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2. 如图，若已知线段AB，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$。
答案
证明：
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$。
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $NC = \frac{1}{2}BC$。
∵ 点C在线段AB上，
∴ $MN = MC + NC$，$AC + BC = AB$，
∴ $MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB$。
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$。
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $NC = \frac{1}{2}BC$。
∵ 点C在线段AB上，
∴ $MN = MC + NC$，$AC + BC = AB$，
∴ $MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB$。
解析
【分析】
要证明$MN=\frac{1}{2}AB$，首先从已知的中点条件出发，利用线段中点的性质，得到MC与AC、NC与BC的数量关系；再观察所求线段MN的组成，由于点C在线段AB上，MN可拆分为MC与NC的和，将MC、NC用含AC、BC的式子替换后，结合$AC+BC=AB$的线段和差关系，整理式子即可推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$。
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $NC = \frac{1}{2}BC$。
∵ 点C在线段AB上，
∴ $MN = MC + NC$，$AC + BC = AB$，
∴ $MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB$。
【答案】
$MN=\frac{1}{2}AB$，结论得证。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段性质应用的基础典型题，核心是通过中点性质转化线段的数量关系，再结合线段和差规律推导结论，该结论是线段长度计算中常用的二级结论，熟练掌握其推导逻辑可以有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.85
要证明$MN=\frac{1}{2}AB$，首先从已知的中点条件出发，利用线段中点的性质，得到MC与AC、NC与BC的数量关系；再观察所求线段MN的组成，由于点C在线段AB上，MN可拆分为MC与NC的和，将MC、NC用含AC、BC的式子替换后，结合$AC+BC=AB$的线段和差关系，整理式子即可推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$。
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $NC = \frac{1}{2}BC$。
∵ 点C在线段AB上，
∴ $MN = MC + NC$，$AC + BC = AB$，
∴ $MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB$。
【答案】
$MN=\frac{1}{2}AB$，结论得证。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段性质应用的基础典型题，核心是通过中点性质转化线段的数量关系，再结合线段和差规律推导结论，该结论是线段长度计算中常用的二级结论，熟练掌握其推导逻辑可以有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.85
1. 如图，$AE=\frac{1}{2}BE$，F是线段BC的中点，$BF=\frac{1}{5}AC=1.5$，求线段EF的长。
答案
解 因为 $BF=\dfrac{1}{5}AC=1.5$，所以$AC=7.5$。因为 $F$ 是 $BC$ 的中点，所以$BC=2BF=3$，所以 $AB=AC-BC=7.5-3=4.5$。因为 $AE=\dfrac{1}{2}BE$，所以 $AE=\dfrac{1}{3}AB=1.5$，所以 $BE=2AE=3$，所以$EF=BE+BF=3+1.5=4.5$。
解析
【分析】
解题时先从给出明确数量关系的条件$BF=\frac{1}{5}AC=1.5$入手，先求出AC的长度；再利用F是BC中点的性质，求出BC的长度，进而通过AC和BC的差得到AB的长度；接下来根据$AE=\frac{1}{2}BE$的比例关系，推导出BE的长度；最后EF的长度是BE与BF的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：因为 $BF=\dfrac{1}{5}AC=1.5$，所以$AC=1.5×5=7.5$。
因为 $F$ 是线段$BC$ 的中点，所以$BC=2BF=2×1.5=3$，因此 $AB=AC-BC=7.5-3=4.5$。
因为 $AE=\dfrac{1}{2}BE$，即$BE=2AE$，可得$AB=AE+BE=3AE$，所以 $AE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}×4.5=1.5$，则$BE=2AE=2×1.5=3$。
所以$EF=BE+BF=3+1.5=4.5$。
【答案】
$4.5$
【知识点】
线段中点的性质、线段和差计算、线段比例关系
【点评】
本题是基础的线段计算问题，解题的核心是梳理清楚各条线段之间的数量关系和位置关系，结合已知条件逐步推导未知线段长度即可，计算时注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从给出明确数量关系的条件$BF=\frac{1}{5}AC=1.5$入手，先求出AC的长度；再利用F是BC中点的性质，求出BC的长度，进而通过AC和BC的差得到AB的长度；接下来根据$AE=\frac{1}{2}BE$的比例关系，推导出BE的长度；最后EF的长度是BE与BF的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：因为 $BF=\dfrac{1}{5}AC=1.5$，所以$AC=1.5×5=7.5$。
