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1. 如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C都在格点上,则$\sin∠ ABC$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
解析
【分析】
要求$\sin∠ABC$的值，需结合锐角正弦的定义求解，正弦是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，因此我们需要构造出含$∠ABC$的直角三角形。首先可以用勾股定理先算出$AB$、$BC$的长度，再通过割补法求出$△ ABC$的面积，利用面积公式算出点$C$到$AB$的垂线段长度（即$∠ABC$的对边），最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$。
1. 由勾股定理计算边长：
横向、纵向数格子可得，$AB$的横向差为4，纵向差为4，因此$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
$BC$的横向差为3，纵向差为1，因此$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 用割补法计算$△ ABC$的面积：
观察网格可得$S_{△ ABC}=4$。
3. 根据三角形面积公式求高$CD$：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值：
$4=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× CD$，解得$CD=\sqrt{2}$。
4. 在$Rt△ BCD$中，根据正弦定义计算：
$\sin∠ABC=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形面积计算
【点评】
本题是网格类的三角函数常考题，解题核心是通过面积法构造出包含所求角的直角三角形，需要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义，灵活运用面积法求高。
【难度系数】
0.65
要求$\sin∠ABC$的值，需结合锐角正弦的定义求解，正弦是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，因此我们需要构造出含$∠ABC$的直角三角形。首先可以用勾股定理先算出$AB$、$BC$的长度，再通过割补法求出$△ ABC$的面积，利用面积公式算出点$C$到$AB$的垂线段长度（即$∠ABC$的对边），最后代入正弦定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$。
1. 由勾股定理计算边长：
横向、纵向数格子可得，$AB$的横向差为4，纵向差为4，因此$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
$BC$的横向差为3，纵向差为1，因此$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 用割补法计算$△ ABC$的面积：
观察网格可得$S_{△ ABC}=4$。
3. 根据三角形面积公式求高$CD$：
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，代入数值：
$4=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× CD$，解得$CD=\sqrt{2}$。
4. 在$Rt△ BCD$中，根据正弦定义计算：
$\sin∠ABC=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形面积计算
【点评】
本题是网格类的三角函数常考题，解题核心是通过面积法构造出包含所求角的直角三角形，需要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义，灵活运用面积法求高。
【难度系数】
0.65
2.如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $AC=3$, $BC=1$, $BD⊥ AC$ 于点 $D$, 则 $\cos∠ DBC$ 的值为________。
答案
$\boldsymbol{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
解析
【分析】
本题可通过角的转化简化计算：首先观察到∠DBC和∠A都是∠C的余角，根据同角的余角相等可得∠DBC=∠A，因此求cos∠DBC可转化为求cos∠A。接下来先用勾股定理求出Rt△ABC中AB的长度，再根据余弦的定义计算cos∠A即可。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=3$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
2. 因为$BD⊥ AC$，所以$∠ BDC=90°$，因此$∠ DBC + ∠ C=90°$。
又因为$∠ A + ∠ C=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ DBC=∠ A$。
3. 根据余弦的定义，$\cos∠ A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，因此$\cos∠ DBC=\cos∠ A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
【知识点】
勾股定理，同角的余角相等，锐角三角函数定义
【点评】
本题是三角函数的基础题型，解题核心是利用角的相等关系将未知角的三角函数值转化为已知三角形内角的三角函数值，减少计算量，考查了学生对直角三角形性质和三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题可通过角的转化简化计算：首先观察到∠DBC和∠A都是∠C的余角，根据同角的余角相等可得∠DBC=∠A，因此求cos∠DBC可转化为求cos∠A。接下来先用勾股定理求出Rt△ABC中AB的长度，再根据余弦的定义计算cos∠A即可。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=3$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
2. 因为$BD⊥ AC$，所以$∠ BDC=90°$，因此$∠ DBC + ∠ C=90°$。
又因为$∠ A + ∠ C=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ DBC=∠ A$。
3. 根据余弦的定义，$\cos∠ A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，因此$\cos∠ DBC=\cos∠ A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
【知识点】
勾股定理，同角的余角相等，锐角三角函数定义
【点评】
本题是三角函数的基础题型，解题核心是利用角的相等关系将未知角的三角函数值转化为已知三角形内角的三角函数值，减少计算量，考查了学生对直角三角形性质和三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $AC=BC=2$, 点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上, 且 $CD=AB$, 则 $\sin D$ 的值是。
（第3题）
（第3题）答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
要求$\sin D$的值，需将$∠ D$放在直角三角形中求解，因此先过点$C$作$CE⊥ AD$于点$E$，构造出含$∠ D$的$\mathrm{Rt}△ CDE$。首先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出$AB$的长度，再得到斜边上的高$CE$的长度，结合已知$CD=AB$得到$CD$的长度，最后根据正弦函数的定义计算$\sin D$即可。
【解析】
解：过点$C$作$CE⊥ AD$于点$E$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=2$，
