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5. (2026阜阳一模)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的值可以是（
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先根据给定的方程写出$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$m$的不等式，再逐个验证选项是否满足不等式即可。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程为$x^2 + mx + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=2$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入得：
$m^2 - 4×1×2 ＞ 0$
即$m^2 ＞ 8$
逐个验证选项：
A. 当$m=-1$时，$m^2=(-1)^2=1＜8$，不符合要求；
B. 当$m=0$时，$m^2=0^2=0＜8$，不符合要求；
C. 当$m=2$时，$m^2=2^2=4＜8$，不符合要求；
D. 当$m=3$时，$m^2=3^2=9＞8$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式、有理数乘方运算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与方程根的个数的对应关系，只要牢记判别式的运算公式和不同取值对应的根的情况，结合简单计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先根据给定的方程写出$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$m$的不等式，再逐个验证选项是否满足不等式即可。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程为$x^2 + mx + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=2$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入得：
$m^2 - 4×1×2 ＞ 0$
即$m^2 ＞ 8$
逐个验证选项：
A. 当$m=-1$时，$m^2=(-1)^2=1＜8$，不符合要求；
B. 当$m=0$时，$m^2=0^2=0＜8$，不符合要求；
C. 当$m=2$时，$m^2=2^2=4＜8$，不符合要求；
D. 当$m=3$时，$m^2=3^2=9＞8$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式、有理数乘方运算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与方程根的个数的对应关系，只要牢记判别式的运算公式和不同取值对应的根的情况，结合简单计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6.已知$m,n$是方程$x^2+2x-5=0$的两个实数根，则$m^2-2n+mn=$
4
.答案
6. 4
解析
【分析】
本题若直接求解方程的根再代入计算，运算量较大。解题时可先利用一元二次方程根的定义，将含$m^2$的项降次为一次式，代入所求代数式后整理，可得到含两根之和、两根之积的形式，再结合韦达定理（根与系数的关系）整体代入计算即可，过程更简便。
【解析】
∵$m$是方程$x^2+2x-5=0$的实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2+2m-5=0$，即$m^2=5-2m$。
将$m^2=5-2m$代入$m^2-2n+mn$得：
原式$=5-2m-2n+mn=5-2(m+n)+mn$。
又
∵$m、n$是方程$x^2+2x-5=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-2$，两根之积$mn=\frac{c}{a}=-5$。
将上述值代入得：
$5-2×(-2)+(-5)=5+4-5=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式求值类的常考题，核心是利用根的定义实现高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，能有效减少运算量，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解方程的根再代入计算，运算量较大。解题时可先利用一元二次方程根的定义，将含$m^2$的项降次为一次式，代入所求代数式后整理，可得到含两根之和、两根之积的形式，再结合韦达定理（根与系数的关系）整体代入计算即可，过程更简便。
【解析】
∵$m$是方程$x^2+2x-5=0$的实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2+2m-5=0$，即$m^2=5-2m$。
将$m^2=5-2m$代入$m^2-2n+mn$得：
原式$=5-2m-2n+mn=5-2(m+n)+mn$。
又
∵$m、n$是方程$x^2+2x-5=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-2$，两根之积$mn=\frac{c}{a}=-5$。
将上述值代入得：
$5-2×(-2)+(-5)=5+4-5=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式求值类的常考题，核心是利用根的定义实现高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，能有效减少运算量，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 -4x+2=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果符合条件的最大整数$m$的值是关于$y$的一元二次方程$y^2+ny-3=0$的一个根，求该方程的另一个根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果符合条件的最大整数$m$的值是关于$y$的一元二次方程$y^2+ny-3=0$的一个根，求该方程的另一个根.
答案
7. (1) 根据题意,得 $\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4(m-2)×2＞0$,且$m-2≠0$,
$\therefore m＜4$ 且 $m≠2$.
(2) 设方程 $y^2 + ny -3 = 0$ 的另一个根为 $p$.
$\because$ 由(1)知符合条件的最大整数 $m$ 是 3,
$\therefore 3$ 是关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2 + ny -3 = 0$ 的一个根,
$\therefore 3p = -3$,
解得 $p=-1$,
$\therefore$ 该方程的另一个根为 $-1$.
$\therefore m＜4$ 且 $m≠2$.
(2) 设方程 $y^2 + ny -3 = 0$ 的另一个根为 $p$.
