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1.如图，在A地到B地的三条路中，路线AB最近的依据是 。
答案
解：两点之间，线段最短。
解析
【分析】
这道题考查线段的基本性质，解题时首先观察A、B两地间的三条路径：分别是弯曲的路线ACB、折线路线ADB、线段AB。我们需要回忆两点之间不同连线的长度规律：两点之间的连线包括曲线、折线、线段等，其中长度最短的是线段，由此就能得出对应的依据。
【解析】
观察A到B的三条路径，路线ACB是曲线，路线ADB是两条线段组成的折线，路线AB是直接连接A、B两点的线段。根据线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此路线AB最近，对应的依据就是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，结合生活中选择最短路径的常见场景，考查对线段基本性质的识记与应用，容易作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查线段的基本性质，解题时首先观察A、B两地间的三条路径：分别是弯曲的路线ACB、折线路线ADB、线段AB。我们需要回忆两点之间不同连线的长度规律：两点之间的连线包括曲线、折线、线段等，其中长度最短的是线段，由此就能得出对应的依据。
【解析】
观察A到B的三条路径，路线ACB是曲线，路线ADB是两条线段组成的折线，路线AB是直接连接A、B两点的线段。根据线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此路线AB最近，对应的依据就是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，结合生活中选择最短路径的常见场景，考查对线段基本性质的识记与应用，容易作答。
【难度系数】
0.9
2.一条数轴上有A，B两点，原点为O，已知OA=3，点B在点A的右侧且AB=5.若C是OB的中点，则点C所表示的数可能是.
答案
解：
∵ OA=3，
∴ 点A表示的数为3或-3。
① 当点A表示的数为3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$3+5=8$，
∴ $OB=8$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{8}{2}=4$。
② 当点A表示的数为-3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$-3+5=2$，
∴ $OB=2$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{2}{2}=1$。
综上，点C所表示的数可能是$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{4}$。
∵ OA=3，
∴ 点A表示的数为3或-3。
① 当点A表示的数为3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$3+5=8$，
∴ $OB=8$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{8}{2}=4$。
② 当点A表示的数为-3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$-3+5=2$，
∴ $OB=2$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{2}{2}=1$。
综上，点C所表示的数可能是$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
解题时首先明确OA=3说明点A到原点的距离为3，因此点A表示的数有两种可能，不要漏解；再根据“数轴上右侧的数比左侧大、点B在A右侧且AB=5”，可推出点B表示的数等于点A的数加5；最后结合C是OB中点，原点对应数为0，可知OB中点C表示的数是点B对应数的一半，分两种情况计算即可得到全部结果。
【解析】
∵ OA=3，
∴ 点A到原点的距离为3，点A表示的数为3或-3，分两种情况讨论：
① 当点A表示的数为3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$3+5=8$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{1}{2} × 8 = 4$；
② 当点A表示的数为-3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$-3+5=2$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{1}{2} × 2 = 1$。
综上，点C所表示的数可能是1或4。
【答案】
1或4
【知识点】
数轴的应用，两点间距离，线段中点计算
【点评】
本题易错点是遗漏点A在原点左侧的情况，导致少解，解题时遇到未明确点的位置的问题，要主动考虑分类讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确OA=3说明点A到原点的距离为3，因此点A表示的数有两种可能，不要漏解；再根据“数轴上右侧的数比左侧大、点B在A右侧且AB=5”，可推出点B表示的数等于点A的数加5；最后结合C是OB中点，原点对应数为0，可知OB中点C表示的数是点B对应数的一半，分两种情况计算即可得到全部结果。
【解析】
∵ OA=3，
∴ 点A到原点的距离为3，点A表示的数为3或-3，分两种情况讨论：
① 当点A表示的数为3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$3+5=8$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{1}{2} × 8 = 4$；
② 当点A表示的数为-3时：
∵ 点B在点A右侧，AB=5，
∴ 点B表示的数为$-3+5=2$，
∵ C是OB的中点，
∴ 点C表示的数为$\frac{1}{2} × 2 = 1$。
综上，点C所表示的数可能是1或4。
【答案】
1或4
【知识点】
数轴的应用，两点间距离，线段中点计算
【点评】
本题易错点是遗漏点A在原点左侧的情况，导致少解，解题时遇到未明确点的位置的问题，要主动考虑分类讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.7
3.正方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.若其两种不同的放置方式如图所示,则与数字6相对的面上的数字是.
