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1.下列说法错误的是(
A.相似多边形的对应边成比例
B.相似多边形的对应角相等
C.相似多边形的边数相同
D.所有的矩形都相似
D
)。A.相似多边形的对应边成比例
B.相似多边形的对应角相等
C.相似多边形的边数相同
D.所有的矩形都相似
答案
D
解析
【分析】
这是一道相似多边形相关的概念辨析题，解题思路如下：首先回忆相似多边形的定义与基本性质，明确相似多边形需要同时满足的两个核心条件：对应角相等、对应边成比例，且边数必须相同；随后将四个选项分别和上述性质、判定条件对比，判断说法正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们结合相似多边形的相关知识逐一分析选项：
1. 选项A：相似多边形的对应边成比例是相似多边形的基本性质，说法正确，不符合题意；
2. 选项B：相似多边形的对应角相等是相似多边形的基本性质，说法正确，不符合题意；
3. 选项C：如果两个多边形边数不同，无法形成一一对应的角和边，不可能相似，因此相似多边形的边数一定相同，说法正确，不符合题意；
4. 选项D：所有矩形的四个角都是直角，满足对应角相等，但对应边不一定成比例，例如长为3、宽为1的矩形，和长为4、宽为2的矩形，长的比为3:4，宽的比为1:2，比值不相等，因此这两个矩形不相似，即不是所有矩形都相似，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质；相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题核心考查对相似多边形判定条件的理解，要注意判定两个多边形相似时，对应角相等、对应边成比例两个条件缺一不可，不能仅通过单一条件就判定图形相似。
【难度系数】
0.8
这是一道相似多边形相关的概念辨析题，解题思路如下：首先回忆相似多边形的定义与基本性质，明确相似多边形需要同时满足的两个核心条件：对应角相等、对应边成比例，且边数必须相同；随后将四个选项分别和上述性质、判定条件对比，判断说法正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们结合相似多边形的相关知识逐一分析选项：
1. 选项A：相似多边形的对应边成比例是相似多边形的基本性质，说法正确，不符合题意；
2. 选项B：相似多边形的对应角相等是相似多边形的基本性质，说法正确，不符合题意；
3. 选项C：如果两个多边形边数不同，无法形成一一对应的角和边，不可能相似，因此相似多边形的边数一定相同，说法正确，不符合题意；
4. 选项D：所有矩形的四个角都是直角，满足对应角相等，但对应边不一定成比例，例如长为3、宽为1的矩形，和长为4、宽为2的矩形，长的比为3:4，宽的比为1:2，比值不相等，因此这两个矩形不相似，即不是所有矩形都相似，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质；相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题核心考查对相似多边形判定条件的理解，要注意判定两个多边形相似时，对应角相等、对应边成比例两个条件缺一不可，不能仅通过单一条件就判定图形相似。
【难度系数】
0.8
2. 下列命题：
①任意两个等腰三角形一定相似；
②任意两个等边三角形一定相似；
③任意两个矩形一定相似；
④任意两个菱形一定相似；
⑤任意两个正方形一定相似；
⑥任意两个边数相等的正多边形一定相似。
其中真命题的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
①任意两个等腰三角形一定相似；
②任意两个等边三角形一定相似；
③任意两个矩形一定相似；
④任意两个菱形一定相似；
⑤任意两个正方形一定相似；
⑥任意两个边数相等的正多边形一定相似。
其中真命题的个数是（
B
）。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
【分析】
要判断命题的真假，首先明确相似多边形的判定条件：同时满足对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似。解题时逐一分析每个命题中的两类图形是否同时满足这两个条件，统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们根据相似多边形的判定条件逐个分析命题：
①任意两个等腰三角形：等腰三角形的顶角不一定相等，底角也随之不同，无法保证对应角相等，因此不一定相似，是假命题；
②任意两个等边三角形：等边三角形的每个内角都是60°，对应角全部相等，且等边三角形三边相等，对应边的比等于边长的比，对应边成比例，因此一定相似，是真命题；
③任意两个矩形：矩形的四个角都是直角，对应角相等，但矩形的长和宽的比例不一定相同，无法保证对应边成比例，因此不一定相似，是假命题；
④任意两个菱形：菱形的四条边相等，对应边成比例，但菱形的内角不一定相等，无法保证对应角相等，因此不一定相似，是假命题；
⑤任意两个正方形：正方形的四个角都是90°，对应角相等，且四边相等，对应边的比等于边长的比，对应边成比例，因此一定相似，是真命题；
⑥任意两个边数相等的正多边形：同边数的正多边形内角都相等（内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$），对应角相等，且正多边形各边长度相等，对应边成比例，因此一定相似，是真命题。
综上，真命题为②⑤⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定，特殊多边形的性质，命题真假判断
【点评】
本题核心是考查相似多边形的判定，需牢记相似需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可，分析特殊多边形是否相似时要两个条件都验证，避免只看一个条件就下结论。
【难度系数】
0.7
要判断命题的真假，首先明确相似多边形的判定条件：同时满足对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似。解题时逐一分析每个命题中的两类图形是否同时满足这两个条件，统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们根据相似多边形的判定条件逐个分析命题：
