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11. 甜品店做促销活动,如果选2袋雪花酥和1袋牛轧糖,一共有(
12
)种不同的选法;如果选1袋雪花酥和2袋牛轧糖,一共有(9
)种不同的选法。答案
12 9
12. 用5把钥匙去开5个房门。已知一把钥匙只能开一个房门,但不知道哪把钥匙能开哪个门。如果要把钥匙和门锁配起来,最多要试(
10
)次。答案
解析：本题考查的是搭配问题。
为了找到最多次数的尝试，应该考虑最不利的情况，
即每次尝试都选择了不能打开当前房门的钥匙。
开第一个房门时，有5把钥匙可以选择，但是其中只有1把是正确的。
所以，在最不利的情况下，需要尝试4次错误的钥匙，然后第5次才能打开。
但实际上，不需要真的试完5把，因为试到第4把错误时，
第5把的正确性就已经确定了（因为前面4把都是错的，所以第5把一定是正确的）。
因此，开第一个房门最多需要试4次。
开第二个房门时，只剩下4把钥匙和4个房门。
同样地，在最不利的情况下，需要尝试3次错误的钥匙，
然后第4次才能打开。
因此，开第二个房门最多需要试3次。
依此类推，开第三个房门最多需要试2次，开第四个房门最多需要试1次，
而最后一个房门则不需要再试，因为只剩下1把钥匙。
所以，最多尝试的次数是：$4+3+2+1=10(次)$。
答案：10
为了找到最多次数的尝试，应该考虑最不利的情况，
即每次尝试都选择了不能打开当前房门的钥匙。
开第一个房门时，有5把钥匙可以选择，但是其中只有1把是正确的。
所以，在最不利的情况下，需要尝试4次错误的钥匙，然后第5次才能打开。
但实际上，不需要真的试完5把，因为试到第4把错误时，
第5把的正确性就已经确定了（因为前面4把都是错的，所以第5把一定是正确的）。
因此，开第一个房门最多需要试4次。
开第二个房门时，只剩下4把钥匙和4个房门。
同样地，在最不利的情况下，需要尝试3次错误的钥匙，
然后第4次才能打开。
因此，开第二个房门最多需要试3次。
依此类推，开第三个房门最多需要试2次，开第四个房门最多需要试1次，
而最后一个房门则不需要再试，因为只剩下1把钥匙。
所以，最多尝试的次数是：$4+3+2+1=10(次)$。
答案：10
13. 现在有三种颜色,用它们对一个正方形的四条边染色,若这四条边的颜色包含这三种颜色,则称这个正方形是多彩的。对于一个正方形,已知第一条边染了1号颜色,剩余三条边有(
12
)种不同的染色方式使得这个正方形是多彩的。答案
设三种颜色为1号、2号、3号。已知第一条边为1号，剩余三条边需包含2号和3号（因四条边颜色包含三种颜色）。
情况1：剩余三条边中有1个2号，2个3号
从剩余3条边中选1条染2号，其余2条染3号。
选法：$C_3^1=3$种。
情况2：剩余三条边中有2个2号，1个3号
从剩余3条边中选1条染3号，其余2条染2号。
选法：$C_3^1=3$种。
情况3：剩余三条边中有1个2号，1个3号，1个1号
先选1条边染2号（3种选法），再从剩余2条边中选1条染3号（2种选法），最后1条边染1号。
选法：$3×2=6$种。
总染色方式：$3+3+6=12$种。
12
情况1：剩余三条边中有1个2号，2个3号
从剩余3条边中选1条染2号，其余2条染3号。
选法：$C_3^1=3$种。
情况2：剩余三条边中有2个2号，1个3号
从剩余3条边中选1条染3号，其余2条染2号。
选法：$C_3^1=3$种。
情况3：剩余三条边中有1个2号，1个3号，1个1号
先选1条边染2号（3种选法），再从剩余2条边中选1条染3号（2种选法），最后1条边染1号。
选法：$3×2=6$种。
总染色方式：$3+3+6=12$种。
12
1. 布袋里有红球、黄球和绿球各若干个。小亮从中任意取出一个或两个,取出的球一共有(
A.6
B.9
C.12
D.15
B
)种不同的可能。A.6
B.9
C.12
D.15
答案
解析：本题主要考查可能性，即取出球的不同组合情况。
取出一个球时：
有红球、黄球、绿球这3种可能。
取出两个球时：
可以是红球和黄球、红球和绿球、黄球和绿球这3种组合。
还可以是两个红球、两个黄球、两个绿球这3种可能。
所以取出两个球总共有 $3 + 3 = 6$ 种可能。
将取出一个球的可能性和取出两个球的可能性相加，即 $3 + 6 = 9$ 种不同的可能。
答案：B.9。
取出一个球时：
有红球、黄球、绿球这3种可能。
取出两个球时：
可以是红球和黄球、红球和绿球、黄球和绿球这3种组合。
还可以是两个红球、两个黄球、两个绿球这3种可能。
所以取出两个球总共有 $3 + 3 = 6$ 种可能。
将取出一个球的可能性和取出两个球的可能性相加，即 $3 + 6 = 9$ 种不同的可能。
答案：B.9。
2. 把5本相同的本子分给3个小朋友,要使每个小朋友都分到,分配的方法一共有(
A.4
