7. △ABC与△DEF中,给出下列四组条件:
①$AB=DE,BC=EF,AC=DF$;②$AB=DE,∠B=∠E,BC=EF$;
③$∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F$;④$AB=DE,AC=DF,∠B=∠E$.
其中,能使$△ABC≌△DEF$的条件是 ()

A.①③④
B.②③④
C.①②③
D.①②④

7.C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意SSA（两边及其中一边的对角对应相等）无法判定三角形全等。接下来我们逐一核对四组条件，判断每组是否符合全等判定定理，最后筛选出符合要求的条件组合即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四组条件：
①$AB=DE,BC=EF,AC=DF$：三组对应边相等，符合SSS全等判定定理，可证明$△ ABC≌△ DEF$；
②$AB=DE,∠B=∠E,BC=EF$：$∠ B$是$AB、BC$的夹角，$∠ E$是$DE、EF$的夹角，两边及其夹角对应相等，符合SAS全等判定定理，可证明$△ ABC≌△ DEF$；
③$∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F$：$BC$是$∠ B、∠ C$的夹边，$EF$是$∠ E、∠ F$的夹边，两角及其夹边对应相等，符合ASA全等判定定理，可证明$△ ABC≌△ DEF$；
④$AB=DE,AC=DF,∠B=∠E$：$∠ B、∠ E$是两组对应边中其中一边的对角，属于SSA情形，无法判定三角形全等。
综上，能使$△ ABC≌△ DEF$的条件是①②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定、SSS判定、SAS判定
【点评】
本题核心考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是准确区分各个判定定理的适用条件，尤其要注意SSA不能作为全等判定的依据，避免混淆条件出现错误。
【难度系数】
0.7

8.如图，AD是$△ ABC$的中线，点E，F分别在AB，AC上（点E，F不与端点重合），且$DE⊥ DF$.则$BE+CF$与$EF$的关系是 （）

A.$BE+CF＞EF$
B.$BE+CF＜EF$
C.$BE+CF=EF$
D.不确定

8.A

【分析】
要比较BE+CF与EF的大小，可利用三角形三边关系判定，需将三条线段转化到同一个三角形中。已知D是BC中点，且DE⊥DF，我们可以通过延长ED构造全等三角形，将BE转化为与之相等的线段，再结合垂直平分线的性质将EF转化为与之相等的线段，即可利用三角形三边关系得出结论。
【解析】
延长ED到点G，使DG=DE，连接CG、FG。
1.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
2. 在△BDE和△CDG中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDE=∠ CDG(\mathrm{对顶角相等})\\ DE=DG\end{array} $
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG。
3.
∵DE⊥DF，DE=DG，
∴DF是线段EG的垂直平分线，
∴EF=FG。
4. 在△CFG中，由三角形三边关系可得：CG+CF＞FG。
将CG替换为BE，FG替换为EF，得$BE+CF＞EF$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质；垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是几何中比较线段和差关系的典型题，核心是通过构造全等三角形实现线段的转移，将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，掌握中线相关的辅助线构造技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,AC＜BC$. (第8题)
(1) 要求尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹:①作出AB的垂直平分线MN与AB交于点D,与BC交于点E;②过点B作BF垂直于AE,垂足为F.
(2)求证:$AC=BF$.

解：
(1) 按要求完成尺规作图，保留对应作图痕迹（作出AB的垂直平分线MN交AB于点D、交BC于点E，过点B作BF垂直AE，垂足为F，痕迹符合尺规作图规范即可）。
(2) 证明：
∵ MN是AB的垂直平分线，点E在MN上，
∴ AE = BE。
∵ ∠C = 90°，BF⊥AE，
∴ ∠C = ∠BFE = 90°。
在△ACE和△BFE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠BFE \\∠AEC = ∠BEF \\AE = BE\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BFE（AAS），
∴ AC = BF。

【分析】
(1) 尺规作图部分：①作AB的垂直平分线时，分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，过两弧的两个交点作直线即可得到MN，再确定MN与AB的交点D、与BC的交点E；②过B作AE的垂线时，以B为圆心取适当长度为半径画弧交AE于两点，再以这两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，过两弧交点和B作直线，与AE的交点即为垂足F，全程保留作图痕迹即可。
(2) 证明部分：要证AC=BF，可通过证明两条线段所在的△ACE和△BFE全等实现。首先根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，再结合已知的直角条件和对顶角相等的关系，即可用AAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
(1) 按尺规作图规范完成操作：①作AB的垂直平分线MN，MN与AB交于点D，与BC交于点E；②过点B作BF⊥AE，垂足为F，保留所有作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ MN是AB的垂直平分线，点E在MN上，
∴ AE = BE。
∵ ∠C = 90°，BF⊥AE，
∴ ∠C = ∠BFE = 90°。
在△ACE和△BFE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠BFE \\∠AEC = ∠BEF \\AE = BE\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BFE（AAS），
∴ AC = BF。
【答案】
(1) 按要求完成尺规作图，保留对应作图痕迹（作出AB的垂直平分线MN交AB于点D、交BC于点E，过点B作BF垂直AE，垂足为F，痕迹符合尺规作图规范即可）。
(2) 证明成立，AC=BF。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基本的动手作图能力，又考查了对垂直平分线性质、全等三角形判定等核心知识的运用能力，属于基础几何综合题，解题的关键是准确找到全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$△ ABC$中,如果$BD$,$CE$分别是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线且相交于点$P$,设$∠ A=n°$.
(1)求$∠ BPC$的度数(用含$n$的代数式表示).
(2)当$n=60$时,求证:$BC=CD+BE$.

10.(1)$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}n°$ (2)证明略

【分析】
(1) 要求∠BPC的度数，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数，再结合角平分线的定义得到∠PBC与∠PCB的度数和，最后在△BPC中再次运用内角和定理即可推导∠BPC的表达式。
(2) 要证明BC=CD+BE，属于线段和差类问题，采用截长补短法：在BC上截取BF=BE，先通过SAS证明△BEP≌△BFP得到对应角相等，再结合n=60°时∠BPC的度数，通过ASA证明△CDP≌△CFP得到CD=CF，即可推出BC=BE+CD。
【解析】
(1) 在△ABC中，由三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - n°$
∵BD平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - n°) = 90° - \frac{1}{2}n°$
在△BPC中，$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}n°) = 90° + \frac{1}{2}n°$
(2) 证明：在BC上截取$BF=BE$，连接PF。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ EBP = ∠ FBP$
又
∵$BE=BF$，$BP=BP$，
∴$△ BEP ≌ △ BFP$（SAS），则$∠ BPE = ∠ BPF$
当$n=60$时，由(1)得$∠ BPC = 90° + \frac{1}{2} × 60° = 120°$
∴$∠ BPE = 180° - ∠ BPC = 60°$，则$∠ BPF = 60°$
∴$∠ CPF = ∠ BPC - ∠ BPF = 120° - 60° = 60°$
又
∵$∠ CPD = ∠ BPE = 60°$，
∴$∠ CPF = ∠ CPD$
∵CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ PCD = ∠ PCF$
又
∵$PC=PC$，
∴$△ CDP ≌ △ CFP$（ASA），则$CD=CF$
∴$BC = BF + CF = BE + CD$，结论得证。
【答案】
(1) $∠ BPC=90°+\frac{1}{2}n°$
(2) 证明略
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问是三角形双内角平分线夹角的经典结论，基础掌握牢固即可快速推导；第二问考查截长补短法在线段和差证明中的应用，是几何证明的常用辅助线技巧，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用性质转化线段关系。
【难度系数】
0.6