①任意两个等腰三角形：等腰三角形的顶角不一定相等，底角也随之不同，无法保证对应角相等，因此不一定相似，是假命题；
②任意两个等边三角形：等边三角形的每个内角都是60°，对应角全部相等，且等边三角形三边相等，对应边的比等于边长的比，对应边成比例，因此一定相似，是真命题；
③任意两个矩形：矩形的四个角都是直角，对应角相等，但矩形的长和宽的比例不一定相同，无法保证对应边成比例，因此不一定相似，是假命题；
④任意两个菱形：菱形的四条边相等，对应边成比例，但菱形的内角不一定相等，无法保证对应角相等，因此不一定相似，是假命题；
⑤任意两个正方形：正方形的四个角都是90°，对应角相等，且四边相等，对应边的比等于边长的比，对应边成比例，因此一定相似，是真命题；
⑥任意两个边数相等的正多边形：同边数的正多边形内角都相等（内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$），对应角相等，且正多边形各边长度相等，对应边成比例，因此一定相似，是真命题。
综上，真命题为②⑤⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定，特殊多边形的性质，命题真假判断
【点评】
本题核心是考查相似多边形的判定，需牢记相似需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可，分析特殊多边形是否相似时要两个条件都验证，避免只看一个条件就下结论。
【难度系数】
0.7
3.如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是(
A.周长
B.面积
C.每个内角的度数
D.每条边的长度
C
)。A.周长
B.面积
C.每个内角的度数
D.每条边的长度
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确放大镜看多边形的数学本质：得到的新多边形和原多边形是相似图形。接下来回忆相似多边形的相关性质，再逐一分析每个选项：相似图形边长会按比例放大，因此周长、面积都会随之变化，而相似图形对应角相等，因此内角度数不会改变，即可得出正确答案。
【解析】
用放大镜观察多边形时，看到的多边形与原多边形是相似多边形，根据相似多边形的性质：
1. 相似多边形对应边成比例，因此每条边的长度会放大，故D选项不符合题意；
2. 相似多边形的周长比等于相似比，边长放大后周长也会增大，故A选项不符合题意；
3. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，边长放大后面积也会增大，故B选项不符合题意；
4. 相似多边形的对应角相等，因此每个内角的度数不会发生改变，故C选项符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似图形的概念；相似多边形的性质
【点评】
本题结合生活中的放大镜现象考查相似图形的性质，解题关键是判断出放大镜下的图形与原图形相似，明确相似变换仅改变图形的大小，不改变图形的形状和内角度数，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确放大镜看多边形的数学本质：得到的新多边形和原多边形是相似图形。接下来回忆相似多边形的相关性质，再逐一分析每个选项：相似图形边长会按比例放大，因此周长、面积都会随之变化，而相似图形对应角相等，因此内角度数不会改变，即可得出正确答案。
【解析】
用放大镜观察多边形时，看到的多边形与原多边形是相似多边形，根据相似多边形的性质：
1. 相似多边形对应边成比例，因此每条边的长度会放大，故D选项不符合题意；
2. 相似多边形的周长比等于相似比，边长放大后周长也会增大，故A选项不符合题意；
3. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，边长放大后面积也会增大，故B选项不符合题意；
4. 相似多边形的对应角相等，因此每个内角的度数不会发生改变，故C选项符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似图形的概念；相似多边形的性质
【点评】
本题结合生活中的放大镜现象考查相似图形的性质，解题关键是判断出放大镜下的图形与原图形相似，明确相似变换仅改变图形的大小，不改变图形的形状和内角度数，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
4.如图,已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB=2,EF=3,则DC的长是(
A.6
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{9}{2}$
D.4
C
)。A.6
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{9}{2}$
D.4
答案
C
解析
【分析】
本题考查相似多边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。再根据给出的相似四边形的对应关系，明确对应边：四边形ABFE∽四边形EFCD，因此AB的对应边是EF，EF的对应边是DC。最后根据对应边成比例列等式，代入已知数值求解DC的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABFE∽四边形EFCD，
根据相似多边形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{EF}=\frac{EF}{DC}$
将AB=2，EF=3代入上式得：
$\frac{2}{3}=\frac{3}{DC}$
交叉相乘计算：$2DC=3×3=9$
解得：$DC=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别相似多边形的对应边，结合相似多边形对应边成比例的性质列等式计算即可，解题时注意不要弄混对应边的比例关系。
【难度系数】
0.8