因为 $F$ 是线段$BC$ 的中点，所以$BC=2BF=2×1.5=3$，因此 $AB=AC-BC=7.5-3=4.5$。
因为 $AE=\dfrac{1}{2}BE$，即$BE=2AE$，可得$AB=AE+BE=3AE$，所以 $AE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}×4.5=1.5$，则$BE=2AE=2×1.5=3$。
所以$EF=BE+BF=3+1.5=4.5$。
【答案】
$4.5$
【知识点】
线段中点的性质、线段和差计算、线段比例关系
【点评】
本题是基础的线段计算问题，解题的核心是梳理清楚各条线段之间的数量关系和位置关系，结合已知条件逐步推导未知线段长度即可，计算时注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
如图，已知$∠ AOE$是平角，$∠ DOE = 20°$，$OB$平分$∠ AOC$，且$∠ COD : ∠ BOC = 2:3$，求$∠ BOC$的度数。
解 设$∠ COD = 2x°$，则$∠ BOC = 3x°$，
因为$OB$平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOB = ∠ BOC = 3x°$，
所以$2x + 3x + 3x + 20 = 180$，
解得$x = 20$。
所以$∠ BOC = 3 × 20° = 60°$。
解 设$∠ COD = 2x°$，则$∠ BOC = 3x°$，
因为$OB$平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOB = ∠ BOC = 3x°$，
所以$2x + 3x + 3x + 20 = 180$，
解得$x = 20$。
所以$∠ BOC = 3 × 20° = 60°$。
答案
解：设∠COD = 2x°，则∠BOC = 3x°，
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB = ∠BOC = 3x°。
因为∠AOE是平角，
所以∠AOE = 180°，
即∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
将∠DOE=20°代入得：
3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x = 20，
所以∠BOC = 3×20° = 60°。
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB = ∠BOC = 3x°。
因为∠AOE是平角，
所以∠AOE = 180°，
即∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
将∠DOE=20°代入得：
3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x = 20，
所以∠BOC = 3×20° = 60°。
解析
【分析】
解题时首先明确平角的度数为180°，观察图形可知平角∠AOE由∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE四个角相加组成。题目给出了∠COD与∠BOC的比例关系，还有OB平分∠AOC的条件，因此我们可以采用设未知数的方法，根据比例设∠COD为2x°，∠BOC为3x°，再利用角平分线的性质得到∠AOB与∠BOC相等，最后根据所有角的和为180°列方程求解，算出x的值后就能求出∠BOC的度数。
【解析】
设∠COD = 2x°，则∠BOC = 3x°，
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB = ∠BOC = 3x°。
因为∠AOE是平角，
所以∠AOE = 180°，
即∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
将∠DOE=20°代入得：
3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x = 20，
所以∠BOC = 3×20° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将比例关系、角平分线性质与角的和差关系结合，运用方程思想求解角度是这类题的常用解题思路，只要理清图中各角的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确平角的度数为180°，观察图形可知平角∠AOE由∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE四个角相加组成。题目给出了∠COD与∠BOC的比例关系，还有OB平分∠AOC的条件，因此我们可以采用设未知数的方法，根据比例设∠COD为2x°，∠BOC为3x°，再利用角平分线的性质得到∠AOB与∠BOC相等，最后根据所有角的和为180°列方程求解，算出x的值后就能求出∠BOC的度数。
【解析】
设∠COD = 2x°，则∠BOC = 3x°，
因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB = ∠BOC = 3x°。
因为∠AOE是平角，
所以∠AOE = 180°，
即∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°，
将∠DOE=20°代入得：
3x + 3x + 2x + 20 = 180，
解得x = 20，
所以∠BOC = 3×20° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将比例关系、角平分线性质与角的和差关系结合，运用方程思想求解角度是这类题的常用解题思路，只要理清图中各角的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知$∠ AOB=2∠ BOC$，$OD$，$OE$分别为$∠ AOB$和$∠ BOC$的平分线. 若$∠ DOE=66°$，求$∠ AOB$的度数.