$\therefore$由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$CE⊥ AB$，
$\therefore CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的中线，$\therefore CE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。
$\because$已知$CD=AB$，$\therefore CD=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，$∠ CED=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin D=\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题的关键是通过作高构造出包含所求角的直角三角形，再结合等腰直角三角形的性质得到对应边的长度，代入三角函数公式计算即可，属于基础的几何计算类题型。
【难度系数】
0.7
要求$\sin D$的值，需将$∠ D$放在直角三角形中求解，因此先过点$C$作$CE⊥ AD$于点$E$，构造出含$∠ D$的$\mathrm{Rt}△ CDE$。首先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出$AB$的长度，再得到斜边上的高$CE$的长度，结合已知$CD=AB$得到$CD$的长度，最后根据正弦函数的定义计算$\sin D$即可。
【解析】
解：过点$C$作$CE⊥ AD$于点$E$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=2$，
$\therefore$由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$CE⊥ AB$，
$\therefore CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的中线，$\therefore CE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。
$\because$已知$CD=AB$，$\therefore CD=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ CED$中，$∠ CED=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin D=\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题的关键是通过作高构造出包含所求角的直角三角形，再结合等腰直角三角形的性质得到对应边的长度，代入三角函数公式计算即可，属于基础的几何计算类题型。
【难度系数】
0.7
4. 提升题▶如图，在矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE。将$△ ABG$和$△ ECG$分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的点F处。若$AB=4$，$BC=6$，则$\sin ∠ DAE=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{7}{25}}$
解析
【分析】
本题是矩形折叠与锐角三角函数结合的题型，解题思路可按以下步骤梳理：1. 首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，可得AB=AF，CE=FE，因此AE=AF+FE=AB+CE；2. 观察∠DAE位于Rt△ADE中，根据正弦的定义，sin∠DAE=对边DE/斜边AE，因此只需计算出DE和AE的长度即可求解；3. 设CE为未知数x，用含x的式子表示DE和AE，再结合Rt△ADE的勾股定理列方程求解x，最后代入三角函数定义式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AB=CD=4，∠D=90°。
由折叠的性质可得：△ABG≌△AFG，△ECG≌△EFG，
∴AF=AB=4，FE=CE，
∴AE=AF+FE=4+CE。
设CE=x，则DE=CD-CE=4-x，AE=4+x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理有：$AD^2 + DE^2 = AE^2$，
代入数值可得：$6^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2$，
展开得：$36 + 16 - 8x + x^2 = 16 + 8x + x^2$，
化简得：$16x=36$，解得$x=\frac{9}{4}$，
∴$DE=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$，$AE=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$，
∴$\sin∠DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{25}{4}}=\frac{7}{25}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{7}{25}}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于折叠类的典型考题，解题关键是利用折叠前后边相等的关系，建立AE与CE的数量关系，再结合勾股定理构造方程求解，能较好地考查学生的几何转化能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题是矩形折叠与锐角三角函数结合的题型，解题思路可按以下步骤梳理：1. 首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，可得AB=AF，CE=FE，因此AE=AF+FE=AB+CE；2. 观察∠DAE位于Rt△ADE中，根据正弦的定义，sin∠DAE=对边DE/斜边AE，因此只需计算出DE和AE的长度即可求解；3. 设CE为未知数x，用含x的式子表示DE和AE，再结合Rt△ADE的勾股定理列方程求解x，最后代入三角函数定义式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AB=CD=4，∠D=90°。
由折叠的性质可得：△ABG≌△AFG，△ECG≌△EFG，
∴AF=AB=4，FE=CE，
∴AE=AF+FE=4+CE。
设CE=x，则DE=CD-CE=4-x，AE=4+x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理有：$AD^2 + DE^2 = AE^2$，
代入数值可得：$6^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2$，
展开得：$36 + 16 - 8x + x^2 = 16 + 8x + x^2$，
化简得：$16x=36$，解得$x=\frac{9}{4}$，
∴$DE=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$，$AE=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$，
∴$\sin∠DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{25}{4}}=\frac{7}{25}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{7}{25}}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于折叠类的典型考题，解题关键是利用折叠前后边相等的关系，建立AE与CE的数量关系，再结合勾股定理构造方程求解，能较好地考查学生的几何转化能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
5.如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点D，$AD=4$，$BC=6$，$\tan C=2$。
(1)求CD的长。
(2)求$\cos B$的值。
(1)求CD的长。
(2)求$\cos B$的值。
