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10.在数学课上，老师在黑板上书写了$M,N$两个整式：$M=-2a^2+4a$，$N=-2(a^2-2a+2)$。
(1)比较$M,N$的大小。
(2)若$P+2N=M-6$，证明：$P$不可能小于0。
(1)比较$M,N$的大小。
(2)若$P+2N=M-6$，证明：$P$不可能小于0。
答案
10.(1)$M-N=-2a^2+4a-[-2(a^2-2a+2)]$
$=-2a^2+4a-(-2a^2+4a-4)$
$=-2a^2+4a+2a^2-4a+4$
$=4＞0$.
$\therefore M＞N$.
(2)$P=M-2N-6$
$=-2a^2+4a-2×[-2(a^2-2a+2)]-6$
$=-2a^2+4a+4(a^2-2a+2)-6$
$=2a^2-4a+2=2(a^2-2a+1)$
$=2(a-1)^2≥0$.
$\therefore P$不可能小于0.
$=-2a^2+4a-(-2a^2+4a-4)$
$=-2a^2+4a+2a^2-4a+4$
$=4＞0$.
$\therefore M＞N$.
(2)$P=M-2N-6$
$=-2a^2+4a-2×[-2(a^2-2a+2)]-6$
$=-2a^2+4a+4(a^2-2a+2)-6$
$=2a^2-4a+2=2(a^2-2a+1)$
$=2(a-1)^2≥0$.
$\therefore P$不可能小于0.
解析
【分析】
(1) 比较两个整式的大小常用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差为0，则两式相等。因此只需计算$M-N$，化简后判断结果的正负，即可得出$M$和$N$的大小关系。
(2) 要证明$P$不可能小于0，首先根据已知等式变形得到$P$的表达式：$P=M-2N-6$，再将$M$、$N$代入表达式化简，最后利用完全平方的非负性即可判断$P$的取值范围。
【解析】
(1) 计算$M$与$N$的差：
$\begin{aligned}M-N&=-2a^2+4a-[-2(a^2-2a+2)]\\&=-2a^2+4a-(-2a^2+4a-4)\\&=-2a^2+4a+2a^2-4a+4\\&=4＞0\end{aligned}$
$\therefore M＞N$
(2) 由$P+2N=M-6$移项得：
$P=M-2N-6$
将$M=-2a^2+4a$，$N=-2(a^2-2a+2)$代入上式：
$\begin{aligned}P&=-2a^2+4a-2×[-2(a^2-2a+2)]-6\\&=-2a^2+4a+4(a^2-2a+2)-6\\&=-2a^2+4a+4a^2-8a+8-6\\&=2a^2-4a+2\\&=2(a^2-2a+1)\\&=2(a-1)^2\end{aligned}$
$\because (a-1)^2≥0$，$\therefore 2(a-1)^2≥0$，即$P≥0$，因此$P$不可能小于0。
【答案】
(1) $\boldsymbol{M＞N}$；
(2) 证明成立，$P$不可能小于0。
【知识点】
作差法比较大小，整式加减运算，完全平方的非负性
【点评】
本题考查整式的化简运算和完全平方公式的应用，作差法是比较代数式大小的基础常用方法，利用平方的非负性判断代数式取值范围是常考题型，解题关键是熟练掌握整式运算规则，避免符号运算出错，同时能准确运用完全平方公式分解因式。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个整式的大小常用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差为0，则两式相等。因此只需计算$M-N$，化简后判断结果的正负，即可得出$M$和$N$的大小关系。
(2) 要证明$P$不可能小于0，首先根据已知等式变形得到$P$的表达式：$P=M-2N-6$，再将$M$、$N$代入表达式化简，最后利用完全平方的非负性即可判断$P$的取值范围。
【解析】
(1) 计算$M$与$N$的差：