本题考查相似多边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。再根据给出的相似四边形的对应关系，明确对应边：四边形ABFE∽四边形EFCD，因此AB的对应边是EF，EF的对应边是DC。最后根据对应边成比例列等式，代入已知数值求解DC的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABFE∽四边形EFCD，
根据相似多边形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{EF}=\frac{EF}{DC}$
将AB=2，EF=3代入上式得：
$\frac{2}{3}=\frac{3}{DC}$
交叉相乘计算：$2DC=3×3=9$
解得：$DC=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别相似多边形的对应边，结合相似多边形对应边成比例的性质列等式计算即可，解题时注意不要弄混对应边的比例关系。
【难度系数】
0.8
5.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF,则∠BAC 的度数为
$135°$
。答案
$135°$
解析
【分析】
要计算∠BAC的度数，已知△ABC和△DEF相似，根据相似三角形对应角相等的性质，只需先确定与∠BAC对应的△DEF的角，求出该角度数即可。首先观察两个三角形：△ABC中∠BAC是钝角，△DEF中只有∠EDF是钝角，因此二者是对应角；再结合网格的特点，很容易求出∠EDF的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵ △ABC∽△DEF，相似三角形的对应角相等，
且△ABC中∠BAC为钝角，△DEF中仅∠EDF为钝角，
∴ ∠BAC与∠EDF是对应角，即∠BAC=∠EDF。
观察网格可知：DE与水平向右方向的夹角是正方形对角线与边的夹角，为45°，该角与∠EDF组成平角，
∴ ∠EDF=180°-45°=135°，
因此∠BAC=∠EDF=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
相似三角形的性质，平角的性质，网格角度计算
【点评】
本题侧重考查相似三角形性质的基础应用，解题的核心是准确找到两个三角形的对应钝角，再结合网格特征快速计算角度，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要计算∠BAC的度数，已知△ABC和△DEF相似，根据相似三角形对应角相等的性质，只需先确定与∠BAC对应的△DEF的角，求出该角度数即可。首先观察两个三角形：△ABC中∠BAC是钝角，△DEF中只有∠EDF是钝角，因此二者是对应角；再结合网格的特点，很容易求出∠EDF的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵ △ABC∽△DEF，相似三角形的对应角相等，
且△ABC中∠BAC为钝角，△DEF中仅∠EDF为钝角，
∴ ∠BAC与∠EDF是对应角，即∠BAC=∠EDF。
观察网格可知：DE与水平向右方向的夹角是正方形对角线与边的夹角，为45°，该角与∠EDF组成平角，
∴ ∠EDF=180°-45°=135°，
因此∠BAC=∠EDF=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
相似三角形的性质，平角的性质，网格角度计算
【点评】
本题侧重考查相似三角形性质的基础应用，解题的核心是准确找到两个三角形的对应钝角，再结合网格特征快速计算角度，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
6.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则∠1=
$70°$
，AD=$28$
。答案
$70°$ $28$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步求∠1：根据相似的对应关系，∠1和四边形ABCD中的∠B是对应角，直接利用对应角相等即可求出；第二步求AD：先找到已知的一组对应边DC和D'C'，计算出相似比，再根据AD和A'D'是对应边，利用对应边成比例列式计算即可得到AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴ 相似四边形的对应角相等，对应边成比例
1. 求∠1：
∠1与∠B是对应角，因此$∠ 1=∠ B=70°$
2. 求AD：
相似比$k=\frac{DC}{D'C'}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$
AD与A'D'是对应边，因此$\frac{AD}{A'D'}=k=\frac{4}{3}$
已知$A'D'=21$，代入得$AD=21×\frac{4}{3}=28$
【答案】
$70°$；$28$
【知识点】
相似多边形对应角相等；相似多边形对应边成比例
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，牢记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步求∠1：根据相似的对应关系，∠1和四边形ABCD中的∠B是对应角，直接利用对应角相等即可求出；第二步求AD：先找到已知的一组对应边DC和D'C'，计算出相似比，再根据AD和A'D'是对应边，利用对应边成比例列式计算即可得到AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴ 相似四边形的对应角相等，对应边成比例
1. 求∠1：
∠1与∠B是对应角，因此$∠ 1=∠ B=70°$
2. 求AD：
相似比$k=\frac{DC}{D'C'}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$
AD与A'D'是对应边，因此$\frac{AD}{A'D'}=k=\frac{4}{3}$
已知$A'D'=21$，代入得$AD=21×\frac{4}{3}=28$
【答案】
$70°$；$28$
【知识点】
相似多边形对应角相等；相似多边形对应边成比例
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，牢记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长。