$\because$ 由(1)知符合条件的最大整数 $m$ 是 3,
$\therefore 3$ 是关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2 + ny -3 = 0$ 的一个根,
$\therefore 3p = -3$,
解得 $p=-1$,
$\therefore$ 该方程的另一个根为 $-1$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问需抓住两个核心限制条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m-2≠0$；二是方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$，将对应系数代入判别式列不等式，结合两个条件即可求出$m$的取值范围。
(2) 第二问先从(1)的取值范围内找到符合要求的最大整数$m$，再利用一元二次方程根与系数的关系（两根之积等于常数项除以二次项系数），无需计算参数$n$即可快速求出另一个根，简化计算过程。
【解析】
(1) 已知$(m-2)x^2 -4x+2=0$是有两个不相等实数根的一元二次方程，因此满足：
$\begin{cases}m-2≠0 \\\Delta = (-4)^2 -4×(m-2)×2＞0\end{cases}$
解判别式不等式：
$16-8(m-2)＞0$
$16-8m+16＞0$
$32＞8m$
得$m＜4$
结合$m-2≠0$即$m≠2$，因此$m$的取值范围是$m＜4$且$m≠2$。
(2) 设方程$y^2+ny-3=0$的另一个根为$p$。
由(1)的结论可知，符合条件的最大整数$m=3$，即3是方程$y^2+ny-3=0$的一个根。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ay^2+by+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$3× p=\frac{-3}{1}=-3$
解得$p=-1$。
【答案】
(1) $m＜4$且$m≠2$；
(2) $-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时要注意“一元二次方程二次项系数不为0”这个容易被忽略的隐含条件，避免出现漏解；第二问灵活运用根与系数的关系可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问需抓住两个核心限制条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m-2≠0$；二是方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$，将对应系数代入判别式列不等式，结合两个条件即可求出$m$的取值范围。
(2) 第二问先从(1)的取值范围内找到符合要求的最大整数$m$，再利用一元二次方程根与系数的关系（两根之积等于常数项除以二次项系数），无需计算参数$n$即可快速求出另一个根，简化计算过程。
【解析】
(1) 已知$(m-2)x^2 -4x+2=0$是有两个不相等实数根的一元二次方程，因此满足：
$\begin{cases}m-2≠0 \\\Delta = (-4)^2 -4×(m-2)×2＞0\end{cases}$
解判别式不等式：
$16-8(m-2)＞0$
$16-8m+16＞0$
$32＞8m$
得$m＜4$
结合$m-2≠0$即$m≠2$，因此$m$的取值范围是$m＜4$且$m≠2$。
(2) 设方程$y^2+ny-3=0$的另一个根为$p$。
由(1)的结论可知，符合条件的最大整数$m=3$，即3是方程$y^2+ny-3=0$的一个根。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ay^2+by+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$3× p=\frac{-3}{1}=-3$
解得$p=-1$。
【答案】
(1) $m＜4$且$m≠2$；
(2) $-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时要注意“一元二次方程二次项系数不为0”这个容易被忽略的隐含条件，避免出现漏解；第二问灵活运用根与系数的关系可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为 $ a,b $,若 $ (2a + b)(a + 2b) = 20 $,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为 $ a,b $,若 $ (2a + b)(a + 2b) = 20 $,求 $ m $ 的值.
答案
8. (1) 证明:$\because \Delta = [-(2m+1)]^2 -4(m^2 + m) = 1＞0$,
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2) 解:$\because x^2 -(2m+1)x + m^2 + m = 0$ 的两个实数根为 $a,b$,
$\therefore a+b=2m+1,ab=m^2 + m$.
$\because (2a+b)(a+2b)=20$,
$\therefore 2a^2 +4ab +2b^2 +ab=20,\therefore 2(a+b)^2 +ab=20$.
$\therefore 2(2m+1)^2 + m^2 + m = 20$,
即 $m^2 + m -2 = 0$.
解得 $m_1=1,m_2=-2$.
$\therefore m$ 的值为 $1$ 或 $-2$.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2) 解:$\because x^2 -(2m+1)x + m^2 + m = 0$ 的两个实数根为 $a,b$,
$\therefore a+b=2m+1,ab=m^2 + m$.
$\because (2a+b)(a+2b)=20$,
$\therefore 2a^2 +4ab +2b^2 +ab=20,\therefore 2(a+b)^2 +ab=20$.
$\therefore 2(2m+1)^2 + m^2 + m = 20$,
即 $m^2 + m -2 = 0$.
解得 $m_1=1,m_2=-2$.
