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典例1 计算：
(1)$a^7 · a^3 ÷ a^2$；
(2)$(-2m^2)^3 - (m^3)^2$；
(3)$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$。
(1)$a^7 · a^3 ÷ a^2$；
(2)$(-2m^2)^3 - (m^3)^2$；
(3)$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$。
答案
解 (1)$a^{7}· a^{3}÷ a^{2}=a^{7+3-2}=a^{8}.$
(2)$(-2m^{2})^{3}-(m^{3})^{2}=-8m^{6}-m^{6}=-9m^{6}.$
(3)$3a^{3}· 2a^{3}+a^{8}÷ a^{2}-(-2a^{2})^{3}=6a^{6}+a^{6}+8a^{6}=15a^{6}.$
(2)$(-2m^{2})^{3}-(m^{3})^{2}=-8m^{6}-m^{6}=-9m^{6}.$
(3)$3a^{3}· 2a^{3}+a^{8}÷ a^{2}-(-2a^{2})^{3}=6a^{6}+a^{6}+8a^{6}=15a^{6}.$
解析
【分析】
这三道题均为整式的幂运算相关混合运算，解题时需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右”的运算顺序，结合幂的运算法则逐步计算：
(1)属于同底数幂的乘除同级运算，可直接利用同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减的法则，合并计算指数即可；
(2)先分别计算两个乘方运算：第一个是积的乘方，需将每个因式分别乘方后再相乘，第二个是幂的乘方，底数不变指数相乘，最后合并同类项即可；
(3)按运算顺序先分别计算单项式乘法、同底数幂除法、积的乘方三个部分，注意积的乘方的符号处理，最后将所得的同类项合并得到结果。
【解析】
(1) 按照同底数幂乘除运算法则计算：
$a^7 · a^3 ÷ a^2 = a^{7+3-2} = a^8$
(2) 先算乘方，再合并同类项：
$(-2m^2)^3 - (m^3)^2 = (-2)^3·(m^2)^3 - m^{3×2} = -8m^6 - m^6 = -9m^6$
(3) 先算乘方、乘除，再合并同类项：
$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$
$= 6a^{3+3} + a^{8-2} - [(-2)^3·(a^2)^3]$
$= 6a^6 + a^6 + 8a^6$
$= 15a^6$
【答案】
(1)$a^8$；(2)$-9m^6$；(3)$15a^6$
【知识点】
同底数幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，整式混合运算
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查对幂运算法则的掌握程度，解题时需格外注意运算顺序和积的乘方的符号判断，合并同类项时系数计算要准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均为整式的幂运算相关混合运算，解题时需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右”的运算顺序，结合幂的运算法则逐步计算：
(1)属于同底数幂的乘除同级运算，可直接利用同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减的法则，合并计算指数即可；
(2)先分别计算两个乘方运算：第一个是积的乘方，需将每个因式分别乘方后再相乘，第二个是幂的乘方，底数不变指数相乘，最后合并同类项即可；
(3)按运算顺序先分别计算单项式乘法、同底数幂除法、积的乘方三个部分，注意积的乘方的符号处理，最后将所得的同类项合并得到结果。
【解析】
(1) 按照同底数幂乘除运算法则计算：
$a^7 · a^3 ÷ a^2 = a^{7+3-2} = a^8$
(2) 先算乘方，再合并同类项：
$(-2m^2)^3 - (m^3)^2 = (-2)^3·(m^2)^3 - m^{3×2} = -8m^6 - m^6 = -9m^6$
(3) 先算乘方、乘除，再合并同类项：
$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$
$= 6a^{3+3} + a^{8-2} - [(-2)^3·(a^2)^3]$
$= 6a^6 + a^6 + 8a^6$
$= 15a^6$
【答案】
(1)$a^8$；(2)$-9m^6$；(3)$15a^6$
【知识点】
同底数幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，整式混合运算
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查对幂运算法则的掌握程度，解题时需格外注意运算顺序和积的乘方的符号判断，合并同类项时系数计算要准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
典例2 计算：
(1)$(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x·(2x^3 +4x^2)$；
(2)$(x+3)(x-5)-x(x-1)$。
(1)$(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x·(2x^3 +4x^2)$；
(2)$(x+3)(x-5)-x(x-1)$。
答案
解 (1)$(-2x)^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-2x(2x^{3}+4x^{2})$
$=-8x^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-(4x^{4}+8x^{3})$
$=-16x^{6}+4x^{4}+8x^{3}-4x^{4}-8x^{3}$
$=-16x^{6}.$
(2)$(x+3)(x-5)-x(x-1)$
$=x^{2}-5x+3x-15-x^{2}+x$
$=-x-15.$
$=-8x^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-(4x^{4}+8x^{3})$
$=-16x^{6}+4x^{4}+8x^{3}-4x^{4}-8x^{3}$
$=-16x^{6}.$
(2)$(x+3)(x-5)-x(x-1)$
$=x^{2}-5x+3x-15-x^{2}+x$
$=-x-15.$
解析
【分析】
这两道题均属于整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 第一步先计算积的乘方$(-2x)^3$，再分别按照“单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则，计算$(-2x)^3$与$(2x^3-\frac{1}{2}x-1)$的乘积、$2x$与$(2x^3+4x^2)$的乘积；之后去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
(2) 第一步先分别计算多项式乘多项式$(x+3)(x-5)$、单项式乘多项式$x(x-1)$，再去括号、合并同类项，计算过程中注意不要漏乘项，符号不要出错。
【解析】
(1) 先算积的乘方，再算单项式乘多项式，最后去括号合并同类项：
$\begin{aligned}&(-2x)^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-2x(2x^{3}+4x^{2})\\=&-8x^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-(4x^{4}+8x^{3})\\=&-16x^{6}+4x^{4}+8x^{3}-4x^{4}-8x^{3}\\=&-16x^{6}\end{aligned}$
(2) 先算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(x+3)(x-5)-x(x-1)\\=&x^{2}-5x+3x-15-x^{2}+x\\=&-x-15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-16x^6}$；(2) $\boxed{-x-15}$
【知识点】
整式的混合运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查各类整式运算法则的应用，解题的易错点是去括号时的符号处理、乘法运算时漏乘多项式的项，计算时养成按步骤运算、随时检查符号的习惯可以有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 第一步先计算积的乘方$(-2x)^3$，再分别按照“单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则，计算$(-2x)^3$与$(2x^3-\frac{1}{2}x-1)$的乘积、$2x$与$(2x^3+4x^2)$的乘积；之后去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
(2) 第一步先分别计算多项式乘多项式$(x+3)(x-5)$、单项式乘多项式$x(x-1)$，再去括号、合并同类项，计算过程中注意不要漏乘项，符号不要出错。
【解析】
(1) 先算积的乘方，再算单项式乘多项式，最后去括号合并同类项：
$\begin{aligned}&(-2x)^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-2x(2x^{3}+4x^{2})\\=&-8x^{3}(2x^{3}-\frac{1}{2}x -1)-(4x^{4}+8x^{3})\\=&-16x^{6}+4x^{4}+8x^{3}-4x^{4}-8x^{3}\\=&-16x^{6}\end{aligned}$
(2) 先算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(x+3)(x-5)-x(x-1)\\=&x^{2}-5x+3x-15-x^{2}+x\\=&-x-15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-16x^6}$；(2) $\boxed{-x-15}$
【知识点】
整式的混合运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查各类整式运算法则的应用，解题的易错点是去括号时的符号处理、乘法运算时漏乘多项式的项，计算时养成按步骤运算、随时检查符号的习惯可以有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