答案
解：
由两个放置方式可知，与数字3相邻的数字有4、5、6，因此数字3的对面只能是1或2；
与数字4相邻的数字有3、5、6，因此数字4的对面只能是1或2。
由此可得，数字3和数字4的对面为1和2，剩余的数字5和6互为相对面。
所以与数字6相对的面上的数字是$\boldsymbol{5}$。
由两个放置方式可知，与数字3相邻的数字有4、5、6，因此数字3的对面只能是1或2；
与数字4相邻的数字有3、5、6，因此数字4的对面只能是1或2。
由此可得，数字3和数字4的对面为1和2，剩余的数字5和6互为相对面。
所以与数字6相对的面上的数字是$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
要判断正方体上数字6的相对面，我们可以利用“正方体每个面有且仅有4个相邻面、1个相对面，相邻的面一定不相对”的特点推理：首先找出出现次数较多的公共数字，列出它的所有相邻数字，排除后得到它可能的相对数字；再同理分析另一个公共数字的可能相对数字，最后剩余的数字就是6的相对面。
【解析】
观察两种放置方式：
1. 与数字3相邻的数字有4、5、6，因此3的对面只能是剩下的1或2；
2. 与数字4相邻的数字有3、5、6，因此4的对面只能是剩下的1或2；
由此可知1和2分别是3和4的对面，剩余的数字只有5和6，二者互为相对面。
所以与数字6相对的面上的数字是5。
【答案】
5
【知识点】
正方体面的特征、逻辑推理、排除法
【点评】
本题是正方体相对面判断的典型题型，核心是利用“相邻面不相对”的规律，通过排除相邻数字缩小相对面的范围，解题关键是梳理出现次数较多的公共数字的相邻数字，即可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
要判断正方体上数字6的相对面，我们可以利用“正方体每个面有且仅有4个相邻面、1个相对面，相邻的面一定不相对”的特点推理：首先找出出现次数较多的公共数字，列出它的所有相邻数字，排除后得到它可能的相对数字；再同理分析另一个公共数字的可能相对数字，最后剩余的数字就是6的相对面。
【解析】
观察两种放置方式：
1. 与数字3相邻的数字有4、5、6，因此3的对面只能是剩下的1或2；
2. 与数字4相邻的数字有3、5、6，因此4的对面只能是剩下的1或2；
由此可知1和2分别是3和4的对面，剩余的数字只有5和6，二者互为相对面。
所以与数字6相对的面上的数字是5。
【答案】
5
【知识点】
正方体面的特征、逻辑推理、排除法
【点评】
本题是正方体相对面判断的典型题型，核心是利用“相邻面不相对”的规律，通过排除相邻数字缩小相对面的范围，解题关键是梳理出现次数较多的公共数字的相邻数字，即可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 综合与实践.
古琴在我国的历史非常悠久,是我国最古老的弹拨乐器之一.古琴最初只有五根弦,发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶,包括宫、徵(zhǐ)、商、羽、角.其发声弦的长度可以通过“三分损益法”计算得出,具体方法如下:
假设基本音“宫”的发声弦长是81,“宫”经“三分损一”得“徵”,即 $81×(1-\dfrac{1}{3})=54$,则“徵”音的发声弦长是54;“徵”经“三分益一”得“商”,即 $54×(1+\dfrac{1}{3})=72$,则“商”音的发声弦长是72.
“商”经“三分损一”得“羽”;
“羽”经“三分益一”得“角”.
(1)按照上面的假设,“羽”音的发声弦长是.
(2)如图,线段AB表示“徵”的发声弦长,其中C,D两点是线段AB的三等分点,请你用尺规作图作出表示“商”的发声弦长的线段(保留作图痕迹).
(3)小明想要制作一张古琴,需要五根弦,每根弦分别能获得“宫、徵、商、羽、角”的音阶,五根发声弦的长度总和为319 cm,求该古琴中“宫”的发声弦长.
