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1.因式分解$3x^2 -12$的结果是(
A.$3(x+2)(x-2)$
B.$3(x+4)(x-4)$
C.$3(x-2)^2$
D.$3(x-4)^2$
A
).A.$3(x+2)(x-2)$
B.$3(x+4)(x-4)$
C.$3(x-2)^2$
D.$3(x-4)^2$
答案
1.A
解析
【分析】
因式分解的常规解题顺序是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步再判断提取公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式的结构，套用对应公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，最终结果必须为几个整式乘积的形式。本题按上述顺序逐步操作即可得到结果。
【解析】
对多项式$3x^2 -12$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式3：
$3x^2 -12 = 3(x^2 - 4)$
2. 观察$x^2-4$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x$，$b=2$，继续分解得：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
3. 合并结果可得：$3x^2 -12=3(x+2)(x-2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要严格遵循先提公因式、再套用公式的顺序，注意分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
因式分解的常规解题顺序是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步再判断提取公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式的结构，套用对应公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，最终结果必须为几个整式乘积的形式。本题按上述顺序逐步操作即可得到结果。
【解析】
对多项式$3x^2 -12$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式3：
$3x^2 -12 = 3(x^2 - 4)$
2. 观察$x^2-4$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x$，$b=2$，继续分解得：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
3. 合并结果可得：$3x^2 -12=3(x+2)(x-2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要严格遵循先提公因式、再套用公式的顺序，注意分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
2.下列因式分解正确的是(
A.$4 - x^2=(4 + x)(4 - x)$
B.$x^2 + 2x -1=(x -1)^2$
C.$2x^2 -2=2(x^2 -1)=2(x +1)(x -1)$
D.$x^2 -2x +2=x(x -1)+2$
C
).A.$4 - x^2=(4 + x)(4 - x)$
B.$x^2 + 2x -1=(x -1)^2$
C.$2x^2 -2=2(x^2 -1)=2(x +1)(x -1)$
D.$x^2 -2x +2=x(x -1)+2$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，首先需明确两个核心判断标准：①因式分解的最终结果必须是几个整式乘积的形式；②分解过程要符合运算法则，公式使用正确，且要分解到不能再分解为止。解题时逐一分析每个选项，对照上述标准判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$4-x^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=2,b=x$，正确分解应为$4-x^2=(2+x)(2-x)$，选项分解错误，故A不符合要求。
B选项：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将$(x-1)^2$展开得$x^2-2x+1$，与左边$x^2+2x-1$不相等，且原式不符合完全平方三项式的特征，故B不符合要求。
C选项：先提取公因式2得$2(x^2-1)$，再对$x^2-1$用平方差公式分解得$(x+1)(x-1)$，最终结果为$2(x+1)(x-1)$，分解过程正确且已分解彻底，故C符合要求。
D选项：因式分解的结果必须是整式乘积的形式，该选项右边为$x(x-1)+2$，是乘积与常数的和，不属于因式分解，故D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础判断类题目，需要准确理解因式分解的概念，熟练掌握提公因式法和公式法的使用规则，牢记乘法公式的形式，同时注意因式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，首先需明确两个核心判断标准：①因式分解的最终结果必须是几个整式乘积的形式；②分解过程要符合运算法则，公式使用正确，且要分解到不能再分解为止。解题时逐一分析每个选项，对照上述标准判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$4-x^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=2,b=x$，正确分解应为$4-x^2=(2+x)(2-x)$，选项分解错误，故A不符合要求。
B选项：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将$(x-1)^2$展开得$x^2-2x+1$，与左边$x^2+2x-1$不相等，且原式不符合完全平方三项式的特征，故B不符合要求。
C选项：先提取公因式2得$2(x^2-1)$，再对$x^2-1$用平方差公式分解得$(x+1)(x-1)$，最终结果为$2(x+1)(x-1)$，分解过程正确且已分解彻底，故C符合要求。