答案
解 因为 $OE$，$OD$ 分别是 $∠BOC$，$∠AOB$ 的平分线，所以 $∠BOC=2∠BOE$，$∠AOB=2∠DOB$。因为 $∠DOE=66°$，所以$∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2∠DOE=132°$。因为 $∠AOB=2∠BOC$，所以$∠AOB=\dfrac{2}{3}×132°=88°$。
解析
【分析】
解题时首先从已知的角平分线条件入手，根据角平分线的定义，可将∠AOB转化为2倍的∠DOB，∠BOC转化为2倍的∠BOE；再观察∠DOE的组成，它是∠DOB与∠BOE的和，由此可推导出∠AOB与∠BOC的和是∠DOE的2倍，算出两角之和；最后结合∠AOB=2∠BOC的倍分关系，求出∠AOB占两角和的比例，进而计算出∠AOB的度数。
【解析】
因为OE，OD分别是∠BOC，∠AOB的平分线，所以∠BOC=2∠BOE，∠AOB=2∠DOB。
因为∠DOE=66°，所以∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2(∠DOB+∠BOE)=2∠DOE=132°。
因为∠AOB=2∠BOC，所以∠AOB占∠AOB与∠BOC总和的$\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$，因此∠AOB=$\dfrac{2}{3}×132°=88°$。
【答案】
$88°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质，梳理清楚各角之间的数量关系，结合已知的倍分条件即可快速求解，解题时需注意不要混淆不同角的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的角平分线条件入手，根据角平分线的定义，可将∠AOB转化为2倍的∠DOB，∠BOC转化为2倍的∠BOE；再观察∠DOE的组成，它是∠DOB与∠BOE的和，由此可推导出∠AOB与∠BOC的和是∠DOE的2倍，算出两角之和；最后结合∠AOB=2∠BOC的倍分关系，求出∠AOB占两角和的比例，进而计算出∠AOB的度数。
【解析】
因为OE，OD分别是∠BOC，∠AOB的平分线，所以∠BOC=2∠BOE，∠AOB=2∠DOB。
因为∠DOE=66°，所以∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2(∠DOB+∠BOE)=2∠DOE=132°。
因为∠AOB=2∠BOC，所以∠AOB占∠AOB与∠BOC总和的$\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$，因此∠AOB=$\dfrac{2}{3}×132°=88°$。
【答案】
$88°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质，梳理清楚各角之间的数量关系，结合已知的倍分条件即可快速求解，解题时需注意不要混淆不同角的对应关系。
【难度系数】
0.7
如图，$∠ AOB = n°$，平面内有一射线$OM$（不与$OA$，$OB$重合），且$∠ AOM = 2∠ BOM$，若$ON$平分$∠ BOM$，求$∠ AON$的度数.（用含$n$的代数式表示）
解 分两种情况讨论：
①当$OM$在$∠ AOB$的内部时，如图①所示.
因为 $∠ AOM + ∠ BOM = ∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，
所以 $3∠ BOM = ∠ AOB = n°$，
所以 $∠ BOM = (\dfrac{n}{3})°$.
因为 $ON$ 平分$∠ BOM$，
所以 $∠ BON = \dfrac{1}{2}∠ BOM = \dfrac{1}{2} × (\dfrac{n}{3})° = (\dfrac{n}{6})°$，
所以 $∠ AON = ∠ AOB - ∠ BON = n° - (\dfrac{n}{6})° = (\dfrac{5n}{6})°$.
②当$OM$在$∠ AOB$的外部时，如图②所示.
因为 $∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，$∠ AOM = ∠ AOB + ∠ BOM$，
所以 $∠ BOM = ∠ AOB = n°$.
因为 $ON$ 平分$∠ BOM$，
所以 $∠ BON = \dfrac{1}{2}∠ BOM = (\dfrac{n}{2})°$，
所以 $∠ AON = ∠ AOB + ∠ BON$
$= n° + (\dfrac{n}{2})°$
$= (\dfrac{3n}{2})°$.
解 分两种情况讨论：
①当$OM$在$∠ AOB$的内部时，如图①所示.
因为 $∠ AOM + ∠ BOM = ∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，
所以 $3∠ BOM = ∠ AOB = n°$，
所以 $∠ BOM = (\dfrac{n}{3})°$.
因为 $ON$ 平分$∠ BOM$，
所以 $∠ BON = \dfrac{1}{2}∠ BOM = \dfrac{1}{2} × (\dfrac{n}{3})° = (\dfrac{n}{6})°$，
所以 $∠ AON = ∠ AOB - ∠ BON = n° - (\dfrac{n}{6})° = (\dfrac{5n}{6})°$.
②当$OM$在$∠ AOB$的外部时，如图②所示.
因为 $∠ AOB = n°$，$∠ AOM = 2∠ BOM$，$∠ AOM = ∠ AOB + ∠ BOM$，
所以 $∠ BOM = ∠ AOB = n°$.