古琴在我国的历史非常悠久,是我国最古老的弹拨乐器之一.古琴最初只有五根弦,发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶,包括宫、徵(zhǐ)、商、羽、角.其发声弦的长度可以通过“三分损益法”计算得出,具体方法如下:
假设基本音“宫”的发声弦长是81,“宫”经“三分损一”得“徵”,即 $81×(1-\dfrac{1}{3})=54$,则“徵”音的发声弦长是54;“徵”经“三分益一”得“商”,即 $54×(1+\dfrac{1}{3})=72$,则“商”音的发声弦长是72.
“商”经“三分损一”得“羽”;
“羽”经“三分益一”得“角”.
(1)按照上面的假设,“羽”音的发声弦长是.
(2)如图,线段AB表示“徵”的发声弦长,其中C,D两点是线段AB的三等分点,请你用尺规作图作出表示“商”的发声弦长的线段(保留作图痕迹).
(3)小明想要制作一张古琴,需要五根弦,每根弦分别能获得“宫、徵、商、羽、角”的音阶,五根发声弦的长度总和为319 cm,求该古琴中“宫”的发声弦长.
答案
$\boldsymbol{48}$
(2)
作图：以点$B$为圆心，$BD$的长度为半径画弧，交线段$AB$的延长线于点$E$，线段$AE$即为表示“商”的发声弦长的线段，保留对应作图痕迹。
(3)
设该古琴中“宫”的发声弦长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据“三分损益法”可得：
“徵”的弦长为 $x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}x$，
“商”的弦长为 $\dfrac{2}{3}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}x$，
“羽”的弦长为 $\dfrac{8}{9}x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}x$，
“角”的弦长为 $\dfrac{16}{27}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{64}{81}x$。
由五根弦总长度为319 cm，列方程：
$x+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{16}{27}x+\dfrac{64}{81}x=319$
通分整理得：
$\dfrac{81x+54x+72x+48x+64x}{81}=319$
$\dfrac{319x}{81}=319$
解得 $x=81$。
答：该古琴中“宫”的发声弦长为$81\ \mathrm{cm}$。
(2)
作图：以点$B$为圆心，$BD$的长度为半径画弧，交线段$AB$的延长线于点$E$，线段$AE$即为表示“商”的发声弦长的线段，保留对应作图痕迹。
(3)
设该古琴中“宫”的发声弦长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据“三分损益法”可得：
“徵”的弦长为 $x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}x$，
“商”的弦长为 $\dfrac{2}{3}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}x$，
“羽”的弦长为 $\dfrac{8}{9}x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}x$，
“角”的弦长为 $\dfrac{16}{27}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{64}{81}x$。
由五根弦总长度为319 cm，列方程：
$x+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{16}{27}x+\dfrac{64}{81}x=319$
通分整理得：
$\dfrac{81x+54x+72x+48x+64x}{81}=319$
$\dfrac{319x}{81}=319$
解得 $x=81$。
答：该古琴中“宫”的发声弦长为$81\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 第一问根据题目给出的“三分损一”的计算规则，已知“商”的弦长为72，“羽”由“商”经“三分损一”得到，即弦长为商的弦长乘$(1-\dfrac{1}{3})$，直接代入计算即可。
(2) 第二问先明确“商”的弦长是“徵”的弦长的$(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{3}$，线段AB表示“徵”的弦长，C、D是AB的三等分点，因此$\dfrac{1}{3}AB$的长度等于BD的长度，只要将AB延长，在延长线上截取长度等于BD的线段，得到的总线段就是“商”的弦长。
(3) 第三问属于一元一次方程的应用，设“宫”的弦长为未知数x，根据“三分损益法”的规则，依次用含x的式子表示出徵、商、羽、角的弦长，再根据五根弦总长度为319cm列方程，求解即可得到“宫”的弦长。
【解析】
(1) 已知“商”的发声弦长为72，“商”经“三分损一”得“羽”，因此“羽”的弦长为：
$72×(1-\dfrac{1}{3})=72×\dfrac{2}{3}=48$
(2) 作图原理：“商”的弦长是“徵”的弦长的$\dfrac{4}{3}$，AB为“徵”的弦长，C、D是AB的三等分点，因此$BD=\dfrac{1}{3}AB$。
作图步骤：以点B为圆心，BD的长度为半径画弧，交线段AB的延长线于点E，此时$AE=AB+BE=AB+BD=\dfrac{4}{3}AB$，线段AE即为表示“商”的发声弦长的线段，保留作图痕迹即可。
