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1.若$a - b - c = a - (\quad)$成立，则括号内应填入$(\quad)$。
A.$b - c$
B.$b + c$
C.$-b + c$
D.$-b - c$
A.$b - c$
B.$b + c$
C.$-b + c$
D.$-b - c$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题时先观察等式两边的结构：等式左侧是$a$依次减去$b$、$c$，右侧是$a$减去括号内的整式，结合添括号的符号规则即可推导括号内应填的内容。添括号时如果括号前面是负号，括到括号里的每一项都要改变符号，我们只需将左侧$-b$和$-c$两项括进带负号的括号中，对应改变两项的符号就能得到结果。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，若括号前是负号，括到括号内的各项都要改变符号。
对$a - b - c$中后两项添括号，括号前为“$-$”号，则：
$-b$变号为$b$，$-c$变号为$c$，
因此$a - b - c = a - (b + c)$，故括号内应填$b + c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础题，重点考察添括号的符号变化规则，解题时要注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，不能只改变第一项的符号。
【难度系数】
0.9
本题考查添括号法则的应用，解题时先观察等式两边的结构：等式左侧是$a$依次减去$b$、$c$，右侧是$a$减去括号内的整式，结合添括号的符号规则即可推导括号内应填的内容。添括号时如果括号前面是负号，括到括号里的每一项都要改变符号，我们只需将左侧$-b$和$-c$两项括进带负号的括号中，对应改变两项的符号就能得到结果。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，若括号前是负号，括到括号内的各项都要改变符号。
对$a - b - c$中后两项添括号，括号前为“$-$”号，则：
$-b$变号为$b$，$-c$变号为$c$，
因此$a - b - c = a - (b + c)$，故括号内应填$b + c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础题，重点考察添括号的符号变化规则，解题时要注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，不能只改变第一项的符号。
【难度系数】
0.9
2. 为了运用平方差公式计算$(2x + y + z) · (y - 2x - z)$，下列变形正确的是(
A.$[2x - (y + z)]^2$
B.$[2x + (y + z)][2x - (y + z)]$
C.$[y + (2x + z)][y - (2x + z)]$
D.$[z + (2x + y)][z - (2x + y)]$
C
).A.$[2x - (y + z)]^2$
B.$[2x + (y + z)][2x - (y + z)]$
C.$[y + (2x + z)][y - (2x + z)]$
D.$[z + (2x + y)][z - (2x + y)]$
答案
2.C
解析
【分析】
要运用平方差公式计算式子，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先观察原式两个因式中的项，找出相同的项作为公式里的$a$，再将互为相反数的项整理成公式里的$b$和$-b$，结合添括号法则对原式变形，再匹配选项即可。
【解析】
首先观察原式的两个因式：$(2x+y+z)$和$(y-2x-z)$。
1. 找相同项：两个因式中唯一符号和数值都相同的项是$y$，作为平方差公式中的$a$。
2. 找相反项：第一个因式中剩余的项是$2x+z$，第二个因式中剩余的项是$-2x-z=-(2x+z)$，这两部分互为相反数，作为平方差公式中的$b$和$-b$。
3. 用添括号法则变形：
第一个因式$2x+y+z=y+(2x+z)$，
第二个因式$y-2x-z=y-(2x+z)$，
因此原式可变形为$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$，对应选项C。
排除其他选项：A是完全平方形式，不符合平方差的两个因式结构；B的相同项为$2x$，与原式的相同项不符；D中$z$在两个因式里符号相反，不能作为相同项，因此ABD均错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 添括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，再结合添括号法则凑出平方差公式的标准结构，是整式乘法部分的基础题型，掌握公式特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要运用平方差公式计算式子，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先观察原式两个因式中的项，找出相同的项作为公式里的$a$，再将互为相反数的项整理成公式里的$b$和$-b$，结合添括号法则对原式变形，再匹配选项即可。
【解析】
首先观察原式的两个因式：$(2x+y+z)$和$(y-2x-z)$。
1. 找相同项：两个因式中唯一符号和数值都相同的项是$y$，作为平方差公式中的$a$。
2. 找相反项：第一个因式中剩余的项是$2x+z$，第二个因式中剩余的项是$-2x-z=-(2x+z)$，这两部分互为相反数，作为平方差公式中的$b$和$-b$。
3. 用添括号法则变形：
第一个因式$2x+y+z=y+(2x+z)$，
第二个因式$y-2x-z=y-(2x+z)$，
因此原式可变形为$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$，对应选项C。
排除其他选项：A是完全平方形式，不符合平方差的两个因式结构；B的相同项为$2x$，与原式的相同项不符；D中$z$在两个因式里符号相反，不能作为相同项，因此ABD均错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 添括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，再结合添括号法则凑出平方差公式的标准结构，是整式乘法部分的基础题型，掌握公式特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 在等号右边的括号内填上适当的项：
$a - 2b + 3c = -($
$a - 2b + 3c = -($
-a+2b-3c
$).$答案
3.$-a+2b-3c$
解析
【分析】