$\begin{aligned}M-N&=-2a^2+4a-[-2(a^2-2a+2)]\\&=-2a^2+4a-(-2a^2+4a-4)\\&=-2a^2+4a+2a^2-4a+4\\&=4＞0\end{aligned}$
$\therefore M＞N$
(2) 由$P+2N=M-6$移项得：
$P=M-2N-6$
将$M=-2a^2+4a$，$N=-2(a^2-2a+2)$代入上式：
$\begin{aligned}P&=-2a^2+4a-2×[-2(a^2-2a+2)]-6\\&=-2a^2+4a+4(a^2-2a+2)-6\\&=-2a^2+4a+4a^2-8a+8-6\\&=2a^2-4a+2\\&=2(a^2-2a+1)\\&=2(a-1)^2\end{aligned}$
$\because (a-1)^2≥0$，$\therefore 2(a-1)^2≥0$，即$P≥0$，因此$P$不可能小于0。
【答案】
(1) $\boldsymbol{M＞N}$；
(2) 证明成立，$P$不可能小于0。
【知识点】
作差法比较大小，整式加减运算，完全平方的非负性
【点评】
本题考查整式的化简运算和完全平方公式的应用，作差法是比较代数式大小的基础常用方法，利用平方的非负性判断代数式取值范围是常考题型，解题关键是熟练掌握整式运算规则，避免符号运算出错，同时能准确运用完全平方公式分解因式。
【难度系数】
0.7
11.【问题情境】(1)将下列各式因式分解，结果直接写在横线上.
$x^2 +6x +9 =$
【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：$6^2 =4×1×9$；$(-2)^2 =4×1×1$；$(-20)^2 =4×4×25$.
【归纳猜想】(2)若多项式$ax^2 +bx +c(a＞0,c＞0)$是完全平方式，猜想系数$a,b,c$之间存在的关系式.
【验证结论】(3)请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论.
【解决问题】(4)若多项式$x^2 -(n+6)x +(10+3n)$是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出$n$的值.
$x^2 +6x +9 =$
$(x+3)^2$
；$x^2 -2x +1 =$ $(x-1)^2$
；$4y^2 -20y +25 =$ $(2y-5)^2$
.【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：$6^2 =4×1×9$；$(-2)^2 =4×1×1$；$(-20)^2 =4×4×25$.
【归纳猜想】(2)若多项式$ax^2 +bx +c(a＞0,c＞0)$是完全平方式，猜想系数$a,b,c$之间存在的关系式.
【验证结论】(3)请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论.
【解决问题】(4)若多项式$x^2 -(n+6)x +(10+3n)$是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出$n$的值.
答案
11.(2)$b^2=4ac$.
(3)可用$x^2+4x+4$验证：
$\because b^2=4^2=16,4ac=4×1×4=16,\therefore b^2=4ac$.
(4)$\because$多项式$x^2-(n+6)x+(10+3n)$是一个完全平方式，
$\therefore [-(n+6)]^2=4×1×(10+3n)$.
$\therefore n^2+12n+36=40+12n$,即$n^2=4$,解得$n=\pm2$.
(3)可用$x^2+4x+4$验证：
$\because b^2=4^2=16,4ac=4×1×4=16,\therefore b^2=4ac$.
(4)$\because$多项式$x^2-(n+6)x+(10+3n)$是一个完全平方式，
$\therefore [-(n+6)]^2=4×1×(10+3n)$.
$\therefore n^2+12n+36=40+12n$,即$n^2=4$,解得$n=\pm2$.