$\therefore m$ 的值为 $1$ 或 $-2$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，只需计算判别式Δ，证明Δ恒大于0即可。
(2) 已知方程的两个根为a、b，先利用根与系数的关系求出a+b和ab的表达式，再将等式(2a+b)(a+2b)展开变形，用a+b和ab整体代换，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，第一问已证明Δ恒大于0，因此求出的m值均有效。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0$，
判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4(m^2 + m)$
$=4m^2 +4m +1 -4m^2 -4m$
$=1＞0$，
∴无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵方程的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系可得：
$a+b = 2m+1$，$ab = m^2 + m$，
∵$(2a + b)(a + 2b) = 20$，
展开左边得$2a^2 +5ab +2b^2 = 20$，即$2(a+b)^2 +ab = 20$，
代入$a+b$和$ab$的表达式得：
$2(2m+1)^2 + m^2 + m = 20$，
整理得$m^2 +m -2 = 0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-2$。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$1$或$-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题的核心是熟练掌握相关性质，第二问通过对代数式合理变形，用整体代入的思想建立关于参数m的方程即可求解，是中考常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，只需计算判别式Δ，证明Δ恒大于0即可。
(2) 已知方程的两个根为a、b，先利用根与系数的关系求出a+b和ab的表达式，再将等式(2a+b)(a+2b)展开变形，用a+b和ab整体代换，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，第一问已证明Δ恒大于0，因此求出的m值均有效。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0$，
判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4(m^2 + m)$
$=4m^2 +4m +1 -4m^2 -4m$
$=1＞0$，
∴无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵方程的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系可得：
$a+b = 2m+1$，$ab = m^2 + m$，
∵$(2a + b)(a + 2b) = 20$，
展开左边得$2a^2 +5ab +2b^2 = 20$，即$2(a+b)^2 +ab = 20$，
代入$a+b$和$ab$的表达式得：
$2(2m+1)^2 + m^2 + m = 20$，
整理得$m^2 +m -2 = 0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-2$。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$1$或$-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题的核心是熟练掌握相关性质，第二问通过对代数式合理变形，用整体代入的思想建立关于参数m的方程即可求解，是中考常考题型。
【难度系数】
0.7
9.我国古代著作《算法统宗》中记载:“今有方田一段,圆田一段,共积二百五十二步,只云方面圆径适等.问方(面)圆径各若干?”意思是:现在有正方形田和圆形田各一块(
),面积之和为252,只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少?设正方形田的边长为$x$,则可列出方程为 (
A.$x^2 + π x^2 = 252$
B.$2x^2 + π x^2 = 252$
C.$(\frac{x}{2})^2 + π x^2 = 252$
D.$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$
),面积之和为252,只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少?设正方形田的边长为$x$,则可列出方程为 (D
)A.$x^2 + π x^2 = 252$
B.$2x^2 + π x^2 = 252$
C.$(\frac{x}{2})^2 + π x^2 = 252$
D.$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$
答案
9. D
解析
【分析】
要列出方程，首先需要分别表示出正方形田和圆形田的面积，再根据两者面积之和为252建立等量关系。第一步，明确正方形边长为x，利用正方形面积公式可得其面积；第二步，已知圆形田的直径等于正方形边长x，可推出圆的半径，再利用圆的面积公式可得圆的面积；第三步，将两个面积相加等于总面积252，即可得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
设正方形田的边长为$ x $：
1. 正方形的面积公式为$ S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}^2 $，因此正方形田的面积为$ x^2 $；
2. 由题意可知圆形田的直径等于正方形边长$ x $，因此圆的半径$ r=\frac{x}{2} $，圆的面积公式为$ S_{\mathrm{圆}}=π r^2 $，代入得圆形田的面积为$ π · (\frac{x}{2})^2 $；
3. 两块田的面积之和为252，因此可列方程：$ x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列一元二次方程；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学著作的记载，考查了根据实际问题列方程的能力，解题的关键是牢记常见几何图形的面积公式，准确找到题目中的等量关系。
【难度系数】
0.8
要列出方程，首先需要分别表示出正方形田和圆形田的面积，再根据两者面积之和为252建立等量关系。第一步，明确正方形边长为x，利用正方形面积公式可得其面积；第二步，已知圆形田的直径等于正方形边长x，可推出圆的半径，再利用圆的面积公式可得圆的面积；第三步，将两个面积相加等于总面积252，即可得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
设正方形田的边长为$ x $：
1. 正方形的面积公式为$ S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}^2 $，因此正方形田的面积为$ x^2 $；
2. 由题意可知圆形田的直径等于正方形边长$ x $，因此圆的半径$ r=\frac{x}{2} $，圆的面积公式为$ S_{\mathrm{圆}}=π r^2 $，代入得圆形田的面积为$ π · (\frac{x}{2})^2 $；
3. 两块田的面积之和为252，因此可列方程：$ x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列一元二次方程；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学著作的记载，考查了根据实际问题列方程的能力，解题的关键是牢记常见几何图形的面积公式，准确找到题目中的等量关系。