本题需要运用添括号法则求解，首先观察等式右边括号前为负号，根据添括号的规则，当括号前是负号时，放入括号内的每一项都要改变符号，因此只需将原式的每一项变号后填入括号即可。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
将$a-2b+3c$整体放到带负号的括号中，各项依次变号：
$a$变为$-a$，$-2b$变为$+2b$，$3c$变为$-3c$，
因此可得$a - 2b + 3c = -(-a + 2b - 3c)$。
【答案】
$-a+2b-3c$
【知识点】
添括号法则；整式变形
【点评】
本题是基础运算题型，重点考查对添括号法则的掌握，做题时要注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免漏变某一项符号导致出错。
【难度系数】
0.9
本题需要运用添括号法则求解，首先观察等式右边括号前为负号，根据添括号的规则，当括号前是负号时，放入括号内的每一项都要改变符号，因此只需将原式的每一项变号后填入括号即可。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
将$a-2b+3c$整体放到带负号的括号中，各项依次变号：
$a$变为$-a$，$-2b$变为$+2b$，$3c$变为$-3c$，
因此可得$a - 2b + 3c = -(-a + 2b - 3c)$。
【答案】
$-a+2b-3c$
【知识点】
添括号法则；整式变形
【点评】
本题是基础运算题型，重点考查对添括号法则的掌握，做题时要注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免漏变某一项符号导致出错。
【难度系数】
0.9
4. 运用乘法公式计算：
(1)$(a+2b - c)(2b - a - c)$；
(2)$(a+3b - 1)^2$。
(1)$(a+2b - c)(2b - a - c)$；
(2)$(a+3b - 1)^2$。
答案
解：(1) 原式$=[(2b - c)+a][(2b - c)-a]=(2b - c)^2 - a^2=4b^2 -4bc + c^2 -a^2.$
(2) 原式$=(a+3b)^2 -2(a+3b)+1=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1.$
(2) 原式$=(a+3b)^2 -2(a+3b)+1=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1.$
解析
【分析】
(1) 观察两个因式的项可发现：两式中都含有相同的项$2b-c$，剩余的项$a$和$-a$互为相反数，因此可通过添括号将$2b-c$看作整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先运用平方差公式计算，再对得到的$(2b-c)^2$用完全平方公式展开即可。
(2) 本题是三个整式的平方运算，可通过添括号把$a+3b$看作一个整体，将原式变形为完全平方公式的标准形式$[(a+3b)-1]^2$，先运用完全平方公式展开，再对$(a+3b)^2$用完全平方公式展开、去括号合并即可。
【解析】
(1) 对原式添括号变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2b - c)+a][(2b - c)-a]\\&=(2b - c)^2 - a^2 \quad \mathrm{（运用平方差公式）}\\&=4b^2 -4bc + c^2 -a^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式展开）}\end{aligned}$
(2) 对原式添括号变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+3b) - 1]^2\\&=(a+3b)^2 -2(a+3b)+1 \quad \mathrm{（运用完全平方公式）}\\&=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1 \quad \mathrm{（展开并去括号）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $4b^2 -4bc + c^2 -a^2$
(2) $a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1$
【知识点】
添括号法则；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过添括号将非标准形式的多项式运算转化为乘法公式的标准结构，体现了整体代换的数学思想，熟练掌握乘法公式的结构特征是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
(1) 观察两个因式的项可发现：两式中都含有相同的项$2b-c$，剩余的项$a$和$-a$互为相反数，因此可通过添括号将$2b-c$看作整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先运用平方差公式计算，再对得到的$(2b-c)^2$用完全平方公式展开即可。
(2) 本题是三个整式的平方运算，可通过添括号把$a+3b$看作一个整体，将原式变形为完全平方公式的标准形式$[(a+3b)-1]^2$，先运用完全平方公式展开，再对$(a+3b)^2$用完全平方公式展开、去括号合并即可。
【解析】
(1) 对原式添括号变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2b - c)+a][(2b - c)-a]\\&=(2b - c)^2 - a^2 \quad \mathrm{（运用平方差公式）}\\&=4b^2 -4bc + c^2 -a^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式展开）}\end{aligned}$
(2) 对原式添括号变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a+3b) - 1]^2\\&=(a+3b)^2 -2(a+3b)+1 \quad \mathrm{（运用完全平方公式）}\\&=a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1 \quad \mathrm{（展开并去括号）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $4b^2 -4bc + c^2 -a^2$
(2) $a^2+6ab+9b^2-2a-6b+1$
【知识点】
