^2b}=-\frac{b}{8a}$。
(2) 原式$=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}=-\frac{5x^2}{2}$。
(3) 原式$=\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=x$。
(4) 原式$=\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}=-\frac{a}{a+b}$。
(2) 原式$=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}=-\frac{5x^2}{2}$。
(3) 原式$=\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=x$。
(4) 原式$=\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}=-\frac{a}{a+b}$。
解析
【分析】
这四道题均为分式乘除运算，解题可按固定思路分步推进：① 运算转换：遇到分式除法，先转变为乘法运算，即除以一个分式等于乘该分式的倒数；② 因式分解：若分子、分母是多项式，先对多项式做因式分解，简化后续约分步骤；③ 乘法计算：分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，计算前先确定结果的符号；④ 约分：约去分子分母的公因式，最终结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 本题为分式乘法，先定符号为负，再分别计算分子、分母的乘积，最后约分：
原式$=\frac{3b^2 · (-a)}{4a^2 · 6b}=\frac{-3ab^2}{24a^2b}$，约去公因式$3ab$，得$-\frac{b}{8a}$。
(2) 本题为分式除法，先转换为乘法，再计算约分：
原式$=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}=\frac{-15x^2y^2}{6y^2}$，约去公因式$3y^2$，得$-\frac{5x^2}{2}$。
(3) 先对分子分母的多项式因式分解，再约分计算：
因式分解得：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入原式得：
$\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}$，约去公因式$(x+1)(x-1)^2$，得$x$。
(4) 先将除法转换为乘法，再对多项式因式分解，最后约分：
因式分解得：$3ab+a^2=a(a+3b)$，$b^2-a^2=-(a^2-b^2)=-(a+b)(a-b)$，除法转乘法后代入得：
$\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}$，约去公因式$(a+3b)(a-b)$，得$-\frac{a}{a+b}$。
【答案】
(1) $-\frac{b}{8a}$；(2) $-\frac{5x^2}{2}$；(3) $x$；(4) $-\frac{a}{a+b}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，重点考察分式乘除的运算规则，解题时注意遇到多项式优先因式分解，同时要注意符号的判断，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这四道题均为分式乘除运算，解题可按固定思路分步推进：① 运算转换：遇到分式除法，先转变为乘法运算，即除以一个分式等于乘该分式的倒数；② 因式分解：若分子、分母是多项式，先对多项式做因式分解，简化后续约分步骤；③ 乘法计算：分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，计算前先确定结果的符号；④ 约分：约去分子分母的公因式，最终结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 本题为分式乘法，先定符号为负，再分别计算分子、分母的乘积，最后约分：
原式$=\frac{3b^2 · (-a)}{4a^2 · 6b}=\frac{-3ab^2}{24a^2b}$，约去公因式$3ab$，得$-\frac{b}{8a}$。
(2) 本题为分式除法，先转换为乘法，再计算约分：
原式$=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}=\frac{-15x^2y^2}{6y^2}$，约去公因式$3y^2$，得$-\frac{5x^2}{2}$。
(3) 先对分子分母的多项式因式分解，再约分计算：
因式分解得：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入原式得：
$\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}$，约去公因式$(x+1)(x-1)^2$，得$x$。
(4) 先将除法转换为乘法，再对多项式因式分解，最后约分：
因式分解得：$3ab+a^2=a(a+3b)$，$b^2-a^2=-(a^2-b^2)=-(a+b)(a-b)$，除法转乘法后代入得：
$\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}$，约去公因式$(a+3b)(a-b)$，得$-\frac{a}{a+b}$。
【答案】
(1) $-\frac{b}{8a}$；(2) $-\frac{5x^2}{2}$；(3) $x$；(4) $-\frac{a}{a+b}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，重点考察分式乘除的运算规则，解题时注意遇到多项式优先因式分解，同时要注意符号的判断，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.8