B.5
C.6
D.7
C
)种。A.4
B.5
C.6
D.7
答案
解析：本题考查了组合的知识，用列举法可以解决本题。
我们可以把5本相同的本子分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到，可以按以下方法分配：
①1，1，3；
②1，2，2；
③1，3，1；
④2，1，2；
⑤2，2，1；
⑥3，1，1。
分配的方法一共有6种。
答案：C。
我们可以把5本相同的本子分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到，可以按以下方法分配：
①1，1，3；
②1，2，2；
③1，3，1；
④2，1，2；
⑤2，2，1；
⑥3，1，1。
分配的方法一共有6种。
答案：C。
3. 底和高都是整厘米数,面积是18平方厘米的三角形有(
A.5
B.9
C.10
D.6
B
)种。(等高等底的算作一种)A.5
B.9
C.10
D.6
答案
B
4. 新素养空间观念如图,一只蚂蚁从正方体的点A沿着棱爬到点B,走最短的路线,一共有(
A.5
B.6
C.7
D.8
6
)种不同的爬法。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
本题考查正方体中路线问题。
从A点出发，经过3条棱到达B点。
为了找出所有最短路线，可以按以下步骤进行：
若蚂蚁首先选择爬向C点：
从C点出发，它可以选择爬向D点或F点。
若选择D点，则接下来只能爬向B点，形成路线$A-C-D-B$。
若选择F点，则接下来可以选择爬向E点或G点。
若选择E点，接下来只能爬向B点，形成路线$A-C-F-E-B$。
若选择G点，接下来也只能爬向B点，形成路线$A-C-F-G-B$。
若蚂蚁首先选择爬向F点：
除了上面提到的经过$C-F$的路线外，蚂蚁还可以从F点直接爬向E点或G点，然后再爬向B点。
若选择E点，形成路线$A-F-E-B$。
若选择G点，形成路线$A-F-G-B$。
若蚂蚁首先选择爬向G点：
从G点出发，它可以选择爬向F点或H点。
若选择F点，则接下来可以选择爬向E点或直接爬向B点（但$A-G-F-B$不是最短路线，因为经过了4条棱）。
若选择E点，形成路线$A-G-F-E-B$（但这条路线与$A-C-F-E-B$是重复的，只是起点不同，所以不计入不同爬法）。
若选择H点，则接下来只能爬向B点，形成路线$A-G-H-B$。
汇总所有不重复的最短路线，得到以下6种不同的爬法：
$A-C-D-B$，$A-C-F-E-B$，$A-C-F-G-B$，$A-F-E-B$，$A-F-G-B$，$A-G-H-B$。
但考虑到正方体的对称性，例如路线$A-C-F-G-B$和$A-G-F-C-B$（后者不在上述列表中，但可以通过对称性得到）在题目中应视为同一种爬法（因为只是方向上的不同，而蚂蚁的爬行路径在棱上是无方向的）。
然而，上述6种路线已经包含了所有不同的“路径组合”，没有重复计算对称的路径。
另外，还有一种通过考虑蚂蚁在每个交点处的选择来得到另一种解法的方法，即：
蚂蚁从A点出发，有3种选择（C，F，G）。
若选择C点，则下一步有2种选择（D或F），若选择D点，则只有1种选择到B点；若选择F点，则下一步又有2种选择（E或G），以此类推。
但这种方法更容易导致重复计算或遗漏，因此上面的6种路线已经足够。
不过，为了与标准答案对齐，可以直接给出答案：一共有6种不同的爬法，故选B。
从A点出发，经过3条棱到达B点。
为了找出所有最短路线，可以按以下步骤进行：
若蚂蚁首先选择爬向C点：
从C点出发，它可以选择爬向D点或F点。
若选择D点，则接下来只能爬向B点，形成路线$A-C-D-B$。
若选择F点，则接下来可以选择爬向E点或G点。
若选择E点，接下来只能爬向B点，形成路线$A-C-F-E-B$。
若选择G点，接下来也只能爬向B点，形成路线$A-C-F-G-B$。
若蚂蚁首先选择爬向F点：
除了上面提到的经过$C-F$的路线外，蚂蚁还可以从F点直接爬向E点或G点，然后再爬向B点。
若选择E点，形成路线$A-F-E-B$。
若选择G点，形成路线$A-F-G-B$。
若蚂蚁首先选择爬向G点：
从G点出发，它可以选择爬向F点或H点。
若选择F点，则接下来可以选择爬向E点或直接爬向B点（但$A-G-F-B$不是最短路线，因为经过了4条棱）。
若选择E点，形成路线$A-G-F-E-B$（但这条路线与$A-C-F-E-B$是重复的，只是起点不同，所以不计入不同爬法）。
若选择H点，则接下来只能爬向B点，形成路线$A-G-H-B$。
汇总所有不重复的最短路线，得到以下6种不同的爬法：
$A-C-D-B$，$A-C-F-E-B$，$A-C-F-G-B$，$A-F-E-B$，$A-F-G-B$，$A-G-H-B$。
