登录
6. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量$ y $（单位：$\mathrm{m}^3$）与旋钮的旋转角度$ x $（单位：度）近似满足函数关系式$ y = ax^2 + bx + c $（$ a ≠ 0 $），
记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度$ x $与燃气量$ y $的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（
A.36度
B.45度
C.50度
D.42度
记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度$ x $与燃气量$ y $的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（D
）A.36度
B.45度
C.50度
D.42度
答案
6. D
7. 如图,一块矩形场地的长为 40 m,宽为30 m.现将这块地划分成四块,分别种植:A郁金香;B月季;C菊花;D玉兰花.
(1)求这块场地中种植月季的面积$y(\mathrm{m}^2)$关于B场地的长$x(\mathrm{m})$的函数解析式,并求出自变量$x$的取值范围.
(2)当$x$的值是多少时,种植月季的面积最大?最大面积是多少?
(1)求这块场地中种植月季的面积$y(\mathrm{m}^2)$关于B场地的长$x(\mathrm{m})$的函数解析式,并求出自变量$x$的取值范围.
(2)当$x$的值是多少时,种植月季的面积最大?最大面积是多少?
答案
(1)由题可得:B场地的宽度为$(30-x)\mathrm{m}$,
∴$y=x(30-x)=-x^2+30x$,
当 $y=0$ 时,即 $-x^2+30x=0$,
解得 $x_1=0$,$x_2=30$,
∴函数与 $x$ 轴的公共点坐标为$(0,0)$和$(30,0)$,自变量的取值范围为 $0＜ x＜ 30$.
(2)由(1)知,$y=-x^2+30x=-(x-15)^2+225$,
∴当 $x=15$ 时,种植月季的面积最大,最大面积为 $225\ \mathrm{m}^2$.
∴$y=x(30-x)=-x^2+30x$,
当 $y=0$ 时,即 $-x^2+30x=0$,
解得 $x_1=0$,$x_2=30$,
∴函数与 $x$ 轴的公共点坐标为$(0,0)$和$(30,0)$,自变量的取值范围为 $0＜ x＜ 30$.
(2)由(1)知,$y=-x^2+30x=-(x-15)^2+225$,
∴当 $x=15$ 时,种植月季的面积最大,最大面积为 $225\ \mathrm{m}^2$.
8. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,6),B(12,0).点Q从点O出发,沿x轴正方向向点B以每秒1个单位长度的速度匀速运动;点P从点A出发,沿y轴负方向向点O以每秒1个单位长度的速度匀速运动.点P,Q同时出发,运动时间为t(s)(0≤t≤6).
(1)用含t的式子表示动点P,Q的坐标:
P(
(2)在运动变化过程中,△POQ的面积能否等于△AOB面积的$\frac{1}{8}$?若能,请求出此时的运动时间;若不能,请说明理由.
(3)在运动变化过程中,四边形APQB的面积S有最大值或有最小值吗?若有,求出它的最值,并求出此时t的值.
(1)用含t的式子表示动点P,Q的坐标:
P(
0
,$6-t$
),Q($t$
,$0$
).(2)在运动变化过程中,△POQ的面积能否等于△AOB面积的$\frac{1}{8}$?若能,请求出此时的运动时间;若不能,请说明理由.
(3)在运动变化过程中,四边形APQB的面积S有最大值或有最小值吗?若有,求出它的最值,并求出此时t的值.
答案
(1) 0，$6-t$，$t$，0
(2)能.过程如下:
由(1)得 $AP=t$,$PO=6-t$,$OQ=t$,
∴$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AO· BO=\dfrac{1}{2}×6×12=36$,
则 $S_{△ POQ}=\dfrac{1}{2}OP· OQ=\dfrac{1}{2}(6-t)t=-\dfrac{1}{2}t^2+3t(0≤ t≤6)$.
∵$△ POQ$ 的面积等于$△ AOB$ 面积的$\dfrac{1}{8}$,
∴$-\dfrac{1}{2}t^2+3t=\dfrac{1}{8}×36$,
整理,得 $t^2-6t+9=0$,解得 $t_1=t_2=3$,
∴此时的运动时间为 3 s.
(3)四边形APQB的面积有最小值,为$31.5\ \mathrm{cm}^2$,此时$t=3$.
过程如下:
由(2)得 $S_{△ POQ}=-\dfrac{1}{2}t^2+3t(0≤ t≤6)$,$S_{△ AOB}=36$,
则 $S=S_{△ AOB}-S_{△ POQ}=36-(-\dfrac{1}{2}t^2+3t)=\dfrac{1}{2}t^2-3t+36$.
∵$\dfrac{1}{2}＞0$,
∴在 $t=-\dfrac{-3}{2×\dfrac{1}{2}}=3$ 时,$S$ 取最小值,且 $S=\dfrac{1}{2}×3^2-3×3+36=31.5$.
∵$0≤ t≤6$,对称轴直线 $t=3$,开口向上,
∴越远离对称轴的自变量所对应的函数值越大,
当 $t=0$ 时,点 $P$ 与点 $A$ 重合,此时无法形成四边形 $APQB$;
当 $t=6$ 时,则点 $P$,$Q$,$B$ 共线,此时无法形成四边形 $APQB$,
∴四边形 $APQB$ 的面积没有最大值.
综上所述,四边形 $APQB$ 的面积有最小值,且为 31.5,此时 $t=3$.
(2)能.过程如下:
由(1)得 $AP=t$,$PO=6-t$,$OQ=t$,
∴$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AO· BO=\dfrac{1}{2}×6×12=36$,
则 $S_{△ POQ}=\dfrac{1}{2}OP· OQ=\dfrac{1}{2}(6-t)t=-\dfrac{1}{2}t^2+3t(0≤ t≤6)$.
∵$△ POQ$ 的面积等于$△ AOB$ 面积的$\dfrac{1}{8}$,
∴$-\dfrac{1}{2}t^2+3t=\dfrac{1}{8}×36$,
整理,得 $t^2-6t+9=0$,解得 $t_1=t_2=3$,
∴此时的运动时间为 3 s.
(3)四边形APQB的面积有最小值,为$31.5\ \mathrm{cm}^2$,此时$t=3$.
过程如下:
由(2)得 $S_{△ POQ}=-\dfrac{1}{2}t^2+3t(0≤ t≤6)$,$S_{△ AOB}=36$,
则 $S=S_{△ AOB}-S_{△ POQ}=36-(-\dfrac{1}{2}t^2+3t)=\dfrac{1}{2}t^2-3t+36$.
∵$\dfrac{1}{2}＞0$,
∴在 $t=-\dfrac{-3}{2×\dfrac{1}{2}}=3$ 时,$S$ 取最小值,且 $S=\dfrac{1}{2}×3^2-3×3+36=31.5$.
∵$0≤ t≤6$,对称轴直线 $t=3$,开口向上,
∴越远离对称轴的自变量所对应的函数值越大,
当 $t=0$ 时,点 $P$ 与点 $A$ 重合,此时无法形成四边形 $APQB$;
当 $t=6$ 时,则点 $P$,$Q$,$B$ 共线,此时无法形成四边形 $APQB$,
∴四边形 $APQB$ 的面积没有最大值.
综上所述,四边形 $APQB$ 的面积有最小值,且为 31.5,此时 $t=3$.