答案
解：
(1) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，$\tan C = \frac{AD}{CD}=2$，
将$AD=4$代入得：$\frac{4}{CD}=2$，
解得 $CD=2$。
(2) ∵ $BC=6$，$CD=2$，
∴ $BD=BC-CD=6-2=4$。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $\cos B = \frac{BD}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答：(1) CD的长为2；(2) $\cos B$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(1) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，$\tan C = \frac{AD}{CD}=2$，
将$AD=4$代入得：$\frac{4}{CD}=2$，
解得 $CD=2$。
(2) ∵ $BC=6$，$CD=2$，
∴ $BD=BC-CD=6-2=4$。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $\cos B = \frac{BD}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答：(1) CD的长为2；(2) $\cos B$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求CD的长时，首先由AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，已知tanC的取值与AD的长度，根据正切函数“对边比邻边”的定义，即$\tan C=\frac{AD}{CD}$，代入已知数值即可直接求解CD。
(2) 求$\cos B$的值时，余弦函数的定义为“邻边比斜边”，因此需要先得到Rt△ABD中∠B的邻边BD、斜边AB的长度：先通过BC与CD的差算出BD的长度，再用勾股定理求出AB的长度，最后代入余弦定义即可得到$\cos B$的值。
【解析】
(1) $\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD}=2$，
将$AD=4$代入得：$\frac{4}{CD}=2$，
解得 $CD=2$。
(2) $\because BC=6$，$CD=2$，
$\therefore BD=BC-CD=6-2=4$。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \cos B = \frac{BD}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形边角关系的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理的使用方法，结合图形分析各边的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求CD的长时，首先由AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，已知tanC的取值与AD的长度，根据正切函数“对边比邻边”的定义，即$\tan C=\frac{AD}{CD}$，代入已知数值即可直接求解CD。
(2) 求$\cos B$的值时，余弦函数的定义为“邻边比斜边”，因此需要先得到Rt△ABD中∠B的邻边BD、斜边AB的长度：先通过BC与CD的差算出BD的长度，再用勾股定理求出AB的长度，最后代入余弦定义即可得到$\cos B$的值。
【解析】
(1) $\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD}=2$，
将$AD=4$代入得：$\frac{4}{CD}=2$，
解得 $CD=2$。
(2) $\because BC=6$，$CD=2$，
$\therefore BD=BC-CD=6-2=4$。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \cos B = \frac{BD}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形边角关系的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理的使用方法，结合图形分析各边的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是边CD上的一点，EF⊥BE。
(1)求证：△ABE∽△EBF。
(2)若DE＝3，AB＝9，求sin∠CBF的值。
(1)求证：△ABE∽△EBF。
(2)若DE＝3，AB＝9，求sin∠CBF的值。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ AEB = 90°$。
∵ $EF ⊥ BE$，
∴ $∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ AEB + ∠ DEF = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ ABE = ∠ DEF$，
∴ $△ ABE ∽ △ DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BE}{EF}$。
∵ E是AD的中点，∴ $AE = DE$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{BE}{EF}$，即 $\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{EF}$。
又∵ $∠ A = ∠ BEF = 90°$，
∴ $△ ABE ∽ △ EBF$。
---
(2) 解：
∵ E是AD中点，$DE=3$，
∴ $AE = DE = 3$，$AD = 2DE = 6$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $BC = AD = 6$，$CD = AB = 9$，$∠ C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，
$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = 3\sqrt{10}$。
由(1)中$△ ABE ∽ △ DEF$，得 $\frac{AB}{DE} = \frac{AE}{DF}$，
代入$AB=9$，$DE=3$，$AE=3$，得 $\frac{9}{3} = \frac{3}{DF}$，解得 $DF=1$，
∴ $CF = CD - DF = 9 - 1 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$BF = \sqrt{BC^2 + CF^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ $\sin∠ CBF = \frac{CF}{BF} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
最终结论：$\sin∠ CBF$的值为$\boldsymbol{\frac{4}{5}}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ AEB = 90°$。
∵ $EF ⊥ BE$，
∴ $∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ AEB + ∠ DEF = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ ABE = ∠ DEF$，
∴ $△ ABE ∽ △ DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BE}{EF}$。
∵ E是AD的中点，∴ $AE = DE$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{BE}{EF}$，即 $\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{EF}$。
又∵ $∠ A = ∠ BEF = 90°$，