【难度系数】
0.8
10.某企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每周的销售量$y$(个)与销售单价$x$(元/个)之间满足一次函数$y=-20x+1000$，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（
A.25元
B.20元或40元
C.40元
D.20元
D
）A.25元
B.20元或40元
C.40元
D.20元
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这个利润问题，首先明确销售利润的核心计算公式：总利润=单个商品利润×销售量。第一步先表示出单个零件的利润，即销售单价x减去成本10元；第二步，题目已直接给出销售量y与售价x的函数关系；第三步根据总获利6000元的等量关系列方程求解，最后结合“售价不超过35元/个”的限制条件对解出的根进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
解：由题意得，单个零件的利润为$(x-10)$元，每周销售量为$(-20x+1000)$个，根据总利润为6000元可列方程：
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
展开整理方程：
$-20x^2+1200x-10000=6000$
$x^2-60x+800=0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$
$\because$ 售价不能超过35元/个，即$x≤35$
$\therefore x=40$不符合题意，舍去，即售价应定为20元。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、自变量取值范围
【点评】
本题是销售类实际应用的典型题型，解题关键是找准总利润的等量关系建立方程，需特别注意题目中售价上限等隐含限制条件，对求解结果进行合理性验证，避免忽略取舍错选多解选项。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润问题，首先明确销售利润的核心计算公式：总利润=单个商品利润×销售量。第一步先表示出单个零件的利润，即销售单价x减去成本10元；第二步，题目已直接给出销售量y与售价x的函数关系；第三步根据总获利6000元的等量关系列方程求解，最后结合“售价不超过35元/个”的限制条件对解出的根进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
解：由题意得，单个零件的利润为$(x-10)$元，每周销售量为$(-20x+1000)$个，根据总利润为6000元可列方程：
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
展开整理方程：
$-20x^2+1200x-10000=6000$
$x^2-60x+800=0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$
$\because$ 售价不能超过35元/个，即$x≤35$
$\therefore x=40$不符合题意，舍去，即售价应定为20元。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、自变量取值范围
【点评】
本题是销售类实际应用的典型题型，解题关键是找准总利润的等量关系建立方程，需特别注意题目中售价上限等隐含限制条件，对求解结果进行合理性验证，避免忽略取舍错选多解选项。
【难度系数】
0.7
11. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC=30\ \mathrm{cm}, BC=25\ \mathrm{cm}$, 动点 $P$ 从点 $C$ 出发, 沿 $CA$ 方向向点 $A$ 运动, 速度是 $2\ \mathrm{cm/s}$; 同时, 动点 $Q$ 从点 $B$ 出发, 沿 $BC$ 方向向点 $C$ 运动, 速度是 $1\ \mathrm{cm/s}$, 则经过
10
s 后, $P,Q$ 两点之间相距 $25\ \mathrm{cm}$.答案
11. 10
解析
【分析】
本题是直角三角形中的动点距离求解问题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，结合两个动点的运动速度，分别用含t的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边CP、CQ的长度；再利用勾股定理建立关于t的一元二次方程；最后求解方程，结合动点运动的实际取值范围舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设经过$t$ s后，$P,Q$两点之间相距$25\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$CP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，则$CQ=BC-BQ=(25-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中，根据勾股定理可得：
$CP^2+CQ^2=PQ^2$
代入已知数据得：
$(2t)^2+(25-t)^2=25^2$
展开计算：
$4t^2+625-50t+t^2=625$
整理得：
$5t^2-50t=0$
因式分解得：
$5t(t-10)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=10$。
$t=0$为初始时刻，不符合运动过程的要求，故舍去。
$\therefore t=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点结合方程的典型题型，解题核心是用时间参数表示出相关线段的长度，再结合几何性质列方程求解，最后要注意结合实际场景舍去不合理的方程解。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中的动点距离求解问题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，结合两个动点的运动速度，分别用含t的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边CP、CQ的长度；再利用勾股定理建立关于t的一元二次方程；最后求解方程，结合动点运动的实际取值范围舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设经过$t$ s后，$P,Q$两点之间相距$25\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$CP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，则$CQ=BC-BQ=(25-t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中，根据勾股定理可得：
$CP^2+CQ^2=PQ^2$
代入已知数据得：
$(2t)^2+(25-t)^2=25^2$
展开计算：
$4t^2+625-50t+t^2=625$
整理得：
$5t^2-50t=0$
因式分解得：
$5t(t-10)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=10$。
$t=0$为初始时刻，不符合运动过程的要求，故舍去。
$\therefore t=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点结合方程的典型题型，解题核心是用时间参数表示出相关线段的长度，再结合几何性质列方程求解，最后要注意结合实际场景舍去不合理的方程解。
【难度系数】
0.7