答案
$EF=\sqrt{13}$。
解析
【分析】
本题可结合矩形性质、相似三角形性质与勾股定理解题：首先矩形的内角为直角，可得△ABE和△DEF的直角为对应角；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出线段DF的长度；最后在Rt△DEF中用勾股定理即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，
将AB=6，AE=9，DE=2代入得：$\frac{6}{2}=\frac{9}{DF}$，
解得DF=3，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$EF=\sqrt{13}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于相似三角形与几何图形结合的基础题，解题核心是找准相似三角形的对应边，利用比例式求出未知线段长度，再结合勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可结合矩形性质、相似三角形性质与勾股定理解题：首先矩形的内角为直角，可得△ABE和△DEF的直角为对应角；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出线段DF的长度；最后在Rt△DEF中用勾股定理即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，
将AB=6，AE=9，DE=2代入得：$\frac{6}{2}=\frac{9}{DF}$，
解得DF=3，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$EF=\sqrt{13}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于相似三角形与几何图形结合的基础题，解题核心是找准相似三角形的对应边，利用比例式求出未知线段长度，再结合勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 如图,四边形ABCD是一张矩形纸片,将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF。若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为(
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$
C
)。A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的边，再结合矩形的性质表示出小矩形HEFG的长和宽，最后根据相似多边形对应边成比例的性质列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
第一步：由折叠性质得DH=AD=1、CG=BC=1，且HE=AD=1，进而表示出HG的长度；第二步：设CD长为x，结合相似矩形对应边成比例列方程；第三步：解方程得到CD的长度。
【解析】
设CD的长为$x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=1$，$AB=CD=x$，$∠ A=∠ B=90°$。
根据折叠的性质可得：$DH=AD=1$，$CG=BC=1$，$∠ DHE=∠ A=90°$，$∠ CGF=∠ B=90°$，
∴$HG=CD-DH-CG=x-1-1=x-2$，且$HE=AD=1$。
∵矩形HEFG与矩形ABCD相似，
∴两个矩形的长宽比相等，即$\frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG}$，代入得：
$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-2}$
整理得$x^2-2x-1=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$（边长为正，舍去），
∴$CD=\sqrt{2}+1$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是找准相似矩形的对应边，避免因对应边混淆列错比例式，求解后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到相等的边，再结合矩形的性质表示出小矩形HEFG的长和宽，最后根据相似多边形对应边成比例的性质列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
第一步：由折叠性质得DH=AD=1、CG=BC=1，且HE=AD=1，进而表示出HG的长度；第二步：设CD长为x，结合相似矩形对应边成比例列方程；第三步：解方程得到CD的长度。
【解析】
设CD的长为$x$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=1$，$AB=CD=x$，$∠ A=∠ B=90°$。
根据折叠的性质可得：$DH=AD=1$，$CG=BC=1$，$∠ DHE=∠ A=90°$，$∠ CGF=∠ B=90°$，
∴$HG=CD-DH-CG=x-1-1=x-2$，且$HE=AD=1$。
∵矩形HEFG与矩形ABCD相似，
∴两个矩形的长宽比相等，即$\frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG}$，代入得：
$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-2}$
整理得$x^2-2x-1=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$（边长为正，舍去），
∴$CD=\sqrt{2}+1$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是找准相似矩形的对应边，避免因对应边混淆列错比例式，求解后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