D选项：因式分解的结果必须是整式乘积的形式，该选项右边为$x(x-1)+2$，是乘积与常数的和，不属于因式分解，故D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础判断类题目，需要准确理解因式分解的概念，熟练掌握提公因式法和公式法的使用规则，牢记乘法公式的形式，同时注意因式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
3.把$(a^2+1)^2 -4a^2$因式分解得(
A.$(a^2+1-4a)^2$
B.$(a^2+1-4a)^2$
C.$(a+1)^2(a-1)^2$
D.$(a^2-1)^2$
C
).A.$(a^2+1-4a)^2$
B.$(a^2+1-4a)^2$
C.$(a+1)^2(a-1)^2$
D.$(a^2-1)^2$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察式子结构，发现原式是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，第一步优先用平方差公式分解；分解得到的两个多项式又分别符合完全平方公式的结构，可再次用完全平方公式分解；最后要检查因式分解是否彻底，直到每个因式都不能再分解为止，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：将原式变形为平方差的标准形式：
$\begin{aligned}(a^2+1)^2 -4a^2&=(a^2+1)^2 - (2a)^2\end{aligned}$
第二步：套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（其中$m=a^2+1$，$n=2a$）分解得：
$\begin{aligned}&=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)\end{aligned}$
第三步：两个因式分别符合完全平方公式，继续分解：
$\begin{aligned}&=(a^2+2a+1)(a^2-2a+1)\\&=(a+1)^2(a-1)^2\end{aligned}$
选项A、B不符合平方差公式的分解规则，错误；选项D的$(a^2-1)^2$没有分解彻底，还可继续分解为$(a+1)^2(a-1)^2$，错误。因此正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解；因式分解要彻底
【点评】
本题是公式法因式分解的典型综合题，需要熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，按“先识别结构、再套用公式、最后检查分解是否彻底”的步骤解题即可，注意避免因忘记分解彻底误选D选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察式子结构，发现原式是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，第一步优先用平方差公式分解；分解得到的两个多项式又分别符合完全平方公式的结构，可再次用完全平方公式分解；最后要检查因式分解是否彻底，直到每个因式都不能再分解为止，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：将原式变形为平方差的标准形式：
$\begin{aligned}(a^2+1)^2 -4a^2&=(a^2+1)^2 - (2a)^2\end{aligned}$
第二步：套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（其中$m=a^2+1$，$n=2a$）分解得：
$\begin{aligned}&=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)\end{aligned}$
第三步：两个因式分别符合完全平方公式，继续分解：
$\begin{aligned}&=(a^2+2a+1)(a^2-2a+1)\\&=(a+1)^2(a-1)^2\end{aligned}$
选项A、B不符合平方差公式的分解规则，错误；选项D的$(a^2-1)^2$没有分解彻底，还可继续分解为$(a+1)^2(a-1)^2$，错误。因此正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解；因式分解要彻底
【点评】
本题是公式法因式分解的典型综合题，需要熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，按“先识别结构、再套用公式、最后检查分解是否彻底”的步骤解题即可，注意避免因忘记分解彻底误选D选项。
【难度系数】
0.7
4.下面是甲、乙两位同学因式分解 $x - x^3$ 的结果，下列判断正确的是(
甲同学：原式$=x(x+1)(x-1)$
乙同学：原式$=x(1+x)(1-x)$
A.甲的结果正确，乙的结果错误
B.乙的结果正确，甲的结果错误
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
B
).甲同学：原式$=x(x+1)(x-1)$
乙同学：原式$=x(1+x)(1-x)$
A.甲的结果正确，乙的结果错误
B.乙的结果正确，甲的结果错误
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
答案
4.B
解析
【分析】
要判断甲乙两人的因式分解结果是否正确，我们可以先按照因式分解的规范步骤计算出原式的正确结果，再和两人的结果对比。因式分解的常规思路是先提取公因式，再看剩下的部分能否用公式法继续分解，最后也可以通过整式乘法逆推验证结果是否和原式相等。
【解析】
我们先对$x - x^3$进行因式分解：
第一步：提取公因式$x$，可得
$x - x^3 = x(1 - x^2)$
第二步：对括号内的$1 - x^2$用平方差公式分解，平方差公式为$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，这里$a=1$，$b=x$，因此$1 - x^2=(1 - x)(1 + x)$，代入得：
原式$=x(1 + x)(1 - x)$
接下来对比两人结果：
甲的结果为$x(x+1)(x-1)$，其中$x-1=-(1 - x)$，因此甲的结果$=x(x+1)×[-(1 - x)]=-x(1+x)(1 - x)$，与原式不相等，甲错误；