∴ $△ ABE ∽ △ EBF$。
---
(2) 解：
∵ E是AD中点，$DE=3$，
∴ $AE = DE = 3$，$AD = 2DE = 6$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $BC = AD = 6$，$CD = AB = 9$，$∠ C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，
$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = 3\sqrt{10}$。
由(1)中$△ ABE ∽ △ DEF$，得 $\frac{AB}{DE} = \frac{AE}{DF}$，
代入$AB=9$，$DE=3$，$AE=3$，得 $\frac{9}{3} = \frac{3}{DF}$，解得 $DF=1$，
∴ $CF = CD - DF = 9 - 1 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$BF = \sqrt{BC^2 + CF^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ $\sin∠ CBF = \frac{CF}{BF} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
最终结论：$\sin∠ CBF$的值为$\boldsymbol{\frac{4}{5}}$。
解析
【分析】
(1) 要证△ABE∽△EBF，已知两个三角形均含直角，只需证明直角边对应成比例即可。首先利用矩形的直角性质和EF⊥BE的条件，推导角相等证明△ABE∽△DEF，得到边的比例关系，再结合E是AD中点替换相等线段，得到△ABE与△EBF的直角边成比例，结合夹角为直角即可证明相似。
(2) 求sin∠CBF的值，∠CBF在Rt△BCF中，根据正弦定义，需先求CF和BF的长度。先由E是中点求出AD、BC的长，再利用(1)中△ABE∽△DEF的比例关系求出DF长，进而得到CF长，最后用勾股定理求BF长，代入正弦定义计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ AEB = 90°$。
∵ $EF ⊥ BE$，
∴ $∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ AEB + ∠ DEF = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ ABE = ∠ DEF$，
∴ $△ ABE ∽ △ DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BE}{EF}$。
∵ E是AD的中点，
∴ $AE = DE$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{BE}{EF}$，即 $\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{EF}$。
又
∵ $∠ A = ∠ BEF = 90°$，
∴ $△ ABE ∽ △ EBF$。
(2) 解：
∵ E是AD中点，$DE=3$，
∴ $AE = DE = 3$，$AD = 2DE = 6$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $BC = AD = 6$，$CD = AB = 9$，$∠ C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，
$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = 3\sqrt{10}$。
由(1)中$△ ABE ∽ △ DEF$，得 $\frac{AB}{DE} = \frac{AE}{DF}$，
代入$AB=9$，$DE=3$，$AE=3$，得 $\frac{9}{3} = \frac{3}{DF}$，解得 $DF=1$，
∴ $CF = CD - DF = 9 - 1 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$BF = \sqrt{BC^2 + CF^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ $\sin∠ CBF = \frac{CF}{BF} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；(2) $\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合题型，融合了多个基础几何知识点，解题时需要先通过角的等量代换证明相似，得到边的比例关系，再结合勾股定理计算线段长度，最终求解三角函数值，对逻辑推理和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证△ABE∽△EBF，已知两个三角形均含直角，只需证明直角边对应成比例即可。首先利用矩形的直角性质和EF⊥BE的条件，推导角相等证明△ABE∽△DEF，得到边的比例关系，再结合E是AD中点替换相等线段，得到△ABE与△EBF的直角边成比例，结合夹角为直角即可证明相似。
(2) 求sin∠CBF的值，∠CBF在Rt△BCF中，根据正弦定义，需先求CF和BF的长度。先由E是中点求出AD、BC的长，再利用(1)中△ABE∽△DEF的比例关系求出DF长，进而得到CF长，最后用勾股定理求BF长，代入正弦定义计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ AEB = 90°$。
∵ $EF ⊥ BE$，
∴ $∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ AEB + ∠ DEF = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ ABE = ∠ DEF$，
∴ $△ ABE ∽ △ DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BE}{EF}$。
∵ E是AD的中点，
∴ $AE = DE$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{BE}{EF}$，即 $\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{EF}$。
又
∵ $∠ A = ∠ BEF = 90°$，
∴ $△ ABE ∽ △ EBF$。
(2) 解：
∵ E是AD中点，$DE=3$，
∴ $AE = DE = 3$，$AD = 2DE = 6$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $BC = AD = 6$，$CD = AB = 9$，$∠ C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，
$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = 3\sqrt{10}$。
由(1)中$△ ABE ∽ △ DEF$，得 $\frac{AB}{DE} = \frac{AE}{DF}$，
代入$AB=9$，$DE=3$，$AE=3$，得 $\frac{9}{3} = \frac{3}{DF}$，解得 $DF=1$，
∴ $CF = CD - DF = 9 - 1 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$BF = \sqrt{BC^2 + CF^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ $\sin∠ CBF = \frac{CF}{BF} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；(2) $\boldsymbol{\frac{4}{5}}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合题型，融合了多个基础几何知识点，解题时需要先通过角的等量代换证明相似，得到边的比例关系，再结合勾股定理计算线段长度，最终求解三角函数值，对逻辑推理和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