因为 $ON$ 平分$∠ BOM$，
所以 $∠ BON = \dfrac{1}{2}∠ BOM = (\dfrac{n}{2})°$，
所以 $∠ AON = ∠ AOB + ∠ BON$
$= n° + (\dfrac{n}{2})°$
$= (\dfrac{3n}{2})°$.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当OM在∠AOB的内部时：
因为∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以3∠BOM = n°，
所以∠BOM = $(\dfrac{n}{3})°$。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = \dfrac{1}{2}×(\dfrac{n}{3})° = (\dfrac{n}{6})°$，
所以∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - (\dfrac{n}{6})° = (\dfrac{5n}{6})°$。
② 当OM在∠AOB的外部时：
因为∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以2∠BOM = n° + ∠BOM，
所以∠BOM = n°。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = (\dfrac{n}{2})°$，
所以∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + (\dfrac{n}{2})° = (\dfrac{3n}{2})°$。
综上，∠AON的度数为$\dfrac{5n}{6}°$或$\dfrac{3n}{2}°$。
① 当OM在∠AOB的内部时：
因为∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以3∠BOM = n°，
所以∠BOM = $(\dfrac{n}{3})°$。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = \dfrac{1}{2}×(\dfrac{n}{3})° = (\dfrac{n}{6})°$，
所以∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - (\dfrac{n}{6})° = (\dfrac{5n}{6})°$。
② 当OM在∠AOB的外部时：
因为∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以2∠BOM = n° + ∠BOM，
所以∠BOM = n°。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = (\dfrac{n}{2})°$，
所以∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + (\dfrac{n}{2})° = (\dfrac{3n}{2})°$。
综上，∠AON的度数为$\dfrac{5n}{6}°$或$\dfrac{3n}{2}°$。
解析
【分析】
本题中射线OM的位置没有明确说明，因此需要分两种情况讨论：①OM在∠AOB内部；②OM在∠AOB外部。解题时先根据∠AOM=2∠BOM的倍数关系，结合∠AOB的度数求出∠BOM的大小，再利用角平分线的定义求出∠BON的大小，最后根据角的和差关系计算∠AON的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当OM在∠AOB的内部时：
因为∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以3∠BOM = n°，
所以∠BOM = $(\dfrac{n}{3})°$。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = \dfrac{1}{2}×(\dfrac{n}{3})° = (\dfrac{n}{6})°$，
所以∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - (\dfrac{n}{6})° = (\dfrac{5n}{6})°$。
② 当OM在∠AOB的外部时：
因为∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以2∠BOM = n° + ∠BOM，
所以∠BOM = n°。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = (\dfrac{n}{2})°$，
所以∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + (\dfrac{n}{2})° = (\dfrac{3n}{2})°$。
【答案】
∠AON的度数为$\dfrac{5n}{6}°$或$\dfrac{3n}{2}°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏OM在∠AOB外部的情况，解题时要结合图形明确不同位置下各角的和差关系，熟练运用角平分线的性质进行角度计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题中射线OM的位置没有明确说明，因此需要分两种情况讨论：①OM在∠AOB内部；②OM在∠AOB外部。解题时先根据∠AOM=2∠BOM的倍数关系，结合∠AOB的度数求出∠BOM的大小，再利用角平分线的定义求出∠BON的大小，最后根据角的和差关系计算∠AON的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当OM在∠AOB的内部时：
因为∠AOM + ∠BOM = ∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以3∠BOM = n°，
所以∠BOM = $(\dfrac{n}{3})°$。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = \dfrac{1}{2}×(\dfrac{n}{3})° = (\dfrac{n}{6})°$，
所以∠AON = ∠AOB - ∠BON = $n° - (\dfrac{n}{6})° = (\dfrac{5n}{6})°$。
② 当OM在∠AOB的外部时：
因为∠AOM = ∠AOB + ∠BOM，∠AOB = n°，∠AOM = 2∠BOM，
所以2∠BOM = n° + ∠BOM，
所以∠BOM = n°。
因为ON平分∠BOM，
所以∠BON = $\dfrac{1}{2}∠BOM = (\dfrac{n}{2})°$，
所以∠AON = ∠AOB + ∠BON = $n° + (\dfrac{n}{2})° = (\dfrac{3n}{2})°$。
【答案】
∠AON的度数为$\dfrac{5n}{6}°$或$\dfrac{3n}{2}°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏OM在∠AOB外部的情况，解题时要结合图形明确不同位置下各角的和差关系，熟练运用角平分线的性质进行角度计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