乙的结果和我们计算的正确结果完全一致，乙正确。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础判断题，解题的关键是掌握因式分解的步骤，以及平方差公式的结构特征，尤其要注意分解过程中的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要判断甲乙两人的因式分解结果是否正确，我们可以先按照因式分解的规范步骤计算出原式的正确结果，再和两人的结果对比。因式分解的常规思路是先提取公因式，再看剩下的部分能否用公式法继续分解，最后也可以通过整式乘法逆推验证结果是否和原式相等。
【解析】
我们先对$x - x^3$进行因式分解：
第一步：提取公因式$x$，可得
$x - x^3 = x(1 - x^2)$
第二步：对括号内的$1 - x^2$用平方差公式分解，平方差公式为$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，这里$a=1$，$b=x$，因此$1 - x^2=(1 - x)(1 + x)$，代入得：
原式$=x(1 + x)(1 - x)$
接下来对比两人结果：
甲的结果为$x(x+1)(x-1)$，其中$x-1=-(1 - x)$，因此甲的结果$=x(x+1)×[-(1 - x)]=-x(1+x)(1 - x)$，与原式不相等，甲错误；
乙的结果和我们计算的正确结果完全一致，乙正确。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础判断题，解题的关键是掌握因式分解的步骤，以及平方差公式的结构特征，尤其要注意分解过程中的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
5.把$x^2 - 2xy + y^2 + x - y$进行因式分解的结果是(
A.$(x-y)(x-y+1)$
B.$(x-y)(x-y-1)$
C.$(x+y)(x-y+1)$
D.$(x+y)(x-y-1)$
A
).A.$(x-y)(x-y+1)$
B.$(x-y)(x-y-1)$
C.$(x+y)(x-y+1)$
D.$(x+y)(x-y-1)$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先观察多项式的结构特征，前三项$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式的形式，因此可以先将前三项分为一组，先用完全平方公式分解，得到含有$(x-y)$的式子，再观察发现整个式子存在公因式$(x-y)$，最后提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
解：对原式分组可得：
$x^2 - 2xy + y^2 + x - y=(x^2-2xy+y^2)+(x-y)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，分解前半部分：
原式$=(x-y)^2 + (x-y)$
提取公因式$(x-y)$：
原式$=(x-y)(x-y + 1)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，提取公因式法，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题的关键是准确识别式子中的完全平方结构，合理分组后结合提取公因式完成分解，解题过程中注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
解题时先观察多项式的结构特征，前三项$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式的形式，因此可以先将前三项分为一组，先用完全平方公式分解，得到含有$(x-y)$的式子，再观察发现整个式子存在公因式$(x-y)$，最后提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
解：对原式分组可得：
$x^2 - 2xy + y^2 + x - y=(x^2-2xy+y^2)+(x-y)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，分解前半部分：
原式$=(x-y)^2 + (x-y)$
提取公因式$(x-y)$：
原式$=(x-y)(x-y + 1)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，提取公因式法，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题的关键是准确识别式子中的完全平方结构，合理分组后结合提取公因式完成分解，解题过程中注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
6.分解因式：$2m^3 -12m^2 +18m =$
$2m(m-3)^2$
.答案
6.$2m(m-3)^2$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项系数的最大公约数是2，都含有字母m且m的最低次幂是1，因此先提取公因式2m；第二步提取公因式后得到二次三项式$m^2-6m+9$，对照完全平方公式“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的结构特征，判断该式符合完全平方差公式的形式，可以继续分解；最后检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：$2m^3 -12m^2 +18m$
$=2m(m^2 - 6m + 9)$（提取公因式$2m$）
$=2m(m^2 - 2· m· 3 + 3^2)$（变形为完全平方公式的标准形式）
$=2m(m-3)^2$（套用完全平方差公式分解）
【答案】
$2m(m-3)^2$
【知识点】
提取公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题时需严格按照因式分解的顺序操作，优先提取公因式，再根据剩余因式的结构选择对应的公式分解，最终要验证分解结果是否彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项系数的最大公约数是2，都含有字母m且m的最低次幂是1，因此先提取公因式2m；第二步提取公因式后得到二次三项式$m^2-6m+9$，对照完全平方公式“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的结构特征，判断该式符合完全平方差公式的形式，可以继续分解；最后检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：$2m^3 -12m^2 +18m$
