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8. 如图3,一个长方形的周长为30 cm。如果这个长方形的长减少4 cm,宽增加3 cm,就可围成一个正方形,那么这个长方形的长为 ()
A.11 cm
B.10 cm
C.9 cm
D.8 cm
A.11 cm
B.10 cm
C.9 cm
D.8 cm
答案
A
解析
设这个长方形的长为x cm，由长方形周长为30 cm，可得长方形的宽为$(15-x)$cm。根据变化后得到的正方形边长相等，列方程：$x-4=(15-x)+3$，解得$x=11$，即该长方形的长为11 cm。
9.某商店实行“买四斤送一斤”促销活动，“买四斤送一斤”相当于打n折销售，这里的n为 （）
A.2
B.2.5
C.7.5
D.8
A.2
B.2.5
C.7.5
D.8
答案
D
解析
设每斤商品的原价为a元，“买四斤送一斤”意味着花费4斤商品的总金额4a元，实际可以得到5斤商品。此时实际每斤的单价为$\frac{4a}{5}=0.8a$，即实际售价为原价的80%，对应打8折，因此n=8。
10. (2024·绵阳)如图4,将全体正偶数排成一个三角数阵,从上向下数有无数行,其中第一行有1个数为2,第二行有2个数为4,6……第n行有n个数……。探究其中规律,你认为第n行从左至右第3个数不可能是 ()
A.36
B.96
C.226
D.426
A.36
B.96
C.226
D.426
答案
C
解析
首先推导规律：前n-1行的正偶数总个数为$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，因此第n-1行的最后一个数为$2×\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$。
当$n\ge3$时，第n行从左至右第3个数的表达式为$n(n-1)+6$。
逐个验证选项：
1. 令$n(n-1)+6=36$，解得正整数$n=6$，符合要求；
2. 令$n(n-1)+6=96$，解得正整数$n=10$，符合要求；
3. 令$n(n-1)+6=226$，即$n^2-n-220=0$，判别式$\Delta=881$不是完全平方数，无正整数解，不符合要求；
4. 令$n(n-1)+6=426$，解得正整数$n=21$，符合要求。
因此第n行从左至右第3个数不可能是226。
当$n\ge3$时，第n行从左至右第3个数的表达式为$n(n-1)+6$。
逐个验证选项：
1. 令$n(n-1)+6=36$，解得正整数$n=6$，符合要求；
2. 令$n(n-1)+6=96$，解得正整数$n=10$，符合要求；
3. 令$n(n-1)+6=226$，即$n^2-n-220=0$，判别式$\Delta=881$不是完全平方数，无正整数解，不符合要求；
4. 令$n(n-1)+6=426$，解得正整数$n=21$，符合要求。
因此第n行从左至右第3个数不可能是226。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 计算：$-2÷(-8)×\frac{1}{8}=$。
11. 计算：$-2÷(-8)×\frac{1}{8}=$。
答案
$\dfrac{1}{32}$
解析
解：
原式$=-2×(-\dfrac{1}{8})×\dfrac{1}{8}$
$=2×\dfrac{1}{8}×\dfrac{1}{8}$
$=\dfrac{1}{32}$
原式$=-2×(-\dfrac{1}{8})×\dfrac{1}{8}$
$=2×\dfrac{1}{8}×\dfrac{1}{8}$
$=\dfrac{1}{32}$
12.若$(a^2 -1)x^2 + (a -1)x +2=0$是关于x的一元一次方程，则a=。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：
∵ $(a^2 -1)x^2 + (a -1)x +2=0$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 二次项系数为0，且一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 1 = 0 \\a - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$a^2 -1=0$，解得$a=\pm1$，
结合$a-1≠0$即$a≠1$，得$a=-1$。
∵ $(a^2 -1)x^2 + (a -1)x +2=0$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 二次项系数为0，且一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}a^2 - 1 = 0 \\a - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$a^2 -1=0$，解得$a=\pm1$，
结合$a-1≠0$即$a≠1$，得$a=-1$。
13.若$a+2b=5$,$ab=3$,则$a - b + ab^2=$。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
∵ $ab=3$，
∴ $ab^2 = b · ab = 3b$，
∴ $a - b + ab^2 = a - b + 3b = a + 2b$，
又∵ $a + 2b = 5$，
∴ $a - b + ab^2 = 5$。
∵ $ab=3$，
∴ $ab^2 = b · ab = 3b$，
∴ $a - b + ab^2 = a - b + 3b = a + 2b$，
又∵ $a + 2b = 5$，
∴ $a - b + ab^2 = 5$。
14. 期中考试结束后，老师统计了全班40人的数学成绩，这40个数据共分为6组，第1组至第4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的人数占总人数的10%，那么第6组的频数是。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：
第5组的频数为：$40×10\% = 4$
所有组的频数之和等于数据总个数，因此第6组的频数为：
$40 - 10 - 5 - 7 - 6 - 4 = 8$
第5组的频数为：$40×10\% = 4$
所有组的频数之和等于数据总个数，因此第6组的频数为：
$40 - 10 - 5 - 7 - 6 - 4 = 8$
15.如图5①,在长方形ABCD中,点E在AD上,并且∠ABE=30°,
分别以BE,CE为折痕进行折叠并压平,如图5②。若图5②中∠AED =n°,则∠DEC的度数为。
分别以BE,CE为折痕进行折叠并压平,如图5②。若图5②中∠AED =n°,则∠DEC的度数为。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{(n+60)}{2}°}$（或$(30+\dfrac{n}{2})°$）
解析
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=90°，
∵ ∠ABE=30°，
∴ ∠AEB=90°-30°=60°。
由折叠的性质可知：
折叠后∠A'EB = ∠AEB = 60°，∠DEC = ∠D'EC（A'、D'分别为点A、D折叠后的对应点）。
∴ ∠AEA' = ∠AEB + ∠A'EB = 120°。
∵ 折叠前A、E、D在同一直线上，平角为180°，
∴ 2∠DEC + ∠AEA' - ∠AED = 180°，
将∠AED=n°代入得：
2∠DEC + 120° - n° = 180°，
整理得：2∠DEC = n° + 60°，
∴ ∠DEC = $(\dfrac{n+60}{2})°$（或写成$(30+\dfrac{n}{2})°$）。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=90°，
∵ ∠ABE=30°，
∴ ∠AEB=90°-30°=60°。
由折叠的性质可知：
折叠后∠A'EB = ∠AEB = 60°，∠DEC = ∠D'EC（A'、D'分别为点A、D折叠后的对应点）。
∴ ∠AEA' = ∠AEB + ∠A'EB = 120°。
∵ 折叠前A、E、D在同一直线上，平角为180°，
∴ 2∠DEC + ∠AEA' - ∠AED = 180°，
将∠AED=n°代入得：
2∠DEC + 120° - n° = 180°，
整理得：2∠DEC = n° + 60°，
∴ ∠DEC = $(\dfrac{n+60}{2})°$（或写成$(30+\dfrac{n}{2})°$）。