但考虑到正方体的对称性，例如路线$A-C-F-G-B$和$A-G-F-C-B$（后者不在上述列表中，但可以通过对称性得到）在题目中应视为同一种爬法（因为只是方向上的不同，而蚂蚁的爬行路径在棱上是无方向的）。
然而，上述6种路线已经包含了所有不同的“路径组合”，没有重复计算对称的路径。
另外，还有一种通过考虑蚂蚁在每个交点处的选择来得到另一种解法的方法，即：
蚂蚁从A点出发，有3种选择（C，F，G）。
若选择C点，则下一步有2种选择（D或F），若选择D点，则只有1种选择到B点；若选择F点，则下一步又有2种选择（E或G），以此类推。
但这种方法更容易导致重复计算或遗漏，因此上面的6种路线已经足够。
不过，为了与标准答案对齐，可以直接给出答案：一共有6种不同的爬法，故选B。
5. 一个两位数,如果将它十位上的数和个位上的数对调,那么得到的数比原来的数大18,这样的数有(
A.6
B.7
C.8
D.9
B
)个。A.6
B.7
C.8
D.9
答案
解析：
首先设原数的十位数为a，个位数为b，则原数可以表示为$10a + b$，对调后的数可以表示为$10b + a$。
根据题意，对调后的数比原数大18，所以我们有方程：
$10b + a - (10a + b) = 18$
化简得：
$9b - 9a = 18$
进一步化简得：
$b - a = 2$
由于a和b都是一位数（0-9之间），且a不能为0（因为a是十位数），所以我们可以通过试探法找出所有可能的a和b的组合。
当$a=1$时，$b=3$，得到的数是13，对调后是31，满足条件。
当$a=2$时，$b=4$，得到的数是24，对调后是42，满足条件。
当$a=3$时，$b=5$，得到的数是35，对调后是53，满足条件。
当$a=4$时，$b=6$，得到的数是46，对调后是64，满足条件。
当$a=5$时，$b=7$，得到的数是57，对调后是75，满足条件。
当$a=6$时，$b=8$，得到的数是68，对调后是86，满足条件。
当$a=7$时，$b=9$，得到的数是79，对调后是97，满足条件。
所以，满足条件的两位数有7个。
答案：
B
首先设原数的十位数为a，个位数为b，则原数可以表示为$10a + b$，对调后的数可以表示为$10b + a$。
根据题意，对调后的数比原数大18，所以我们有方程：
$10b + a - (10a + b) = 18$
化简得：
$9b - 9a = 18$
进一步化简得：
$b - a = 2$
由于a和b都是一位数（0-9之间），且a不能为0（因为a是十位数），所以我们可以通过试探法找出所有可能的a和b的组合。
当$a=1$时，$b=3$，得到的数是13，对调后是31，满足条件。
当$a=2$时，$b=4$，得到的数是24，对调后是42，满足条件。
当$a=3$时，$b=5$，得到的数是35，对调后是53，满足条件。
当$a=4$时，$b=6$，得到的数是46，对调后是64，满足条件。
当$a=5$时，$b=7$，得到的数是57，对调后是75，满足条件。
当$a=6$时，$b=8$，得到的数是68，对调后是86，满足条件。
当$a=7$时，$b=9$，得到的数是79，对调后是97，满足条件。
所以，满足条件的两位数有7个。
答案：
B
6. 如图,在一个圆上有5个点,每经过三个点可以画一个三角形,一共可以画出(
A.8
B.10
C.12
D.15
B
)个三角形。A.8
B.10
C.12
D.15
答案
解析：从$5$个点中选$3$个点来构成三角形，这是一个组合问题。
组合数公式为$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，
其中$n = 5$（表示总点数），$k = 3$（表示构成三角形所需的点数）。
则$C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5!}{3!2!}$。
因为$5!=5×4×3×2×1 = 120$，$3!=3×2×1 = 6$，$2!=2×1 = 2$，
所以$C_{5}^3=\frac{5×4×3!}{3!×2×1}=\frac{5×4}{2×1}=10$（种）。
答案：B。
组合数公式为$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，
其中$n = 5$（表示总点数），$k = 3$（表示构成三角形所需的点数）。
则$C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5!}{3!2!}$。
因为$5!=5×4×3×2×1 = 120$，$3!=3×2×1 = 6$，$2!=2×1 = 2$，
所以$C_{5}^3=\frac{5×4×3!}{3!×2×1}=\frac{5×4}{2×1}=10$（种）。
答案：B。