解析
【分析】
解题可按四小问依次推进：
1. 第(1)问逆用完全平方公式因式分解，回忆公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对应找到每式的$a$、$b$代入即可；
2. 第(2)问观察题干给出的3组系数的等量关系，可直接归纳出$a$、$b$、$c$的关系：一次项系数的平方等于4倍二次项系数与常数项的乘积；
3. 第(3)问先写一个题干未出现过的完全平方式，再分别计算$b^2$和$4ac$的值，验证二者相等即可；
4. 第(4)问先确定多项式对应$a$、$b$、$c$的取值，代入第(2)问得到的关系式，解关于$n$的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式逆运算：
$x^2+6x+9=x^2+2× x×3+3^2=(x+3)^2$；
$x^2-2x+1=x^2-2× x×1+1^2=(x-1)^2$；
$4y^2-20y+25=(2y)^2-2×2y×5+5^2=(2y-5)^2$。
(2) 观察给出的系数规律：$6^2=4×1×9$，$(-2)^2=4×1×1$，$(-20)^2=4×4×25$，可得完全平方式$ax^2+bx+c(a＞0,c＞0)$的系数关系为$b^2=4ac$。
(3) 示例：取完全平方式$x^2+4x+4$，
其中$a=1$，$b=4$，$c=4$，
计算得$b^2=4^2=16$，$4ac=4×1×4=16$，
$\therefore b^2=4ac$，符合猜想的关系式。
(4) 对于多项式$x^2-(n+6)x+(10+3n)$，
可得$a=1$，$b=-(n+6)$，$c=10+3n$，
$\because$该多项式是完全平方式，
$\therefore$满足$b^2=4ac$，代入得：
$[-(n+6)]^2=4×1×(10+3n)$
展开左边：$n^2+12n+36=40+12n$
两边同时减去$12n$，得$n^2=4$
解得$n=\pm2$。
【答案】
(1) $(x+3)^2$；$(x-1)^2$；$(2y-5)^2$
(2) $b^2=4ac$
(3) 示例：$x^2+4x+4$，验证符合$b^2=4ac$（答案不唯一）
(4) $n=\pm2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解；一元二次方程解法
【点评】
本题由浅入深，先考查基础的完全平方公式因式分解，再引导学生自主探究完全平方式的系数特征，最终应用规律求解参数，兼顾了基础知识的落实和探究能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题可按四小问依次推进：
1. 第(1)问逆用完全平方公式因式分解，回忆公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对应找到每式的$a$、$b$代入即可；
2. 第(2)问观察题干给出的3组系数的等量关系，可直接归纳出$a$、$b$、$c$的关系：一次项系数的平方等于4倍二次项系数与常数项的乘积；
3. 第(3)问先写一个题干未出现过的完全平方式，再分别计算$b^2$和$4ac$的值，验证二者相等即可；
4. 第(4)问先确定多项式对应$a$、$b$、$c$的取值，代入第(2)问得到的关系式，解关于$n$的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式逆运算：
$x^2+6x+9=x^2+2× x×3+3^2=(x+3)^2$；
$x^2-2x+1=x^2-2× x×1+1^2=(x-1)^2$；
$4y^2-20y+25=(2y)^2-2×2y×5+5^2=(2y-5)^2$。
(2) 观察给出的系数规律：$6^2=4×1×9$，$(-2)^2=4×1×1$，$(-20)^2=4×4×25$，可得完全平方式$ax^2+bx+c(a＞0,c＞0)$的系数关系为$b^2=4ac$。
(3) 示例：取完全平方式$x^2+4x+4$，
其中$a=1$，$b=4$，$c=4$，
计算得$b^2=4^2=16$，$4ac=4×1×4=16$，
$\therefore b^2=4ac$，符合猜想的关系式。
(4) 对于多项式$x^2-(n+6)x+(10+3n)$，
可得$a=1$，$b=-(n+6)$，$c=10+3n$，
$\because$该多项式是完全平方式，
$\therefore$满足$b^2=4ac$，代入得：
$[-(n+6)]^2=4×1×(10+3n)$
展开左边：$n^2+12n+36=40+12n$
两边同时减去$12n$，得$n^2=4$
解得$n=\pm2$。
【答案】
(1) $(x+3)^2$；$(x-1)^2$；$(2y-5)^2$
(2) $b^2=4ac$
(3) 示例：$x^2+4x+4$，验证符合$b^2=4ac$（答案不唯一）
(4) $n=\pm2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解；一元二次方程解法
【点评】
本题由浅入深，先考查基础的完全平方公式因式分解，再引导学生自主探究完全平方式的系数特征，最终应用规律求解参数，兼顾了基础知识的落实和探究能力的考查。
【难度系数】
0.7