添括号法则；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过添括号将非标准形式的多项式运算转化为乘法公式的标准结构，体现了整体代换的数学思想，熟练掌握乘法公式的结构特征是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
5. 先化简,再求值:$(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2$,其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = -2.$
答案
解：$(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2 = 4a^2 -4ab + b^2 + (a+1)^2 -b^2 -(a+1)^2=4a^2-4ab.$
当$a=\frac{1}{2},b=-2$时，
原式$=4×(\frac{1}{2})^2 -4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5.$
当$a=\frac{1}{2},b=-2$时，
原式$=4×(\frac{1}{2})^2 -4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5.$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题时先观察式子结构：首先，$(2a-b)^2$可直接用完全平方公式展开；其次，$(a+1 -b)(a+1 +b)$符合平方差公式的形式，可将$(a+1)$看作一个整体，利用平方差公式展开，避免逐项相乘的繁琐；最后再和剩余的$-(a+1)^2$合并同类项，化简到最简形式后，再代入$a$、$b$的数值计算结果，能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先利用乘法公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
再将$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是能够识别出可以套用平方差公式的式子结构，将相同的部分看作整体进行运算，既可以简化计算，也能减少计算错误，计算时要注意符号处理，避免出现符号失误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题时先观察式子结构：首先，$(2a-b)^2$可直接用完全平方公式展开；其次，$(a+1 -b)(a+1 +b)$符合平方差公式的形式，可将$(a+1)$看作一个整体，利用平方差公式展开，避免逐项相乘的繁琐；最后再和剩余的$-(a+1)^2$合并同类项，化简到最简形式后，再代入$a$、$b$的数值计算结果，能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先利用乘法公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
再将$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是能够识别出可以套用平方差公式的式子结构，将相同的部分看作整体进行运算，既可以简化计算，也能减少计算错误，计算时要注意符号处理，避免出现符号失误。
【难度系数】
0.8
6.如果$(a+b+1)(a+b-1)=63$，那么你能求出$\frac{a+b}{2}$的值吗？请写出求解过程.
答案
解：能.
$\because(a+b+1)(a+b-1)=63,$
$\therefore(a+b)^2 -1=63,$
$\therefore(a+b)^2=64.$
$\therefore a+b=\pm8,$
$\therefore\frac{a+b}{2}=\pm4.$
$\because(a+b+1)(a+b-1)=63,$
$\therefore(a+b)^2 -1=63,$
$\therefore(a+b)^2=64.$
$\therefore a+b=\pm8,$
$\therefore\frac{a+b}{2}=\pm4.$
解析
【分析】
观察等式左边的两个因式，发现二者都含有$a+b$的部分，结构为“(整体+1)(整体-1)”，恰好符合平方差公式的特征。解题时先把$a+b$看作一个整体，利用平方差公式展开等式，求出$(a+b)^2$的值，再通过开平方得到$a+b$的取值，最后代入计算$\frac{a+b}{2}$即可，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：能求出$\frac{a+b}{2}$的值，求解过程如下：
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$
将$a+b$看作整体，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$（其中$m=a+b$，$n=1$）展开得：
$\therefore (a+b)^2 - 1^2=63$
整理得：$(a+b)^2=64$
对等式两边开平方得：$a+b=\pm8$
等式两边同时除以2得：$\frac{a+b}{2}=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，开平方运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，解题关键是运用整体思想简化运算，同时需要注意正数的平方根有两个，避免遗漏负解。
【难度系数】
0.75
观察等式左边的两个因式，发现二者都含有$a+b$的部分，结构为“(整体+1)(整体-1)”，恰好符合平方差公式的特征。解题时先把$a+b$看作一个整体，利用平方差公式展开等式，求出$(a+b)^2$的值，再通过开平方得到$a+b$的取值，最后代入计算$\frac{a+b}{2}$即可，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：能求出$\frac{a+b}{2}$的值，求解过程如下：
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$
将$a+b$看作整体，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$（其中$m=a+b$，$n=1$）展开得：
$\therefore (a+b)^2 - 1^2=63$
整理得：$(a+b)^2=64$
对等式两边开平方得：$a+b=\pm8$
等式两边同时除以2得：$\frac{a+b}{2}=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，开平方运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，解题关键是运用整体思想简化运算，同时需要注意正数的平方根有两个，避免遗漏负解。
【难度系数】
0.75
