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7. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为(
A.$0$
B.$\pm3$
C.$3$
D.$-3$
D
)A.$0$
B.$\pm3$
C.$3$
D.$-3$
答案
7. D
解析
解：将方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$移项化为一般形式：$(m - 3)x^{2}+(m^{2}-9)x - 5 = 0$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
又因为方程不含一次项，所以一次项系数$m^{2}-9 = 0$，解得$m = \pm 3$。
综上，$m = -3$。
D
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
又因为方程不含一次项，所以一次项系数$m^{2}-9 = 0$，解得$m = \pm 3$。
综上，$m = -3$。
D
8. (易错题)已知关于$x$的一元二次方程$(a - 7)x^{2}+x+\vert a\vert - 7 = 0$的一个根是$x = 0$，则实数$a$的值为(
A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
A
)A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
答案
8. A [易错分析]解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为 0”这一特征而错选 D。
9. (2024·南充)已知$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为
-4
。答案
9. -4 解析：把 $ x = m $ 代入方程，得 $ m^{2} + 4m - 1 = 0 $，即 $ m^{2} + 4m = 1 $。$ \therefore (m + 5)(m - 1) = m^{2} - m + 5m - 5 = m^{2} + 4m - 5 = 1 - 5 = -4 $。
解析
解：把$x = m$代入方程$x^{2}+4x - 1 = 0$，得$m^{2}+4m - 1 = 0$，即$m^{2}+4m=1$。
$(m + 5)(m - 1)=m^{2}-m + 5m - 5=m^{2}+4m - 5$。
将$m^{2}+4m=1$代入上式，得$1 - 5=-4$。
$-4$
$(m + 5)(m - 1)=m^{2}-m + 5m - 5=m^{2}+4m - 5$。
将$m^{2}+4m=1$代入上式，得$1 - 5=-4$。
$-4$
10. (2023·娄底)若$m$是方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的根，则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$的值为
6
。答案
10. 6 解析：$ \because m $ 是方程 $ x^{2} - 2x - 1 = 0 $ 的根，$ \therefore m^{2} - 2m - 1 = 0 $，且 $ m \neq 0 $，$ \therefore m - 2 - \frac{1}{m} = 0 $，即 $ m - \frac{1}{m} = 2 $。两边分别平方，得 $ (m - \frac{1}{m})^{2} = 4 $，即 $ m^{2} - 2 + \frac{1}{m^{2}} = 4 $，$ \therefore m^{2} + \frac{1}{m^{2}} = 6 $。
11. 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式（二次项系数大于$0$），并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）$(x + 4)(x - 3)=12$；
（2）$(x + 2)^{2}-2x(x - 2)=4x + 4$。
（1）$(x + 4)(x - 3)=12$；
（2）$(x + 2)^{2}-2x(x - 2)=4x + 4$。
答案
11. (1) $ x^{2} + x - 24 = 0 $，它的二次项系数为 1，一次项系数为 1，常数项为 -24
(2) $ x^{2} - 4x = 0 $，它的二次项系数为 1，一次项系数为 -4，常数项为 0
(2) $ x^{2} - 4x = 0 $，它的二次项系数为 1，一次项系数为 -4，常数项为 0
12. 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{m^{2}+1}+(m - 2)x - 1 = 0$，回答下面的问题：
（1）若方程是一元二次方程，求$m$的值。
（2）若方程是一元一次方程，则$m$的值是否存在？若存在，请求出$m$的值，并求出方程的解。
（1）若方程是一元二次方程，求$m$的值。
（2）若方程是一元一次方程，则$m$的值是否存在？若存在，请求出$m$的值，并求出方程的解。
答案
12. (1) 根据题意，得 $ m^{2} + 1 = 2 $，且 $ m - 1 \neq 0 $，解得 $ m = -1 $
(2) 存在 有两种情况：① 当满足 $ m^{2} + 1 = 1 $，且 $ (m - 1) + (m - 2) \neq 0 $，即 $ m = 0 $ 时，方程变为 $ -3x - 1 = 0 $，解得 $ x = -\frac{1}{3} $；② 当满足 $ m - 1 = 0 $，且 $ m - 2 \neq 0 $，即 $ m = 1 $ 时，方程变为 $ -x - 1 = 0 $，解得 $ x = -1 $
(2) 存在 有两种情况：① 当满足 $ m^{2} + 1 = 1 $，且 $ (m - 1) + (m - 2) \neq 0 $，即 $ m = 0 $ 时，方程变为 $ -3x - 1 = 0 $，解得 $ x = -\frac{1}{3} $；② 当满足 $ m - 1 = 0 $，且 $ m - 2 \neq 0 $，即 $ m = 1 $ 时，方程变为 $ -x - 1 = 0 $，解得 $ x = -1 $
13. 若$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x + c = 0(a\neq0)$的一个根，设$M = 1 - ac$，$N=(ax_{0}+1)^{2}$，试比较$M$与$N$的大小。
答案
13. $ \because x_{0} $ 是方程 $ ax^{2} + 2x + c = 0(a \neq 0) $ 的一个根，$ \therefore ax_{0}^{2} + 2x_{0} + c = 0 $，即 $ ax_{0}^{2} = -2x_{0} - c $，$ \therefore N = (ax_{0} + 1)^{2} = a^{2}x_{0}^{2} + 2ax_{0} + 1 = a(-2x_{0} - c) + 2ax_{0} + 1 = 1 - ac $。$ \because M = 1 - ac $，$ \therefore M = N $