$=2m(m^2 - 6m + 9)$（提取公因式$2m$）
$=2m(m^2 - 2· m· 3 + 3^2)$（变形为完全平方公式的标准形式）
$=2m(m-3)^2$（套用完全平方差公式分解）
【答案】
$2m(m-3)^2$
【知识点】
提取公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题时需严格按照因式分解的顺序操作，优先提取公因式，再根据剩余因式的结构选择对应的公式分解，最终要验证分解结果是否彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
7.计算：$80× 3.5^2 + 160× 3.5× 1.5 + 80× 1.5^2 =$
$2000$
.答案
7.$2000$
解析
【分析】
观察算式结构可知，各项都含有公因式80，可先提取公因式80，再观察提取公因式后剩余的式子，发现其恰好符合完全平方和公式的结构特征，套用完全平方公式进行因式分解后再计算，可大大简化运算步骤，避免直接计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=80×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2)$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，令$a=3.5$，$b=1.5$，可得：
$=80×(3.5 + 1.5)^2$
$=80×5^2$
$=80×25$
$=2000$
【答案】
2000
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；因式分解的简便应用
【点评】
本题是利用因式分解简化实数运算的典型题型，解题核心是先识别式子的公因式，提取公因式后再匹配对应的乘法公式，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
观察算式结构可知，各项都含有公因式80，可先提取公因式80，再观察提取公因式后剩余的式子，发现其恰好符合完全平方和公式的结构特征，套用完全平方公式进行因式分解后再计算，可大大简化运算步骤，避免直接计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=80×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2)$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，令$a=3.5$，$b=1.5$，可得：
$=80×(3.5 + 1.5)^2$
$=80×5^2$
$=80×25$
$=2000$
【答案】
2000
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；因式分解的简便应用
【点评】
本题是利用因式分解简化实数运算的典型题型，解题核心是先识别式子的公因式，提取公因式后再匹配对应的乘法公式，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
8.分解因式.
(1) $9a - a^3$.
(2) $2x^2 - 12x + 18$.
(1) $9a - a^3$.
(2) $2x^2 - 12x + 18$.
答案
8.(1)$a(3+a)(3-a)$.
(2)$2(x-3)^2$.
(2)$2(x-3)^2$.
解析
【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再套公式”的基本思路，最终要保证每个因式都不能再分解为止。
对于第(1)题：首先观察多项式两项都含有公因式$a$，先提取公因式，再看提取后余下的$9-a^2$是两项平方作差的形式，符合平方差公式的特征，可继续用平方差公式分解。
对于第(2)题：首先观察多项式三项系数的最大公因数是2，先提取公因式2，再看提取后余下的$x^2-6x+9$是三项，满足“首平方、尾平方，首尾2倍在中央”的特征，符合完全平方公式的特征，可继续用完全平方公式分解。
【解析】
(1) $\begin{aligned}9a - a^3&=a(9 - a^2)\\&=a(3^2 - a^2)\\&=a(3+a)(3-a)\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}2x^2 - 12x + 18&=2(x^2 - 6x + 9)\\&=2(x^2 - 2· x·3 + 3^2)\\&=2(x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$a(3+a)(3-a)$；(2)$2(x-3)^2$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本步骤，只要牢记“先提公因式后套公式”的顺序，且注意分解要彻底，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“先提公因式，再套公式”的基本思路，最终要保证每个因式都不能再分解为止。
对于第(1)题：首先观察多项式两项都含有公因式$a$，先提取公因式，再看提取后余下的$9-a^2$是两项平方作差的形式，符合平方差公式的特征，可继续用平方差公式分解。
对于第(2)题：首先观察多项式三项系数的最大公因数是2，先提取公因式2，再看提取后余下的$x^2-6x+9$是三项，满足“首平方、尾平方，首尾2倍在中央”的特征，符合完全平方公式的特征，可继续用完全平方公式分解。
【解析】
(1) $\begin{aligned}9a - a^3&=a(9 - a^2)\\&=a(3^2 - a^2)\\&=a(3+a)(3-a)\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}2x^2 - 12x + 18&=2(x^2 - 6x + 9)\\&=2(x^2 - 2· x·3 + 3^2)\\&=2(x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$a(3+a)(3-a)$；(2)$2(x-3)^2$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本步骤，只要牢记“先提公因式后套公式”的顺序，且注意分解要彻底，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