(3) 设该古琴中“宫”的发声弦长为$x\ \mathrm{cm}$，根据“三分损益法”依次计算各音弦长：
“徵”的弦长：$x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}x$
“商”的弦长：$\dfrac{2}{3}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}x$
“羽”的弦长：$\dfrac{8}{9}x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}x$
“角”的弦长：$\dfrac{16}{27}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{64}{81}x$
根据五根弦总长度为319cm，列方程：
$x+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{16}{27}x+\dfrac{64}{81}x=319$
方程左边通分，分母为81，整理得：
$\dfrac{81x+54x+72x+48x+64x}{81}=319$
合并同类项得：
$\dfrac{319x}{81}=319$
两边同时除以319，得$\dfrac{x}{81}=1$，解得$x=81$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48}$
(2) 以点$B$为圆心，$BD$的长度为半径画弧，交线段$AB$的延长线于点$E$，线段$AE$即为所求（保留作图痕迹）。
(3) 该古琴中“宫”的发声弦长为$\boldsymbol{81\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
有理数运算，尺规作图，一元一次方程应用
【点评】
本题结合中国传统古琴文化的“三分损益法”设置问题，兼顾了知识性与趣味性，既考查了基础的计算、作图能力，也考查了提取信息建立方程模型的能力，解题时需仔细理解题目给出的运算规则，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问根据题目给出的“三分损一”的计算规则，已知“商”的弦长为72，“羽”由“商”经“三分损一”得到，即弦长为商的弦长乘$(1-\dfrac{1}{3})$，直接代入计算即可。
(2) 第二问先明确“商”的弦长是“徵”的弦长的$(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{3}$，线段AB表示“徵”的弦长，C、D是AB的三等分点，因此$\dfrac{1}{3}AB$的长度等于BD的长度，只要将AB延长，在延长线上截取长度等于BD的线段，得到的总线段就是“商”的弦长。
(3) 第三问属于一元一次方程的应用，设“宫”的弦长为未知数x，根据“三分损益法”的规则，依次用含x的式子表示出徵、商、羽、角的弦长，再根据五根弦总长度为319cm列方程，求解即可得到“宫”的弦长。
【解析】
(1) 已知“商”的发声弦长为72，“商”经“三分损一”得“羽”，因此“羽”的弦长为：
$72×(1-\dfrac{1}{3})=72×\dfrac{2}{3}=48$
(2) 作图原理：“商”的弦长是“徵”的弦长的$\dfrac{4}{3}$，AB为“徵”的弦长，C、D是AB的三等分点，因此$BD=\dfrac{1}{3}AB$。
作图步骤：以点B为圆心，BD的长度为半径画弧，交线段AB的延长线于点E，此时$AE=AB+BE=AB+BD=\dfrac{4}{3}AB$，线段AE即为表示“商”的发声弦长的线段，保留作图痕迹即可。
(3) 设该古琴中“宫”的发声弦长为$x\ \mathrm{cm}$，根据“三分损益法”依次计算各音弦长：
“徵”的弦长：$x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}x$
“商”的弦长：$\dfrac{2}{3}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}x$
“羽”的弦长：$\dfrac{8}{9}x·(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}x$
“角”的弦长：$\dfrac{16}{27}x·(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{64}{81}x$
根据五根弦总长度为319cm，列方程：
$x+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{16}{27}x+\dfrac{64}{81}x=319$
方程左边通分，分母为81，整理得：
$\dfrac{81x+54x+72x+48x+64x}{81}=319$
合并同类项得：
$\dfrac{319x}{81}=319$
两边同时除以319，得$\dfrac{x}{81}=1$，解得$x=81$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48}$
(2) 以点$B$为圆心，$BD$的长度为半径画弧，交线段$AB$的延长线于点$E$，线段$AE$即为所求（保留作图痕迹）。
(3) 该古琴中“宫”的发声弦长为$\boldsymbol{81\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
有理数运算，尺规作图，一元一次方程应用
【点评】
本题结合中国传统古琴文化的“三分损益法”设置问题，兼顾了知识性与趣味性，既考查了基础的计算、作图能力，也考查了提取信息建立方程模型的能力，解题时需仔细理解题目给出的运算规则，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
